Shearlet

En el análisis matemático aplicado, los shearlets son un marco multiescala que permite la codificación eficiente de características anisotrópicas en clases de problemas multivariados . Originalmente, los shearlets se introdujeron en 2006 ^[1] para el análisis y la aproximación escasa de funciones . Son una extensión natural de las wavelets , para adaptarse al hecho de que las funciones multivariadas suelen estar gobernadas por características anisotrópicas como los bordes de las imágenes, ya que las wavelets, como objetos isotrópicos, no son capaces de capturar tales fenómenos. ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Los shearlets se construyen mediante escalamiento parabólico , corte y traducción aplicados a algunas funciones generadoras . En escalas finas, están esencialmente sostenidos dentro de crestas delgadas y direccionales siguiendo la ley de escala parabólica, que dice longitud² ≈ ancho . Al igual que las wavelets, las shearlets surgen del grupo afín y permiten un tratamiento unificado del continuo y la situación digital que conduce a implementaciones fieles. Aunque no constituyen una base ortonormal , todavía forman un marco que permite expansiones estables de funciones arbitrarias . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Una de las propiedades más importantes de los shearlets es su capacidad para proporcionar aproximaciones óptimamente dispersas (en el sentido de optimización en ^[2] ) para funciones similares a las de los dibujos animados . En las ciencias de la imagen, las funciones similares a dibujos animados sirven como modelo para características anisotrópicas y se apoyan de forma compacta mientras están separadas de una curva de singularidad por partes cerrada con curvatura acotada. La tasa de caída del error de la aproximación shearlet obtenida tomando los coeficientes más grandes de la expansión shearlet es de hecho óptima hasta un factor logarítmico: ^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}$

donde la constante depende sólo de la curvatura máxima de la curva de singularidad y las magnitudes máximas de , y . Esta tasa de aproximación mejora significativamente la tasa de aproximación del mejor término de las wavelets que proporcionan únicamente dicha clase de funciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle O(N^{-1})}$

Los shearlets son hasta la fecha el único sistema de representación direccional que proporciona una escasa aproximación de características anisotrópicas al mismo tiempo que proporciona un tratamiento unificado del continuo y el ámbito digital que permite una implementación fiel. También están disponibles extensiones de sistemas de shearlet . Puede encontrar una presentación completa de la teoría y las aplicaciones de los shearlets en ^[5] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}$

Definición

Sistemas de borreguillo continuo

Efectos geométricos de escalamiento y corte parabólicos con varios parámetros a y s.

La construcción de sistemas continuos de shearlet se basa en matrices de escalamiento parabólico.

${\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix}},\quad a>0}$

como medio para cambiar la resolución, en matrices de corte

${\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix}},\quad s\in \mathbb {R} }$

como medio para cambiar la orientación, y finalmente en las traslaciones para cambiar el posicionamiento. En comparación con las curvas , los shearlets utilizan cortes en lugar de rotaciones, la ventaja es que el operador de corte deja la red entera invariante en caso , es decir, esto permite un tratamiento unificado del ámbito continuo y digital, garantizando así una implementación digital fiel. ${\displaystyle S_{s}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}.}$

Para el sistema de shearlet continuo generado por se define entonces como ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}$

y la correspondiente transformada shearlet continua viene dada por el mapa

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

Sistemas discretos de borreguillo

Se puede obtener directamente una versión discreta de los sistemas de shearlet discretizando el conjunto de parámetros. Existen numerosos enfoques para esto, pero el más popular es el dado por ${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

${\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

A partir de esto, el sistema de shearlet discreto asociado con el generador de shearlet se define por ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}$

y la transformada shearlet discreta asociada se define por

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}$

Ejemplos

Sea una función que satisfaga la condición discreta de Calderón , es decir, ${\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_{1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \mathbb {R} ,}$

con y donde denota la transformada de Fourier de . Por ejemplo, se puede elegir ser una wavelet de Meyer . Además, sea tal que y ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}}$ ${\displaystyle \psi _{1}.}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}$

${\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left[-1,1\right].}$

Por lo general, se elige una función de golpe suave . Entonces dado por ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}$

Se llama shearlet clásico . Se puede demostrar que el correspondiente sistema de shearlet discreto constituye un marco de Parseval que consta de funciones limitadas por banda . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Otro ejemplo son los sistemas de shearlet con soporte compacto , donde se puede elegir una función con soporte compacto para que forme un marco para . ^{[4] [6] [7] [8]} En este caso, todos los elementos de shearlet están soportados de forma compacta, lo que proporciona una localización espacial superior en comparación con los shearlets clásicos, que tienen bandas limitadas. Aunque un sistema de shearlet con soporte compacto generalmente no forma un marco de Parseval, cualquier función puede representarse mediante la expansión de shearlet debido a su propiedad de marco. ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

Shearlets adaptados al cono

Un inconveniente de los shearlets definidos como anteriormente es la tendencia direccional de los elementos del shearlet asociada con grandes parámetros de corte. Este efecto ya es reconocible en el mosaico de frecuencia de los shearlets clásicos (consulte la figura en la sección #Ejemplos), donde el soporte de frecuencia de un shearlet se alinea cada vez más a lo largo del eje - a medida que el parámetro de corte llega al infinito. Esto causa serios problemas al analizar una función cuya transformada de Fourier se concentra alrededor del eje. ${\displaystyle \xi _{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \xi _{2}}$

Descomposición del dominio de la frecuencia en conos.

