Conjunto de frente de onda

Tipo de análisis de singularidad

En el análisis matemático , más precisamente en el análisis microlocal , el frente de onda (conjunto) WF( f ) caracteriza las singularidades de una función generalizada f , no sólo en el espacio , sino también con respecto a su transformada de Fourier en cada punto. El término "frente de onda" fue acuñado por Lars Hörmander alrededor de 1970.

Introducción

En términos más familiares, WF( f ) indica no solo dónde la función f es singular (lo cual ya se describe por su soporte singular ), sino también cómo o por qué es singular, al ser más exacto acerca de la dirección en la que ocurre la singularidad. Este concepto es principalmente útil en dimensión al menos dos, ya que en una dimensión solo hay dos direcciones posibles. La noción complementaria de una función que no es singular en una dirección es la suavidad microlocal .

Intuitivamente, como ejemplo, considere una función ƒ cuyo soporte singular se concentra en una curva suave en el plano en el que la función tiene una discontinuidad de salto. En la dirección tangente a la curva, la función permanece suave. Por el contrario, en la dirección normal a la curva, la función tiene una singularidad. Para decidir si la función es suave en otra dirección v , uno puede tratar de suavizar la función promediando en direcciones perpendiculares a v . Si la función resultante es suave, entonces consideramos que ƒ es suave en la dirección de v . De lo contrario, v está en el conjunto de frentes de onda.

Formalmente, en el espacio euclidiano , el conjunto de frentes de onda de ƒ se define como el complemento del conjunto de todos los pares ( x ₀ , v ) tales que existe una función de prueba con ( x ₀ ) ≠ 0 y un cono abierto Γ que contiene a v tal que la estimación ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\mbox{for all }}\ \xi \in \Gamma }$

se cumple para todos los enteros positivos N . Aquí denota la transformada de Fourier. Obsérvese que el conjunto de frentes de onda es cónico en el sentido de que si ( x , v ) ∈ Wf(ƒ), entonces ( x ,λ v ) ∈ Wf(ƒ) para todo λ > 0. En el ejemplo analizado en el párrafo anterior, el conjunto de frentes de onda es el complemento teórico de la imagen del fibrado tangente de la curva dentro del fibrado tangente del plano. ${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }}$

Como la definición implica un corte por una función con soporte compacto, la noción de un conjunto de frentes de onda se puede trasladar a cualquier variedad diferenciable X . En esta situación más general, el conjunto de frentes de onda es un subconjunto cónico cerrado del fibrado cotangente T ^* ( X ), ya que la variable ξ se localiza naturalmente en un covector en lugar de un vector. El conjunto de frentes de onda se define de modo que su proyección sobre X sea igual al soporte singular de la función.

Definición

En el espacio euclidiano, el conjunto de frentes de onda de una distribución ƒ se define como

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

donde es la fibra singular de ƒ en x . La fibra singular se define como el complemento de todas las direcciones tales que la transformada de Fourier de f , localizada en x , es suficientemente regular cuando se restringe a un cono abierto que contiene . Más precisamente, una dirección v está en el complemento de si hay una función suave φ con soporte compacto con φ( x ) ≠ 0 y un cono abierto Γ que contiene v tal que la siguiente estimación se cumple para cada entero positivo N : ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$

${\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {for~all}}\ \xi \in \Gamma .}$

Una vez que dicha estimación es válida para una función de corte particular φ en x , también es válida para todas las funciones de corte con un soporte menor, posiblemente para un cono abierto diferente que contenga v .

En una variedad diferenciable M , utilizando coordenadas locales en el fibrado cotangente , el conjunto de frentes de onda WF( f ) de una distribución ƒ se puede definir de la siguiente manera general: ${\displaystyle x,\xi }$

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

donde la fibra singular es nuevamente el complemento de todas las direcciones tales que la transformada de Fourier de f , localizada en x , es suficientemente regular cuando se restringe a un entorno cónico de . El problema de regularidad es local, y por lo tanto se puede verificar en el sistema de coordenadas local, utilizando la transformada de Fourier en las variables x . La estimación de regularidad requerida se transforma bien bajo difeomorfismo , y por lo tanto la noción de regularidad es independiente de la elección de coordenadas locales. ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Generalizaciones

La noción de un conjunto de frentes de onda se puede adaptar para dar cabida a otras nociones de regularidad de una función. En este caso, la localización se puede expresar diciendo que f está truncada por alguna función de corte suave que no se anule en x . (El proceso de localización se podría realizar de una manera más elegante, utilizando germs .)

Más concretamente, esto se puede expresar como

${\displaystyle \xi \notin \Sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{ or }}\exists \phi \in {\mathcal {D}}_{x},\ \exists V\in {\mathcal {V}}_{\xi }:{\widehat {\phi f}}|_{V}\in O(V)}$

dónde

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x}}$son funciones suaves y compactas que no se desvanecen en x ,
• ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\xi }}$son vecindades cónicas de , es decir, vecindades V tales que para todo , ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle c\cdot V\subset V}$ ${\displaystyle c>0}$
• ${\displaystyle {\widehat {u}}|_{V}}$denota la transformada de Fourier de la función u (generalizada con soporte compacto) , restringida a V ,
• ${\displaystyle O:\Omega \to O(\Omega )}$es un conjunto fijo de funciones (o distribuciones) cuya elección refuerza la regularidad deseada de la transformada de Fourier.

Por lo general, se requiere que las secciones de O satisfagan alguna condición de crecimiento (o disminución) en el infinito, por ejemplo, que pertenezcan a algún espacio L p . Esta definición tiene sentido, porque la transformada de Fourier se vuelve más regular (en términos de crecimiento en el infinito) cuando f se trunca con el corte suave . ${\displaystyle (1+|\xi |)^{s}v(\xi )}$ ${\displaystyle \phi }$

El "problema" más difícil, desde un punto de vista teórico, es encontrar el haz O adecuado que caracterice las funciones pertenecientes a un subhaz E dado del espacio G de funciones generalizadas.

Ejemplo

Si tomamos G = D ′ el espacio de distribuciones de Schwartz y queremos caracterizar distribuciones que son funciones locales, debemos tomar para O (Ω) los espacios de funciones clásicos llamados O ′ _M (Ω) en la literatura. ${\displaystyle C^{\infty }}$

Entonces la proyección sobre el primer componente del conjunto de frentes de onda de una distribución no es otra cosa que su soporte singular clásico , es decir, el complemento del conjunto sobre el cual su restricción sería una función suave .

Aplicaciones

El conjunto de frentes de onda es útil, entre otros, cuando se estudia la propagación de singularidades mediante operadores pseudodiferenciales .

Véase también

• El FBI se transforma
• Espectro singular
• Soporte esencial

Referencias

• Lars Hörmander , Operadores integrales de Fourier I , Acta Math. 127 (1971), págs. 79–183.
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de ecuaciones diferenciales parciales lineales I: teoría de la distribución y análisis de Fourier , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 256 (2ª ed.), Springer, págs. 251–279, ISBN 0-387-52345-6Capítulo VIII, Análisis espectral de singularidades