Mínimo común múltiplo

Número positivo más pequeño divisible por dos enteros

Un diagrama de Venn que muestra los mínimos comunes múltiplos de todos los subconjuntos de {2, 3, 4, 5, 7}.

En aritmética y teoría de números , el mínimo común múltiplo , mínimo común múltiplo o mínimo común múltiplo de dos números enteros a y b , usualmente denotado por mcm( a ,  b ) , es el número entero positivo más pequeño que es divisible por a y b . ^{[1] [2]} Dado que la división de números enteros por cero no está definida, esta definición tiene significado solo si a y b son ambos diferentes de cero. ^[3] Sin embargo, algunos autores definen mcm( a , 0) como 0 para todo a , ya que 0 es el único múltiplo común de a y 0.

El mínimo común múltiplo de los denominadores de dos fracciones es el " mínimo común denominador " (mcd), y se puede utilizar para sumar, restar o comparar las fracciones.

El mínimo común múltiplo de más de dos números enteros a , b , c , . . . , usualmente denotado por mcm( a ,  b ,  c , . . .) , se define como el entero positivo más pequeño que es divisible por cada uno de a , b , c , . . . ^[1]

Descripción general

Un múltiplo de un número es el producto de ese número por un entero. Por ejemplo, 10 es múltiplo de 5 porque 5 × 2 = 10, por lo que 10 es divisible por 5 y 2. Como 10 es el entero positivo más pequeño que es divisible por 5 y 2, es el mínimo común múltiplo de 5 y 2. Por el mismo principio, 10 también es el mínimo común múltiplo de −5 y −2.

Notación

El mínimo común múltiplo de dos números enteros a y b se denota como mcm( a , b ). ^[1] Algunos libros de texto más antiguos usan [ a , b ]. ^{[3] [4]}

Ejemplo

${\displaystyle \operatorname {lcm} (4,6)}$

Los múltiplos de 4 son:

${\displaystyle 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,...}$

Los múltiplos de 6 son:

${\displaystyle 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...}$

Los múltiplos comunes de 4 y 6 son los números que están en ambas listas:

${\displaystyle 12,24,36,48,60,72,...}$

En esta lista, el número más pequeño es 12. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo es 12.

Aplicaciones

Al sumar, restar o comparar fracciones simples , se utiliza el mínimo común múltiplo de los denominadores (a menudo llamado mínimo común denominador ), porque cada una de las fracciones se puede expresar como una fracción con este denominador. Por ejemplo,

${\displaystyle {2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42}}$

donde se utilizó el denominador 42, porque es el mínimo común múltiplo de 21 y 6.

Problema de engranajes

Supongamos que hay dos engranajes engranados en una máquina , que tienen m y n dientes, respectivamente, y los engranajes están marcados por un segmento de línea dibujado desde el centro del primer engranaje hasta el centro del segundo engranaje. Cuando los engranajes comienzan a girar, la cantidad de rotaciones que debe completar el primer engranaje para realinear el segmento de línea se puede calcular utilizando . El primer engranaje debe completar rotaciones para la realineación. Para entonces, el segundo engranaje habrá realizado rotaciones. ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n) \over m}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n) \over n}$

Alineación planetaria

Supongamos que hay tres planetas que giran alrededor de una estrella y que tardan l , m y n unidades de tiempo, respectivamente, en completar sus órbitas. Supongamos que l , m y n son números enteros. Suponiendo que los planetas comenzaron a moverse alrededor de la estrella después de una alineación lineal inicial, todos los planetas alcanzan una alineación lineal nuevamente después de unidades de tiempo. En este momento, el primer, segundo y tercer planeta habrán completado , y órbitas, respectivamente, alrededor de la estrella. ^[5] ${\displaystyle \operatorname {lcm} (l,m,n)}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (l,m,n) \over l}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (l,m,n) \over m}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (l,m,n) \over n}$

Cálculo

Hay varias formas de calcular los mínimos comunes múltiplos.

Usando el máximo común divisor

El mínimo común múltiplo se puede calcular a partir del máximo común divisor (mcd) con la fórmula

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|ab|}{\gcd(a,b)}}.}$

Para evitar introducir números enteros mayores que el resultado, es conveniente utilizar las fórmulas equivalentes

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=|a|\,{\frac {|b|}{\gcd(a,b)}}=|b|\,{\frac {|a|}{\gcd(a,b)}},}$

donde el resultado de la división es siempre un número entero.

