Teoría de coórbitas

En matemáticas, la teoría de coórbitas fue desarrollada por Hans Georg Feichtinger y Karlheinz Gröchenig alrededor de 1990. ^{[1] [2] [3]} Proporciona teoría para la descomposición atómica de una gama de espacios de Banach de distribuciones . Entre otras, la bien establecida transformada wavelet y la transformada de Fourier de tiempo corto están cubiertas por la teoría.

El punto de partida es una representación integrable cuadrada de un grupo localmente compacto en un espacio de Hilbert , con el que se puede definir una transformada de una función con respecto a por . Muchas transformadas importantes son casos especiales de la transformada, por ejemplo, la transformada de Fourier de tiempo corto y la transformada wavelet para el grupo de Heisenberg y el grupo afín respectivamente. La teoría de la representación produce la fórmula de reproducción . Mediante la discretización de esta integral de convolución continua se puede demostrar que mediante un muestreo suficientemente denso en el espacio de fases las funciones correspondientes abarcarán un marco para el espacio de Hilbert. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle V_{g}f(x)=\langle f,\pi (x)g\rangle }$ ${\displaystyle V_{g}f=V_{g}f*V_{g}g}$

Un aspecto importante de la teoría es la derivación de descomposiciones atómicas para espacios de Banach. Uno de los pasos clave es definir la transformada de voz para distribuciones de forma natural. Para un espacio de Banach dado , el espacio de coórbitas correspondiente se define como el conjunto de todas las distribuciones tales que . La fórmula de reproducción es verdadera también en este caso y, por lo tanto, es posible obtener descomposiciones atómicas para espacios de coórbitas. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{g}f\in Y}$

Referencias

1. HG Feichtinger y K. Gröchenig. "Un enfoque unificado para las descomposiciones atómicas a través de representaciones de grupos integrables" Lect. Notes in Math. 1302:52—73, 1988.
2. HG Feichtinger y K. Gröchenig. "Espacios de Banach relacionados con representaciones de grupos integrables y sus descomposiciones atómicas, I" J. Funct. Anal. 86(2):307–340, 1989.
3. HG Feichtinger y K. Gröchenig. "Espacios de Banach relacionados con representaciones de grupos integrables y sus descomposiciones atómicas, II" Monatsh. Math. 108(2-3):129–148, 1989.