Espacio anti-de Sitter

Variedad lorentziana de simetría máxima con constante cosmológica negativa

El espacio anti-de Sitter tridimensional es como una pila de discos hiperbólicos , cada uno de los cuales representa el estado del universo en un momento dado. ^[a]

En matemáticas y física , el espacio anti-de Sitter n -dimensional (AdS _n ) es una variedad lorentziana de simetría máxima con curvatura escalar negativa constante . El espacio anti-de Sitter y el espacio de Sitter reciben su nombre de Willem de Sitter (1872-1934), profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y director del Observatorio de Leiden . Willem de Sitter y Albert Einstein trabajaron juntos en Leiden en la década de 1920 sobre la estructura espacio-temporal del universo. Paul Dirac fue la primera persona en explorar rigurosamente el espacio anti-de Sitter, haciéndolo en 1963. ^{[1] [2] [3] [4]}

Las variedades de curvatura constante son más familiares en el caso de dos dimensiones, donde el plano elíptico o superficie de una esfera es una superficie de curvatura positiva constante, un plano (es decir, euclidiano ) es una superficie de curvatura cero constante y un plano hiperbólico es una superficie de curvatura negativa constante.

La teoría general de la relatividad de Einstein coloca al espacio y al tiempo en pie de igualdad, de modo que se considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. Los casos de espacio-tiempo de curvatura constante son el espacio de De Sitter (positivo), el espacio de Minkowski (cero) y el anti-espacio de De Sitter (negativo). Como tales, son soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein para un universo vacío con una constante cosmológica positiva, cero o negativa , respectivamente.

El espacio anti-de Sitter se generaliza a cualquier número de dimensiones espaciales. En dimensiones superiores, es más conocido por su papel en la correspondencia AdS/CFT , que sugiere que es posible describir una fuerza en mecánica cuántica (como el electromagnetismo , la fuerza débil o la fuerza fuerte ) en un cierto número de dimensiones (por ejemplo, cuatro) con una teoría de cuerdas donde las cuerdas existen en un espacio anti-de Sitter, con una dimensión adicional (no compacta).

Explicación no técnica

Términos técnicos traducidos

Una variedad lorentziana de simetría máxima es un espacio-tiempo en el que ningún punto en el espacio y el tiempo se puede distinguir de ningún modo de otro, y (al ser lorentziana) la única forma en que se puede distinguir una dirección (o tangente a una trayectoria en un punto del espacio-tiempo) es si es espacial , luminosa o temporal . El espacio de la relatividad especial ( espacio de Minkowski ) es un ejemplo.

Una curvatura escalar constante significa una curvatura del espacio-tiempo similar a la de la gravedad según la relatividad general que tiene una curvatura descrita por un único número que es el mismo en todas partes del espacio-tiempo en ausencia de materia o energía.

Curvatura negativa significa curvada hiperbólicamente, como la superficie de una silla de montar o la superficie del cuerno de Gabriel , similar a la de una campana de trompeta .

El espacio-tiempo en la relatividad general

La relatividad general es una teoría de la naturaleza del tiempo, el espacio y la gravedad en la que la gravedad es una curvatura del espacio y el tiempo que resulta de la presencia de materia o energía. ^La energía y la masa son equivalentes (como se expresa en la ecuación E  =  mc2 ). Los valores de espacio y tiempo se pueden relacionar respectivamente con las unidades de tiempo y espacio multiplicando o dividiendo el valor por la velocidad de la luz (por ejemplo, segundos por metros por segundo es igual a metros).

Una analogía común es la forma en que una inclinación en una lámina plana de caucho, causada por un objeto pesado que se apoya sobre ella, influye en la trayectoria que siguen los objetos pequeños que ruedan cerca, haciendo que se desvíen hacia adentro de la trayectoria que habrían seguido si el objeto pesado no hubiera estado presente. Por supuesto, en la relatividad general, tanto los objetos pequeños como los grandes influyen mutuamente en la curvatura del espacio-tiempo.

La fuerza de atracción de la gravedad creada por la materia se debe a una curvatura negativa del espacio-tiempo, representada en la analogía de la lámina de goma por la depresión negativamente curvada (similar a una campana de trompeta) en la lámina.

Una característica clave de la relatividad general es que describe la gravedad no como una fuerza convencional como el electromagnetismo, sino como un cambio en la geometría del espacio-tiempo que resulta de la presencia de materia o energía.

