Métodos de Monte Carlo para la valoración de opciones

En finanzas matemáticas , un modelo de opción Monte Carlo utiliza métodos Monte Carlo ^{[Notas 1]} para calcular el valor de una opción con múltiples fuentes de incertidumbre o con características complicadas. ^[1] La primera aplicación a la valoración de opciones fue realizada por Phelim Boyle en 1977 (para opciones europeas ). En 1996, M. Broadie y P. Glasserman mostraron cómo fijar el precio de las opciones asiáticas mediante Monte Carlo. Un avance importante fue la introducción en 1996 por Carriere de los métodos de Monte Carlo para opciones con características de ejercicio temprano .

Metodología

En términos teóricos , la valoración de Monte Carlo se basa en una valoración neutral al riesgo. ^[1] Aquí el precio de la opción es su valor esperado descontado ; Véase neutralidad del riesgo y fijación de precios racional . La técnica aplicada entonces es (1) generar un gran número de trayectorias de precios posibles, pero aleatorias , para el subyacente (o los subyacentes) mediante simulación , y (2) luego calcular el valor de ejercicio asociado (es decir, el "pago") de la opción para cada camino. (3) Estos pagos luego se promedian y (4) se descuentan hasta el día de hoy. Este resultado es el valor de la opción. ^[2]

Este enfoque, aunque relativamente sencillo, permite una complejidad cada vez mayor:

• Una opción sobre acciones puede modelarse con una fuente de incertidumbre: el precio de la acción subyacente en cuestión. ^[2] Aquí el precio del instrumento subyacente generalmente se modela de manera que siga un movimiento browniano geométrico con deriva y volatilidad constantes . Entonces: , donde se encuentra mediante un muestreo aleatorio de una distribución normal ; ver más en Black-Scholes . Dado que el proceso aleatorio subyacente es el mismo, para suficientes trayectorias de precios, el valor de una opción europea aquí debería ser el mismo que bajo Black-Scholes . Sin embargo, en términos más generales, la simulación se emplea para derivados exóticos que dependen de la trayectoria , como las opciones asiáticas . ${\displaystyle \ S_{t}\,}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

• En otros casos, la fuente de incertidumbre puede estar alejada. Por ejemplo, para las opciones sobre bonos ^[3] el subyacente es un bono , pero la fuente de incertidumbre es la tasa de interés anualizada (es decir, la tasa corta ). Aquí, para cada curva de rendimiento generada aleatoriamente observamos un precio de bono resultante diferente en la fecha de ejercicio de la opción; este precio del bono es entonces el insumo para la determinación del pago de la opción. El mismo enfoque se utiliza en la valoración de swaptions , ^[4] donde el valor del swap subyacente también es función de la evolución del tipo de interés. (Mientras que estas opciones se valoran más comúnmente utilizando modelos basados ​​en celosías , como se indicó anteriormente, para los derivados de tasas de interés dependientes de la trayectoria , como los CMO , la simulación es la técnica principal empleada. ^[5] ) Para los modelos utilizados para simular la tasa de interés, consulte más adelante bajo el modelo de tasa corta ; "para crear simulaciones realistas de tipos de interés" A veces se emplean modelos multifactoriales de tipos de interés a corto plazo . ^[6] Para aplicar la simulación a los IRD, el analista primero debe "calibrar" los parámetros del modelo, de modo que los precios de los bonos producidos por el modelo se ajusten mejor a los precios de mercado observados.

• Los métodos de Monte Carlo permiten una combinación de la incertidumbre . ^[7] Por ejemplo, cuando el subyacente está denominado en moneda extranjera, una fuente adicional de incertidumbre será el tipo de cambio : el precio del subyacente y el tipo de cambio deben simularse por separado y luego combinarse para determinar el valor del subyacente en el mercado. moneda local. En todos estos modelos también se incorpora la correlación entre las fuentes subyacentes de riesgo; ver descomposición de Cholesky § simulación de Monte Carlo . También pueden introducirse otras complicaciones, como el impacto de los precios de las materias primas o la inflación en el subyacente. Dado que la simulación puede adaptarse a problemas complejos de este tipo, a menudo se utiliza para analizar opciones reales ^[1] donde la decisión de la dirección en cualquier punto es función de múltiples variables subyacentes.

