Poliedro de Steffen , el poliedro flexible que no se cruza automáticamente más simple posible
En geometría , un poliedro flexible es una superficie poliédrica sin bordes límite, cuya forma se puede cambiar continuamente manteniendo sin cambios las formas de todas sus caras. El teorema de rigidez de Cauchy muestra que en la dimensión 3 tal poliedro no puede ser convexo (esto también es cierto en dimensiones superiores).
Los primeros ejemplos de poliedros flexibles, ahora llamados octaedros Bricard , fueron descubiertos por Raoul Bricard (1897). Son superficies autointersecantes isométricas a un octaedro . El primer ejemplo de una superficie flexible que no se interseca en sí misma , la esfera de Connelly , fue descubierta por Robert Connelly (1977). El poliedro de Steffen es otro poliedro flexible que no se cruza consigo mismo derivado del octaedro de Bricard. [1]
Conjetura de fuelle
A finales de la década de 1970, Connelly y D. Sullivan formularon la conjetura del fuelle afirmando que el volumen de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esta conjetura fue demostrada para poliedros homeomorfos a una esfera por I. Kh. Sabitov (1995) utilizando la teoría de la eliminación , y luego probado para superficies poliédricas bidimensionales orientables generales por Robert Connelly, I. Sabitov y Anke Walz (1997). La prueba extiende la fórmula de Piero della Francesca para el volumen de un tetraedro a una fórmula para el volumen de cualquier poliedro. La fórmula extendida muestra que el volumen debe ser una raíz de un polinomio cuyos coeficientes dependen únicamente de las longitudes de las aristas del poliedro. Dado que las longitudes de las aristas no pueden cambiar cuando el poliedro se flexiona, el volumen debe permanecer en una de las raíces finitas del polinomio, en lugar de cambiar continuamente. [2]
Congruencia de tijera
Connelly conjeturó que el invariante de Dehn de un poliedro flexible es invariante bajo flexión. Esto se conoció como la conjetura del fuelle fuerte o (después de que se demostró en 2018) el teorema del fuelle fuerte . [3] Debido a que todas las configuraciones de un poliedro flexible tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn, son tijeras congruentes entre sí, lo que significa que para dos de estas configuraciones es posible diseccionar una de ellas en piezas poliédricas que puedan volver a ensamblarse para formar el otro. La curvatura media total de un poliedro flexible, definida como la suma de los productos de las longitudes de los bordes con los ángulos diédricos exteriores, es una función de la invariante de Dehn que también se sabe que permanece constante mientras un poliedro se flexiona. [4]
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