Espacio Besov

Generalización de los espacios de Sobolev

En matemáticas , el espacio de Besov (llamado así por Oleg Vladimirovich Besov ) es un espacio cuasinormificado completo que es un espacio de Banach cuando 1 ≤ p , q ≤ ∞ . Estos espacios, así como los espacios de Triebel-Lizorkin definidos de manera similar , sirven para generalizar espacios de funciones más elementales, como los espacios de Sobolev , y son eficaces para medir las propiedades de regularidad de las funciones. ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

Definición

Existen varias definiciones equivalentes. A continuación se ofrece una de ellas.

Dejar

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}$

y definir el módulo de continuidad por

${\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}$

Sea n un entero no negativo y definamos: s = n + α con 0 < α ≤ 1. El espacio de Besov contiene todas las funciones f tales que ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty .}$

Norma

El espacio Besov está equipado con la norma ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Los espacios de Besov coinciden con los espacios de Sobolev más clásicos . ${\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} )}$

Si y no es un entero, entonces , donde denota el espacio de Sobolev–Slobodeckij . ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$

Referencias

• Triebel, Hans (1992). Teoría de los Espacios Funcionales II . doi :10.1007/978-3-0346-0419-2. ISBN 978-3-0346-0418-5.
• Besov, OV (1959). "Sobre algunas familias de espacios funcionales. Teoremas de incrustación y extensión". Dokl. Akad. Nauk SSSR (en ruso). 126 : 1163–1165. MR  0107165.
• DeVore, R. y Lorentz, G. "Aproximación constructiva", 1993.
• DeVore, R., Kyriazis, G. y Wang, P. "Caracterizaciones multiescala de espacios de Besov en dominios acotados", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).
• Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso sobre espacios de Sobolev: segunda edición . Estudios de posgrado en matemáticas . 181. American Mathematical Society. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8