• La simulación también se puede utilizar para valorar opciones en las que el beneficio depende del valor de múltiples activos subyacentes ^[8], como una opción Basket o una opción Rainbow . Aquí también se incorpora la correlación entre los rendimientos de los activos. ^{[¿ según quién? ]}

• Según sea necesario, la simulación Monte Carlo se puede utilizar con cualquier tipo de distribución de probabilidad , incluidas distribuciones cambiantes: el modelador no se limita a rendimientos normales o logarítmicos normales ; ^[9] Véase, por ejemplo, el método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales . Además, el proceso estocástico de los subyacentes puede especificarse de manera que presente saltos , reversión a la media o ambas; esta característica hace que la simulación sea el principal método de valoración aplicable a los derivados de energía . ^[10] Además, algunos modelos incluso permiten variar (aleatoriamente) parámetros estadísticos (y otros) de las fuentes de incertidumbre. Por ejemplo, en modelos que incorporan volatilidad estocástica , la volatilidad del subyacente cambia con el tiempo; ver modelo de Heston . ^{[ cita necesaria ]}

Mínimo cuadrado Montecarlo

Mínimo Cuadrado Monte Carlo es una técnica para valorar opciones de ejercicio temprano (es decir, opciones de Bermudas o Americanas ). Fue introducido por primera vez por Jacques Carriere en 1996. ^[11]

Se basa en la iteración de un procedimiento de dos pasos:

• Primero, se realiza un proceso de inducción hacia atrás en el que se asigna recursivamente un valor a cada estado en cada paso de tiempo. El valor se define como la regresión de mínimos cuadrados contra el precio de mercado del valor de la opción en ese estado y momento (-paso). El valor de la opción para esta regresión se define como el valor de las posibilidades de ejercicio (dependientes del precio de mercado) más el valor del paso de tiempo en el que resultaría ese ejercicio (definido en el paso anterior del proceso). ^[12]
• En segundo lugar, cuando todos los estados se valoran para cada paso de tiempo, el valor de la opción se calcula moviéndose a través de los pasos de tiempo y los estados tomando una decisión óptima sobre el ejercicio de la opción en cada paso en función de una trayectoria de precios y el valor del estado que daría como resultado. Este segundo paso se puede realizar con múltiples trayectorias de precios para agregar un efecto estocástico al procedimiento. ^[11]

Solicitud

Como puede verse, los métodos de Monte Carlo son particularmente útiles en la valoración de opciones con múltiples fuentes de incertidumbre o con características complicadas, lo que haría difícil valorarlas mediante un cálculo sencillo al estilo Black-Scholes o basado en celosía . Por lo tanto, la técnica se utiliza ampliamente para valorar estructuras dependientes de la trayectoria, como las opciones retrospectivas y asiáticas ^[9] y en el análisis de opciones reales . ^{[1] [7]} Además, como se indicó anteriormente, el modelador no está limitado en cuanto a la distribución de probabilidad asumida. ^[9]

Sin embargo, a la inversa, si existe una técnica analítica para valorar la opción (o incluso una técnica numérica , como un árbol de precios (modificado) ^[9] ), los métodos de Monte Carlo generalmente serán demasiado lentos para ser competitivos. Son, en cierto sentido, un método de último recurso; ^[9] ver más abajo Métodos de Monte Carlo en finanzas . Con una capacidad informática más rápida, esta limitación computacional es menos preocupante. ^{[¿ según quién? ]}

Ver también

• Métodos de Montecarlo en finanzas
• Métodos cuasi-Montecarlo en finanzas
• Modelado estocástico (seguros)
• Modelo de activos estocástico

Referencias

Notas

1. Aunque el término 'método de Montecarlo' fue acuñado por Stanislaw Ulam en la década de 1940, algunos remontan tales métodos al naturalista francés Buffon del siglo XVIII , y a una pregunta que hizo sobre los resultados de dejar caer una aguja al azar sobre un piso o mesa rayada. Véase la aguja de Buffon .