Estas fórmulas también son válidas cuando exactamente uno de a y b es 0 , ya que mcd( a , 0) = | a | . Sin embargo, si ambos ay b son 0 , estas fórmulas causarían división por cero ; por lo tanto, mcm(0, 0) = 0 debe considerarse como un caso especial.

Para volver al ejemplo anterior,

${\displaystyle \operatorname {lcm} (21,6)=6\times {\frac {21}{\gcd(21,6)}}=6\times {\frac {21}{3}}=6\times 7=42.}$

Existen algoritmos rápidos , como el algoritmo euclidiano para calcular el mcd, que no requieren que los números se factoricen . Para números enteros muy grandes, existen algoritmos incluso más rápidos para las tres operaciones involucradas (multiplicación, mcd y división); consulte Multiplicación rápida . Como estos algoritmos son más eficientes con factores de tamaño similar, es más eficiente dividir el argumento más grande del mcm por el mcd de los argumentos, como en el ejemplo anterior.

Usando factorización prima

El teorema de factorización única indica que todo entero positivo mayor que 1 puede escribirse de una sola manera como producto de números primos . Los números primos pueden considerarse como los elementos atómicos que, al combinarse, forman un número compuesto .

Por ejemplo:

${\displaystyle 90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5.}$

Aquí, el número compuesto 90 está formado por un átomo del número primo 2, dos átomos del número primo 3 y un átomo del número primo 5.

Este hecho se puede utilizar para encontrar el mcm de un conjunto de números.

Ejemplo: mcm(8,9,21)

Factoriza cada número y exprésalo como producto de potencias de números primos .

${\displaystyle {\begin{aligned}8&=2^{3}\\9&=3^{2}\\21&=3^{1}\cdot 7^{1}\end{aligned}}}$

El mcm será el producto de multiplicar la potencia más alta de cada número primo. La potencia más alta de los tres números primos 2, 3 y 7 es 2 ³ , 3 ² y 7 ¹ , respectivamente. Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.}$

Este método no es tan eficiente como reducir al máximo común divisor, ya que no se conoce ningún algoritmo general eficiente para la factorización de números enteros .

El mismo método también se puede ilustrar con un diagrama de Venn como el siguiente, con la factorización prima de cada uno de los dos números mostrados en cada círculo y todos los factores que comparten en común en la intersección. El mcm se puede hallar multiplicando todos los números primos del diagrama.

He aquí un ejemplo:

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3,

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5,

compartiendo dos "2" y un "3" en común:

Mínimo común múltiplo = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720

Máximo común divisor = 2 × 2 × 3 = 12

Producto = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 8640

Esto también funciona para el máximo común divisor (mcd), excepto que en lugar de multiplicar todos los números del diagrama de Venn, se multiplican solo los factores primos que están en la intersección. Por lo tanto, el mcd de 48 y 180 es 2 × 2 × 3 = 12.

Fórmulas

Teorema fundamental de la aritmética

Según el teorema fundamental de la aritmética , todo número entero mayor que 1 puede representarse únicamente como producto de números primos, hasta el orden de los factores:

${\displaystyle n=2^{n_{2}}3^{n_{3}}5^{n_{5}}7^{n_{7}}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}},}$

donde los exponentes n ₂ , n ₃ , ... son números enteros no negativos; por ejemplo, 84 = 2 ² 3 ¹ 5 ⁰ 7 ¹ 11 ⁰ 13 ⁰ ...

Dados dos números enteros positivos y , su mínimo común múltiplo y máximo común divisor se dan mediante las fórmulas ${\textstyle a=\prod _{p}p^{a_{p}}}$ ${\textstyle b=\prod _{p}p^{b_{p}}}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=\prod _{p}p^{\min(a_{p},b_{p})}}$

y

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=\prod _{p}p^{\max(a_{p},b_{p})}.}$

