En matemáticas , un esquema de grupo es un tipo de objeto de la geometría algebraica equipado con una ley de composición. Los esquemas de grupo surgen naturalmente como simetrías de esquemas , y generalizan grupos algebraicos , en el sentido de que todos los grupos algebraicos tienen estructura de esquema de grupo, pero los esquemas de grupo no están necesariamente conectados, son suaves o están definidos sobre un cuerpo. Esta generalidad adicional permite estudiar estructuras infinitesimales más ricas, y esto puede ayudar a comprender y responder preguntas de importancia aritmética. La categoría de esquemas de grupo se comporta algo mejor que la de variedades de grupo , ya que todos los homomorfismos tienen núcleos , y existe una teoría de deformación que se comporta bien . Los esquemas de grupo que no son grupos algebraicos juegan un papel importante en la geometría aritmética y la topología algebraica , ya que surgen en contextos de representaciones de Galois y problemas de módulos . El desarrollo inicial de la teoría de esquemas de grupo se debió a Alexander Grothendieck , Michel Raynaud y Michel Demazure a principios de la década de 1960.
Un esquema de grupo es un objeto de grupo en una categoría de esquemas que tiene productos de fibra y algún objeto final S. Es decir, es un S -esquema G equipado con uno de los conjuntos de datos equivalentes.
Un homomorfismo de esquemas de grupo es un mapa de esquemas que respeta la multiplicación. Esto se puede expresar con precisión diciendo que un mapa f satisface la ecuación f μ = μ( f × f ), o diciendo que f es una transformación natural de funtores de esquemas a grupos (en lugar de solo conjuntos).
Una acción izquierda de un esquema de grupo G sobre un esquema X es un morfismo G × S X → X que induce una acción izquierda del grupo G ( T ) sobre el conjunto X ( T ) para cualquier S -esquema T . Las acciones derechas se definen de manera similar. Cualquier esquema de grupo admite acciones izquierdas y derechas naturales sobre su esquema subyacente por multiplicación y conjugación . La conjugación es una acción por automorfismos, es decir, conmuta con la estructura del grupo, y esto induce acciones lineales sobre objetos derivados naturalmente, como su álgebra de Lie , y el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda.
Un esquema de S -grupo G es conmutativo si el grupo G ( T ) es un grupo abeliano para todos los S -esquemas T . Existen otras condiciones equivalentes, como que la conjugación induzca una acción trivial o que la función de inversión ι sea un automorfismo de esquema de grupo.
Supóngase que G es un esquema de grupo de tipo finito sobre un cuerpo k . Sea G 0 el componente conexo de la identidad, es decir, el esquema de subgrupo conexo maximal. Entonces G es una extensión de un esquema de grupo étale finito por G 0. G tiene un único subesquema reducido maximal G red , y si k es perfecto, entonces G red es una variedad de grupo suave que es un esquema de subgrupo de G. El esquema de cociente es el espectro de un anillo local de rango finito.
Cualquier esquema de grupo afín es el espectro de un álgebra de Hopf conmutativa (sobre una base S , esto está dado por el espectro relativo de un O S -álgebra). Las aplicaciones de multiplicación, unidad e inversa del esquema de grupo están dadas por las estructuras de comultiplicación, counit y antípoda en el álgebra de Hopf. Las estructuras de unidad y multiplicación en el álgebra de Hopf son intrínsecas al esquema subyacente. Para un esquema de grupo arbitrario G , el anillo de secciones globales también tiene una estructura de álgebra de Hopf conmutativa, y al tomar su espectro, se obtiene el grupo cociente afín máximo. Las variedades de grupos afines se conocen como grupos algebraicos lineales, ya que pueden incorporarse como subgrupos de grupos lineales generales.
Los esquemas de grupo completos conectados son en cierto sentido opuestos a los esquemas de grupo afines, ya que la completitud implica que todas las secciones globales son exactamente las que se retiran de la base y, en particular, no tienen aplicaciones no triviales para los esquemas afines. Cualquier variedad de grupo completa (variedad aquí significa esquema separado reducido y geométricamente irreducible de tipo finito sobre un cuerpo) es automáticamente conmutativa, por un argumento que involucra la acción de conjugación en espacios jet de la identidad. Las variedades de grupo completas se denominan variedades abelianas . Esto se generaliza a la noción de esquema abeliano; un esquema de grupo G sobre una base S es abeliano si el morfismo estructural de G a S es apropiado y suave con fibras geométricamente conectadas. Son automáticamente proyectivos y tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de campos de clases geométricas y en toda la geometría algebraica. Sin embargo, un esquema de grupo completo sobre un cuerpo no necesita ser conmutativo; por ejemplo, cualquier esquema de grupo finito es completo.