Fuentes

1. Marco Dias: opciones reales con simulación de Montecarlo
2. Don Chance: Nota didáctica 96-03: Simulación de Montecarlo
3. Peter Carr y Guang Yang: Simulación de opciones de bonos estadounidenses en un marco HJM
4. Carlos Blanco, Josh Gray y Marc Hazzard: Métodos de valoración alternativos para swaps: el diablo está en los detalles Archivado el 2 de diciembre de 2007 en Wayback Machine.
5. Frank J. Fabozzi : Valoración de valores y derivados de renta fija, pág. 138
6. Donald R. van Deventer (Kamakura Corporation): Errores en la gestión de activos y pasivos: modelos de estructura temporal de un factor Archivado el 3 de abril de 2012 en Wayback Machine.
7. Gonzalo Cortazar, Miguel Gravet y Jorge Urzua: La valoración de opciones reales americanas multidimensionales utilizando el método de simulación LSM
8. global-derivatives.com: Opciones de cesta - Simulación
9. Rich Tanenbaum: Batalla de los modelos de precios: árboles vs Montecarlo
10. Les Clewlow, Chris Strickland y Vince Kaminski: Ampliación de la difusión del salto con reversión a la media
11. Carriere, Jacques (1996). "Valoración del precio de ejercicio anticipado de opciones mediante simulaciones y regresión no paramétrica". Seguros: Matemáticas y Economía . 19 : 19–30. doi :10.1016/S0167-6687(96)00004-2.
12. Longstaff, Francisco. "Valoración de las opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados" (PDF) . Consultado el 18 de diciembre de 2019 .

Referencias primarias

• Boyle, Phelim P. (1977). "Opciones: un enfoque de Montecarlo". Revista de economía financiera . 4 (3): 323–338. doi :10.1016/0304-405x(77)90005-8 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Broadie, M.; Glasserman, P. (1996). "Estimación de derivados de precios de valores mediante simulación" (PDF) . Ciencias de la gestión . 42 (2): 269–285. CiteSeerX  10.1.1.196.1128 . doi : 10.1287/mnsc.42.2.269 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Longstaff, FA; Schwartz, ES (2001). "Valoración de opciones estadounidenses mediante simulación: un enfoque simple de mínimos cuadrados". Revisión de Estudios Financieros . 14 : 113-148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . doi : 10.1093/rfs/14.1.113 . Consultado el 28 de junio de 2012 .

Bibliografía

• Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: metodologías y aplicaciones para la fijación de precios y la gestión de riesgos . Riesgo.
• Paul Glasserman (2003). Métodos de Monte Carlo en ingeniería financiera . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-00451-8.
• Peter Jaeckel (2002). Métodos de Montecarlo en finanzas . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-49741-7.
• Don L. McLeish (2005). Simulación y finanzas de Montecarlo . ISBN 978-0-471-67778-9.
• Christian P. Robert, George Casella (2004). Métodos estadísticos de Montecarlo. ISBN 978-0-387-21239-5.

enlaces externos

Herramientas en línea

• Monte Carlo simuló series temporales de precios de acciones y generador de números aleatorios (permite elegir la distribución), Steven Whitney

Artículos y documentos de debate

• Simulación Monte Carlo, Prof. Don M. Chance, Universidad Estatal de Luisiana
• Fijación de precios de opciones complejas utilizando una simple simulación de Monte Carlo, Peter Fink (reimpresión en quantnotes.com)
• Simulación MonteCarlo en Finanzas, global-derivatives.com
• Valoración de derivados Monte Carlo, continuación, Timothy L. Krehbiel, Universidad Estatal de Oklahoma – Stillwater
• Aplicaciones de los métodos de Monte Carlo en finanzas: fijación de precios de opciones, Y. Lai y J. Spanier, Claremont Graduate University
• Fijación de precios de opciones mediante simulación, Bernt Arne Ødegaard, Escuela Noruega de Gestión
• Fijación de precios y cobertura de opciones exóticas con simulaciones de Monte Carlo, Augusto Perilla, Diana Oancea, Prof. Michael Rockinger, HEC Lausanne
• Método Montecarlo, Riskglossary.com