Ruido

Los noiselets son funciones que proporcionan el peor comportamiento para el análisis de paquetes de wavelets de Haar . En otras palabras, los noiselets son totalmente incompresibles mediante el análisis de paquetes de wavelets de Haar. ^[1] Al igual que las bases canónica y de Fourier, que tienen una propiedad incoherente, los noiselets son perfectamente incoherentes con la base de Haar. Además, tienen un algoritmo rápido de implementación, lo que los hace útiles como base de muestreo para señales escasas en el dominio de Haar.

Definición

La función de las bases madre se define como: ${\displaystyle \chi (x)}$

${\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}1&x\in [0,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

La familia de noiselets se construye recursivamente de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{1}(x)&=\chi (x)\\f_{2n}(x)&=(1-i)f_{n}(2x)+(1+i)f_{n}(2x-1)\\f_{2n+1}(x)&=(1+i)f_{n}(2x)+(1-i)f_{n}(2x-1)\end{alignedat}}}$

Propiedad de f norte

• ${\displaystyle \{f_{j}|j=2^{N},\dots ,2^{N+1}-1\}}$es una base ortogonal para , donde es el espacio de todas las aproximaciones posibles en la resolución de funciones en . ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1)}$
• Para cada , ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1}$
• Para cada , ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\prod _{j=0}^{\ell (n)-1}{\tilde {r}}_{v_{j}(n)}(2^{j}x)\in [0,1]}$

Construcción matricial de noiselets [2]

Noiselet se puede ampliar y discretizar. La función extendida se define de la siguiente manera: ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f_{m}(1,l)&={\begin{cases}1&l=0,\dots ,2^{m}-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f_{m}(2k,l)&=(1-i)f_{m}(k,2l)+(1+i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\f_{m}(2k+1,l)&=(1+i)f_{m}(k,2l)+(1-i)f_{m}(k,2l-2^{m})\\\end{alignedat}}}$

Usando noiselet extendido , podemos generar la matriz noiselet , donde n es una potencia de dos : ${\displaystyle f_{m}(k,l)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle N_{n}}$ ${\displaystyle n=2^{q}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}N_{1}&=[1]\\N_{2n}&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}\otimes N_{n}\\\end{alignedat}}}$

Aquí se indica el producto Kronecker. ${\displaystyle \otimes }$

Supongamos que podemos encontrar que es igual . ${\displaystyle 2^{m}>n}$ ${\displaystyle N_{n}(k,l)}$ ${\displaystyle f_{m}(n+k,{\frac {2^{m}}{n}}l)}$

Los elementos de las matrices noiselet toman valores discretos de uno de dos conjuntos de cuatro elementos:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {n}}N_{n}(j,k)&\in \{1,-1,i,-i\}&{\text{for even }}q\\{\sqrt {2n}}N_{n}(j,k)&\in \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}&{\text{for odd }}q\\\end{alignedat}}}$

Transformación de ruido 2D

Las transformadas noiselet 2D se obtienen mediante el producto de Kronecker de la transformada noiselet 1D:

${\displaystyle N_{n\times k}^{2D}=N_{k}\otimes N_{n}}$

Aplicaciones

Noiselet tiene algunas propiedades que los hacen ideales para aplicaciones:

• La matriz noiselet se puede derivar en . ${\displaystyle O(n\log n)}$
• Noiselet extiende completamente el espectro y tiene ondas perfectamente incoherentes con las de Haar.
• Noiselet es simétrico conjugado y unitario.

La complementariedad de wavelets y noiselets significa que los noiselets se pueden utilizar en detección comprimida para reconstruir una señal (como una imagen) que tiene una representación compacta en wavelets. ^{[3] Los datos} de resonancia magnética se pueden adquirir en el dominio noiselet y, posteriormente, las imágenes se pueden reconstruir a partir de datos submuestreados mediante reconstrucción con detección de compresión. ^[4]

Aquí hay algunas aplicaciones en las que se ha implementado noiselet:

• Imágenes por resonancia magnética (MRI)

La codificación noiselet es una técnica utilizada en resonancia magnética para adquirir imágenes con un tiempo de adquisición reducido. En la resonancia magnética, el proceso de obtención de imágenes suele implicar la codificación de información espacial mediante gradientes. La adquisición de resonancia magnética tradicional se basa en la codificación cartesiana, ^[5] donde la información espacial se muestrea en una cuadrícula cartesiana. Sin embargo, esta metodología podría llevar mucho tiempo, especialmente en imágenes de alta resolución o imágenes dinámicas.