La analogía utilizada anteriormente describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en la relatividad general en un superespacio tridimensional en el que la tercera dimensión corresponde al efecto de la gravedad. Una forma geométrica de pensar en la relatividad general describe los efectos de la gravedad en el espacio cuatridimensional del mundo real de manera geométrica al proyectar ese espacio en un superespacio pentadimensional en el que la quinta dimensión corresponde a la curvatura en el espacio-tiempo que se produce por la gravedad y los efectos similares a la gravedad en la relatividad general.

Como resultado, en la relatividad general, la ecuación de gravedad de Newton (es decir, la atracción gravitatoria entre dos objetos es igual a la constante gravitatoria por el producto de sus masas dividido por el cuadrado de la distancia entre ellos) es meramente una aproximación de los efectos de la gravedad observados en la relatividad general. Sin embargo, esta aproximación se vuelve inexacta en situaciones físicas extremas, como las velocidades relativistas (la luz, en particular) o masas muy grandes y densas. ${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$

En la relatividad general, la gravedad es causada por la curvatura ("distorsión") del espacio-tiempo. Es un error común atribuir la gravedad al espacio curvo; ni el espacio ni el tiempo tienen un significado absoluto en la relatividad. Sin embargo, para describir la gravedad débil, como en la Tierra, es suficiente considerar la distorsión del tiempo en un sistema de coordenadas particular. Encontramos que la gravedad en la Tierra es muy notable, mientras que la distorsión del tiempo relativista requiere instrumentos de precisión para detectarla. La razón por la que no nos damos cuenta de los efectos relativistas en nuestra vida cotidiana es el enorme valor de la velocidad de la luz ( c =300 000  km/s aproximadamente), lo que nos hace percibir el espacio y el tiempo como entidades diferentes.

El espacio de De Sitter en la relatividad general

El espacio de De Sitter implica una variación de la relatividad general en la que el espacio-tiempo está ligeramente curvado en ausencia de materia o energía. Esto es análogo a la relación entre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana .

La constante cosmológica de la relatividad general modela una curvatura intrínseca del espacio-tiempo en ausencia de materia o energía. Esto corresponde a que el vacío tenga una densidad de energía y una presión. Esta geometría del espacio-tiempo da como resultado geodésicas temporales momentáneamente paralelas ^[b] que divergen, con secciones espaciales que tienen una curvatura positiva.

El espacio anti-de Sitter se distingue del espacio de Sitter

Un espacio anti-de Sitter en relatividad general es similar a un espacio de Sitter , excepto que el signo de la curvatura del espacio-tiempo ha cambiado. En el espacio anti-de Sitter, en ausencia de materia o energía, la curvatura de las secciones espaciales es negativa, lo que corresponde a una geometría hiperbólica , y las geodésicas temporales ^[b] momentáneamente paralelas acaban por intersecarse. Esto corresponde a una constante cosmológica negativa , donde el espacio vacío en sí tiene una densidad de energía negativa pero una presión positiva, a diferencia del modelo ΛCDM estándar de nuestro propio universo para el que las observaciones de supernovas distantes indican una constante cosmológica positiva que corresponde al espacio de Sitter (asintótico) .

En un espacio anti-de Sitter, como en un espacio de Sitter, la curvatura inherente del espacio-tiempo corresponde a la constante cosmológica.

El espacio anti-de Sitter AdS ₂ es también el espacio de Sitter dS ₂ a través de un intercambio de las etiquetas de tipo temporal y tipo espacial. ^[5] Tal reetiquetado invierte el signo de la curvatura, que convencionalmente se referencia a las direcciones que están etiquetadas como tipo espacial.

El espacio de De Sitter y el antiespacio de De Sitter vistos como integrados en cinco dimensiones

La analogía utilizada anteriormente describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en un espacio ambiental plano de una dimensión superior. De manera similar, los espacios de De Sitter y anti-De Sitter (curvos) de cuatro dimensiones se pueden incrustar en un espacio pseudo-riemanniano (plano) de cinco dimensiones. Esto permite determinar directamente las distancias y los ángulos dentro del espacio incrustado a partir de los del espacio plano de cinco dimensiones.

Advertencias

El resto de este artículo explica los detalles de estos conceptos con una descripción matemática y física mucho más rigurosa y precisa. Las personas no están preparadas para visualizar cosas en cinco o más dimensiones, pero las ecuaciones matemáticas no se ven afectadas de manera similar y pueden representar conceptos de cinco dimensiones de una manera tan apropiada como los métodos que las ecuaciones matemáticas utilizan para describir conceptos tridimensionales y cuatridimensionales más fáciles de visualizar.