Un esquema de grupo G sobre un esquema noetheriano S es finito y plano si y solo si O G es un módulo O S localmente libre de rango finito. El rango es una función localmente constante en S , y se denomina orden de G . El orden de un esquema de grupo constante es igual al orden del grupo correspondiente y, en general, el orden se comporta bien con respecto al cambio de base y la restricción plana finita de los escalares .
Entre los esquemas de grupos planos finitos, las constantes (cf. ejemplo anterior) forman una clase especial, y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, la categoría de grupos finitos es equivalente a la categoría de esquemas de grupos finitos constantes. Sobre bases con característica positiva o estructura más aritmética, existen tipos de isomorfismo adicionales. Por ejemplo, si 2 es invertible sobre la base, todos los esquemas de grupos de orden 2 son constantes, pero sobre los enteros 2-ádicos, μ 2 no es constante, porque la fibra especial no es suave. Existen secuencias de anillos 2-ádicos altamente ramificados sobre los cuales el número de tipos de isomorfismo de esquemas de grupos de orden 2 crece arbitrariamente. Se puede encontrar un análisis más detallado de esquemas de grupos planos finitos conmutativos sobre anillos p -ádicos en el trabajo de Raynaud sobre prolongaciones.
Los esquemas de grupos planos finitos conmutativos a menudo ocurren en la naturaleza como esquemas de subgrupos de variedades abelianas y semi-abelianas, y en característica positiva o mixta, pueden capturar mucha información sobre la variedad ambiental. Por ejemplo, la p -torsión de una curva elíptica en característica cero es localmente isomorfa al esquema de grupo abeliano elemental constante de orden p 2 , pero sobre F p , es un esquema de grupo plano finito de orden p 2 que tiene p componentes conexos (si la curva es ordinaria) o un componente conexo (si la curva es supersingular ). Si consideramos una familia de curvas elípticas, la p -torsión forma un esquema de grupo plano finito sobre el espacio de parametrización, y el locus supersingular es donde las fibras están conectadas. Esta fusión de componentes conexos se puede estudiar en gran detalle pasando de un esquema modular a un espacio analítico rígido , donde los puntos supersingulares se reemplazan por discos de radio positivo.
La dualidad de Cartier es un análogo teórico de la dualidad de Pontryagin que lleva esquemas de grupos conmutativos finitos a esquemas de grupos conmutativos finitos.
Los esquemas de grupos conmutativos planos finitos sobre un cuerpo perfecto k de característica positiva p pueden estudiarse transfiriendo su estructura geométrica a un entorno (semi)algebraico-lineal. El objeto básico es el anillo de Dieudonné D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), que es un cociente del anillo de polinomios no conmutativos, con coeficientes en vectores de Witt de k . F y V son los operadores de Frobenius y Verschiebung , y pueden actuar de manera no trivial sobre los vectores de Witt. Dieudonné y Cartier construyeron una antiequivalencia de categorías entre esquemas de grupos conmutativos finitos sobre k de orden una potencia de "p" y módulos sobre D con longitud W ( k ) finita . El funtor módulo de Dieudonné en una dirección está dado por homomorfismos en el haz abeliano CW de co-vectores de Witt. Este haz es más o menos dual al haz de vectores de Witt (que de hecho es representable por un esquema de grupo), ya que se construye tomando un límite directo de vectores de Witt de longitud finita bajo sucesivas aplicaciones de Verschiebung V : W n → W n+1 , y luego completando. Muchas propiedades de los esquemas de grupo conmutativos se pueden ver examinando los módulos de Dieudonné correspondientes, por ejemplo, los esquemas de p -grupos conexos corresponden a D -módulos para los cuales F es nilpotente, y los esquemas de grupo étale corresponden a módulos para los cuales F es un isomorfismo.
La teoría de Dieudonné existe en un contexto algo más general que el de los grupos planos finitos sobre un cuerpo. La tesis de Oda de 1967 estableció una conexión entre los módulos de Dieudonné y la primera cohomología de De Rham de variedades abelianas, y aproximadamente al mismo tiempo, Grothendieck sugirió que debería existir una versión cristalina de la teoría que pudiera utilizarse para analizar grupos p -divisibles. Las acciones de Galois sobre los esquemas de grupo se transfieren a través de las equivalencias de categorías, y la teoría de deformación asociada de las representaciones de Galois se utilizó en el trabajo de Wiles sobre la conjetura de Shimura-Taniyama .