Mientras que la codificación noiselet es parte de la detección de compresión . Aprovecha la escasez de imágenes para obtenerlas de forma más eficiente. En la detección por compresión, la idea es adquirir menos muestras de las que dicta el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, bajo el supuesto de que la señal o imagen subyacente es escasa en algún dominio. A continuación se explica brevemente cómo funciona la codificación noiselet en la resonancia magnética:

La codificación noiselet utiliza una matriz de transformación noiselet, cuyos coeficientes producidos dispersan eficazmente la señal tanto en la escala como en el tiempo. En consecuencia, cada subconjunto de estos coeficientes de transformación captura información específica de la señal original. Cuando estos subconjuntos se utilizan de forma independiente con relleno de ceros, cada uno de ellos se puede emplear para reconstruir la señal original a una resolución reducida. Como no todos los componentes de frecuencia espacial se muestrean mediante codificación noiselet, el submuestreo permite la reconstrucción de la imagen con menos mediciones, en otras palabras, una obtención de imágenes más eficiente sin sacrificar significativamente la calidad de la imagen.

• Imágenes de un solo píxel ^[6]

La obtención de imágenes de un solo píxel es una forma de obtención de imágenes en la que se utiliza un único detector para medir los niveles de luz después de que la muestra ha sido iluminada con patrones para lograr mediciones eficientes y compresivas. Noiselet se implementa para aumentar la eficiencia computacional siguiendo el principio de detección de compresión. La siguiente es una descripción general de cómo se aplica el ruido a las imágenes de un solo píxel:

La matriz de transformación noiselet se aplica a los patrones de iluminación estructurados y distribuye la información de la señal por el espacio de medición. Los patrones estructurados conducen a una representación escasa de la información de la señal. Esto permite el paso de reconstrucción de la imagen a partir de un conjunto reducido de mediciones, al tiempo que encapsula la información esencial necesaria para reconstruir una imagen con buena calidad en comparación con la original. Los beneficios aportados por noiselet se pueden concluir como:

1. Cantidad reducida de mediciones: se requieren menos mediciones para el cálculo
2. Datos comprimidos: la representación comprimida de la imagen reduce el tiempo de transmisión y almacenamiento.
3. Imágenes más rápidas: el tiempo total de adquisición se reduce significativamente, lo que hace que las imágenes de un solo píxel sean adecuadas para aplicaciones de imágenes rápidas.

Referencias

1. R. Coifman, F. Geshwind e Y. Meyer, Noiselets, análisis armónico computacional y aplicado, 10 (2001), págs. doi :10.1006/acha.2000.0313.
2. T. Tuma; P. Hurley. "Sobre la incoherencia de las bases noiselet y Haar" (PDF) .
3. E. Candes y J. Romberg, Escasez e incoherencia en el muestreo compresivo, 23 (2007), págs. 969–985. doi :10.1088/0266-5611/23/3/008.
4. K. Pawar, G. Egan y Z. Zhang, Resonancia magnética con detección de compresión multicanal mediante codificación Noiselet, 05 (2015), doi :10.1371/journal.pone.0126386.
5. Pruessmann, Klaas P.; Weiger, Markus; Scheidegger, Markus B.; Boesiger, Peter (noviembre de 1999). "SENSE: codificación de sensibilidad para resonancia magnética rápida". Resonancia Magnética en Medicina . 42 (5): 952–962. doi :10.1002/(SICI)1522-2594(199911)42:5<952::AID-MRM16>3.0.CO;2-S. ISSN  0740-3194. PMID  10542355.
6. "Transformada noiselet modificada y su aplicación a la detección de compresión con detectores ópticos de un solo píxel". ieeexplore.ieee.org . Consultado el 27 de diciembre de 2023 .