Hay una implicación particularmente importante de la descripción matemática más precisa que difiere de la descripción heurística basada en analogías del espacio de De Sitter y el espacio anti-de Sitter antes mencionada. La descripción matemática del espacio anti-de Sitter generaliza la idea de curvatura. En la descripción matemática, la curvatura es una propiedad de un punto particular y puede divorciarse de alguna superficie invisible a la que se fusionan los puntos curvos en el espacio-tiempo. Así, por ejemplo, conceptos como las singularidades (la más conocida de las cuales en la relatividad general es el agujero negro ) que no se pueden expresar completamente en una geometría del mundo real, pueden corresponder a estados particulares de una ecuación matemática.

La descripción matemática completa también captura algunas distinciones sutiles hechas en la relatividad general entre dimensiones similares al espacio y dimensiones similares al tiempo.

Definición y propiedades

De la misma manera que los espacios esféricos e hiperbólicos pueden visualizarse mediante una incrustación isométrica en un espacio plano de una dimensión superior (como la esfera y la pseudoesfera respectivamente), el espacio anti-de Sitter puede visualizarse como el análogo lorentziano de una esfera en un espacio de una dimensión adicional. La dimensión adicional es temporal. En este artículo adoptamos la convención de que la métrica en una dirección temporal es negativa.

Imagen de un espacio anti-de Sitter de (1 + 1) dimensiones embebido en un espacio plano de (1 + 2) dimensiones. Los ejes t ₁ y t ₂ se encuentran en el plano de simetría rotacional, y el eje x ₁ es normal a ese plano. La superficie embebida contiene curvas temporales cerradas que rodean el eje x ₁ , aunque estas pueden eliminarse "desenrollando" la incrustación (más precisamente, tomando la cubierta universal).

El espacio anti-de Sitter de signatura ( p , q ) puede entonces ser incrustado isométricamente en el espacio con coordenadas ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) y la métrica ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}}$

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}}$

como la cuasiesfera

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},}$

donde es una constante distinta de cero con dimensiones de longitud (el radio de curvatura ). Esta es una esfera (generalizada) en el sentido de que es una colección de puntos para los cuales la "distancia" (determinada por la forma cuadrática) desde el origen es constante, pero visualmente es un hiperboloide , como en la imagen mostrada. ${\displaystyle \alpha }$

La métrica del espacio anti-de Sitter es la inducida a partir de la métrica ambiental . No es degenerada y, en el caso de q = 1, tiene firma lorentziana.

Cuando q = 0 , esta construcción da un espacio hiperbólico estándar. El resto de la discusión se aplica cuando q ≥ 1 .

Curvas cerradas y temporales y la cubierta universal

Cuando q ≥ 1 , la incrustación anterior tiene curvas temporales cerradas ; por ejemplo, la ruta parametrizada por y todas las demás coordenadas cero, es una de esas curvas. Cuando q ≥ 2 estas curvas son inherentes a la geometría (como era de esperar, ya que cualquier espacio con más de una dimensión temporal contiene curvas temporales cerradas), pero cuando q = 1 , pueden eliminarse pasando al espacio de cobertura universal , "desenrollando" efectivamente la incrustación. Una situación similar ocurre con la pseudoesfera , que se curva sobre sí misma aunque el plano hiperbólico no lo hace; como resultado, contiene líneas rectas que se autointersecan (geodésicas) mientras que el plano hiperbólico no. Algunos autores definen el espacio anti-de Sitter como equivalente a la propia cuasiesférica incrustada, mientras que otros lo definen como equivalente a la cobertura universal de la incrustación. ${\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),}$

Simetrías

Si no se toma la cubierta universal, el espacio anti-de Sitter ( p , q ) tiene O( p , q + 1) como su grupo de isometría . Si se toma la cubierta universal, el grupo de isometría es una cubierta de O( p , q + 1) . Esto se entiende más fácilmente definiendo el espacio anti-de Sitter como un espacio simétrico , utilizando la construcción del espacio cociente , que se muestra a continuación.