Desde

${\displaystyle \min(x,y)+\max(x,y)=x+y,}$

Esto da

${\displaystyle \gcd(a,b)\operatorname {lcm} (a,b)=ab.}$

De hecho, cada número racional puede escribirse únicamente como producto de primos, si se permiten exponentes negativos. Cuando se hace esto, las fórmulas anteriores siguen siendo válidas. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}4&=2^{2}3^{0},&6&=2^{1}3^{1},&\gcd(4,6)&=2^{1}3^{0}=2,&\operatorname {lcm} (4,6)&=2^{2}3^{1}=12.\\[8pt]{\tfrac {1}{3}}&=2^{0}3^{-1}5^{0},&{\tfrac {2}{5}}&=2^{1}3^{0}5^{-1},&\gcd \left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}}\right)&=2^{0}3^{-1}5^{-1}={\tfrac {1}{15}},&\operatorname {lcm} \left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}}\right)&=2^{1}3^{0}5^{0}=2,\\[8pt]{\tfrac {1}{6}}&=2^{-1}3^{-1},&{\tfrac {3}{4}}&=2^{-2}3^{1},&\gcd \left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {3}{4}}\right)&=2^{-2}3^{-1}={\tfrac {1}{12}},&\operatorname {lcm} \left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {3}{4}}\right)&=2^{-1}3^{1}={\tfrac {3}{2}}.\end{aligned}}}$

Teoría de celosía

Los números enteros positivos pueden ordenarse parcialmente por divisibilidad: si a divide a b (es decir, si b es un múltiplo entero de a ), se escribe a ≤ b (o, equivalentemente, b ≥ a ). (Tenga en cuenta que aquí no se utiliza la definición habitual basada en la magnitud de ≤).

Bajo este orden, los enteros positivos se convierten en una red , con el mcd y el mcm como valores de encuentro . La prueba es sencilla, aunque un poco tediosa; consiste en comprobar que el mcd y el mcd satisfacen los axiomas de encuentro y de encuentro. Poner el mcd y el mcd en este contexto más general establece una dualidad entre ellos:

Si una fórmula que incluye variables enteras, mcd, mcm, ≤ y ≥ es verdadera, entonces la fórmula obtenida al intercambiar mcd por mcm e intercambiar ≥ por ≤ también es verdadera. (Recuerde que ≤ se define como divide).

Los siguientes pares de fórmulas duales son casos especiales de identidades generales de teoría reticular.

También se puede demostrar ^[6] que esta red es distributiva ; es decir, el mcm se distribuye sobre el mcd y el mcd se distribuye sobre el mcm:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)),}$

${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c)).}$

Esta identidad es auto-dual:

${\displaystyle \gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (b,c),\operatorname {lcm} (a,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(b,c),\gcd(a,c)).}$

Otro

• Sea D el producto de ω ( D ) números primos distintos (es decir, D no tiene cuadrados ).

Entonces ^[7]

${\displaystyle |\{(x,y)\;:\;\operatorname {lcm} (x,y)=D\}|=3^{\omega (D)},}$

donde las barras absolutas || denotan la cardinalidad de un conjunto.

• Si ninguno de es cero, entonces ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1}),a_{r}).}$^{[8] [9]}

En anillos conmutativos

El mínimo común múltiplo se puede definir de forma general sobre anillos conmutativos de la siguiente manera:

Sean a y b elementos de un anillo conmutativo R . Un múltiplo común de a y b es un elemento m de R tal que tanto a como b dividen a m (es decir, existen elementos x e y de R tales que ax = m y by = m ). Un mínimo común múltiplo de a y b es un múltiplo común que es mínimo, en el sentido de que para cualquier otro múltiplo común n de a y b , m divide  a n .

En general, dos elementos en un anillo conmutativo no pueden tener ningún mínimo común múltiplo o más de uno. Sin embargo, dos mínimos comunes múltiplos cualesquiera del mismo par de elementos son asociados . ^[10] En un dominio de factorización única , dos elementos cualesquiera tienen un mínimo común múltiplo. ^[11] En un dominio de ideales principales , el mínimo común múltiplo de a y b puede caracterizarse como un generador de la intersección de los ideales generados por a y b ^[10] (la intersección de una colección de ideales es siempre un ideal).

Véase también

• Cancelación anómala
• Números enteros coprimos
• Función de Chebyshev

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Mínimo común múltiplo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
2. Hardy y Wright, § 5.1, pág. 48
3. Long (1972, pág. 39)
4. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 56)
5. "matemáticas espaciales de la NASA" (PDF) .
6. Las tres fórmulas siguientes son de Landau, Ex. III.3, p. 254
7. Crandall y Pomerance, ejemplo 2.4, pág. 101.
8. Largo (1972, pág. 41)
9. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 58)
10. Burton 1970, pág. 94.
11. Grillet 2007, pág. 142.

Referencias

• Burton, David M. (1970). Un primer curso sobre anillos e ideales . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00731-2.
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional, Nueva York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-71568-1.
• Hardy, GH; Wright, EM (1979), Introducción a la teoría de números (Quinta edición), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Landau, Edmund (1966), Teoría elemental de números , Nueva York: Chelsea
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766