Para solucionar este problema, el dominio de la frecuencia se divide en una parte de baja frecuencia y dos regiones cónicas (ver Figura):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}$

Mosaico de frecuencias del sistema de shearlet adaptado a conos generado por el shearlet clásico.

El sistema shearlet discreto adaptado al cono asociado consta de tres partes, cada una de las cuales corresponde a uno de estos dominios de frecuencia. Es generado por tres funciones y un factor de muestreo de red . ${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los sistemas y se diferencian básicamente en los roles invertidos de y . Por tanto, corresponden a las regiones cónicas y , respectivamente. Finalmente, la función de escala está asociada a la parte de baja frecuencia . ${\displaystyle \Psi (\psi )}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Aplicaciones

• Procesamiento de imágenes e informática ^[5]
  • Eliminación de ruido
  • Problemas inversos
  • Mejora de la imagen
  • Detección de bordes
  • en pintura
  • Separación de imágenes
• PDE ^[5]
  • Resolución del conjunto de frentes de onda.
  • Ecuaciones de transporte
• Teoría de coorbitas , caracterización de espacios de suavidad ^[5]
• Geometría diferencial : aprendizaje múltiple

Generalizaciones y extensiones.

• Shearlets 3D ^{[7] [9]}
• ${\displaystyle \alpha }$-Chalecos ^[7]
• Moléculas parabólicas ^[10]
• Shearlets cilíndricos ^{[11] [12]}

Ver también

• transformada wavelet
• transformada de curva
• Transformación de contorno
• transformada bandelet
• Transformación de chirplets
• Transformada de ruido

Referencias

1. Guo, Kanghui, Gitta Kutyniok y Demetrio Labate. "Representaciones multidimensionales dispersas que utilizan operadores anisotrópicos de dilatación y corte". Wavelets and Splines (Athens, GA, 2005), G. Chen y MJ Lai, eds., Nashboro Press, Nashville, TN (2006): 189–201."PDF" (PDF) .
2. Donoho, David Leigh. "Componentes escasos de imágenes y descomposiciones atómicas óptimas". Aproximación constructiva 17.3 (2001): 353–382."PDF". CiteSeerX 10.1.1.379.8993 . 
3. Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "Representación multidimensional óptimamente escasa utilizando shearlets". Revista SIAM de Análisis Matemático 39.1 (2007): 298–318."PDF" (PDF) .
4. Kutyniok, Gitta y Wang-Q Lim. "Los shearlets con soporte compacto son óptimamente escasos". Revista de teoría de la aproximación 163.11 (2011): 1564–1589."PDF" (PDF) .
5. Kutyniok, Gitta y Demetrio Labate, eds. Shearlets: análisis multiescala para datos multivariados . Springer, 2012, ISBN 0-8176-8315-1 
6. Kittipoom, Pisamai, Gitta Kutyniok y Wang-Q Lim. "Construcción de marcos de shearlet con soporte compacto". Aproximación constructiva 35.1 (2012): 21–72.Kittipoom, P.; Kutyniok, G.; Lim, W. (2010). "PDF". arXiv : 1003.5481 [matemáticas.FA].
7. Kutyniok, Gitta , Jakob Lemvig y Wang-Q Lim. "Aproximaciones óptimamente escasas de funciones 3D mediante marcos de shearlet con soporte compacto". Revista SIAM de Análisis Matemático 44.4 (2012): 2962–3017.Kutyniok, Gitta; Lemvig, Jakob; Lim, Wang-Q (2011). "PDF". arXiv : 1109.5993 [matemáticas.FA].
8. Purnendu Banerjee y BB Chaudhuri, “Localización de texto de vídeo mediante transformadas Wavelet y Shearlet”, en Proc. SPIE 9021, Reconocimiento y recuperación de documentos XXI, 2014 (doi:10.1117/12.2036077). Banerjee, Purnendu; Chaudhuri, BB (2013). "Localización de texto de vídeo mediante transformadas wavelet y shearlet". En Coüasnon, Bertrand; Timbre, Eric K (eds.). Reconocimiento y recuperación de documentos XXI . vol. 9021. págs. 90210B. arXiv : 1307.4990 . doi :10.1117/12.2036077. S2CID  10659099.
9. Guo, Kanghui y Demetrio Labate. "La construcción de marcos lisos Parseval de shearlets". Modelado matemático de fenómenos naturales 8.01 (2013): 82–105."PDF" (PDF) .
10. Grohs, Philipp y Kutyniok, Gitta . "Moléculas parabólicas". Fundamentos de la Matemática Computacional (por aparecer) Grohs, Philipp; Kutyniok, Gitta (2012). "PDF". arXiv : 1206.1958 [matemáticas.FA].
11. Easley, Glenn R.; Guo, Kanghui; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (10 de agosto de 2020). "Representaciones óptimamente dispersas de datos cilíndricos similares a dibujos animados". La revista de análisis geométrico . 39 (9): 8926–8946. doi :10.1007/s12220-020-00493-0. S2CID  221675372 . Consultado el 22 de enero de 2022 .
12. Bernhard, Bernhard G.; Labate, Demetrio; Pahari, Basanta R. (29 de octubre de 2019). "Proyecciones lisas y construcción de armazones lisos de shearlets Parseval". Avances en Matemática Computacional . 45 (5–6): 3241–3264. doi :10.1007/s10444-019-09736-3. S2CID  210118010 . Consultado el 22 de enero de 2022 .

enlaces externos

• Página de inicio de Gitta Kutyniok
• Página principal de Demetrio Labate