Inestabilidad

La "conjetura de inestabilidad de AdS", no demostrada, introducida por los físicos Piotr Bizon y Andrzej Rostworowski en 2011, afirma que perturbaciones arbitrariamente pequeñas de ciertas formas en AdS conducen a la formación de agujeros negros. ^[6] El matemático Georgios Moschidis demostró que, dada la simetría esférica, la conjetura es válida para los casos específicos del sistema de polvo sin masa de Einstein con un espejo interno (2017) y el sistema de Vlasov sin masa de Einstein (2018). ^{[7] [8]}

Parches de coordenadas

Un parche de coordenadas que cubre parte del espacio proporciona la coordinatización del semiespacio del espacio anti-de Sitter. El tensor métrico para este parche es

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),}$

con la obtención del semiespacio. Esta métrica es equivalente conformemente a un semiespacio plano del espacio-tiempo de Minkowski. ${\displaystyle y>0}$

Las porciones de tiempo constante de este parche de coordenadas son espacios hiperbólicos en la métrica del semiespacio de Poincaré. En el límite cuando , esta métrica del semiespacio es conformemente equivalente a la métrica de Minkowski . Por lo tanto, el espacio anti-de Sitter contiene un espacio conforme de Minkowski en el infinito ("infinito" con coordenada y cero en este parche). ${\displaystyle y\to 0}$ ${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

En el espacio-tiempo AdS, el tiempo es periódico y la cobertura universal tiene un tiempo no periódico. El parche de coordenadas anterior cubre la mitad de un único período del espacio-tiempo.

Debido a que el infinito conforme de AdS es temporal , especificar los datos iniciales en una hipersuperficie espacial no determinaría la evolución futura de manera única ( es decir , de manera determinista) a menos que existan condiciones de contorno asociadas con el infinito conforme.

La región del "semiespacio" del espacio anti-de Sitter y su límite.

Otro sistema de coordenadas comúnmente utilizado que cubre todo el espacio está dado por las coordenadas t y las coordenadas hiperpolares α , θ y  φ . ${\displaystyle r\geqslant 0}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

La imagen adyacente representa la región del "semiespacio" del espacio anti-de Sitter y su límite. El interior del cilindro corresponde al espacio-tiempo anti-de Sitter, mientras que su límite cilíndrico corresponde a su límite conforme. La región sombreada en verde en el interior corresponde a la región de AdS cubierta por las coordenadas del semiespacio y está limitada por dos hiperplanos geodésicos nulos, también conocidos como hiperplanos similares a la luz; el área sombreada en verde en la superficie corresponde a la región del espacio conforme cubierta por el espacio de Minkowski.

La región sombreada en verde cubre la mitad del espacio AdS y la mitad del espacio-tiempo conforme; los extremos izquierdos de los discos verdes se tocarán de la misma manera que los extremos derechos.

Como un espacio homogéneo y simétrico

De la misma manera que la 2-esfera

${\displaystyle S^{2}={\mathrm {O} (3)}/{\mathrm {O} (2)}}$

es un cociente de dos grupos ortogonales , anti-de Sitter con paridad (simetría reflexiva) y simetría de inversión temporal puede verse como un cociente de dos grupos ortogonales generalizados

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\mathrm {O} (2,n-1)}/{\mathrm {O} (1,n-1)}}$

mientras que AdS sin P o C puede verse como el cociente

${\displaystyle {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}/{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}$

de grupos de espín .

Esta formulación del cociente da la estructura de un espacio homogéneo . El álgebra de Lie del grupo ortogonal generalizado está dada por matrices ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {o}}(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$,

donde es una matriz antisimétrica . Un generador complementario en el álgebra de Lie es ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {o}}(2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}$

Estos dos cumplen . El cálculo explícito de matrices muestra que y . Por lo tanto, anti-de Sitter es un espacio homogéneo reductivo y un espacio simétrico no riemanniano . ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

Una descripción general del espacio-tiempo AdS en física y sus propiedades

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$es una solución de vacío n -dimensional para la teoría de la gravitación con acción de Einstein-Hilbert con constante cosmológica negativa , ( ), es decir, la teoría descrita por la siguiente densidad lagrangiana : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )}$,

donde G _{( n )} es la constante gravitacional en el espacio-tiempo n -dimensional. Por lo tanto, es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein :

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

donde es el tensor de Einstein y es la métrica del espacio-tiempo. Introduciendo el radio como , esta solución puede sumergirse en un espacio-tiempo plano de dimensión 1 con la métrica en coordenadas mediante la siguiente restricción: ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle \Lambda ={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.}$

Coordenadas globales

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$se parametriza en coordenadas globales mediante los parámetros como: ${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$,

donde parametrizamos una esfera, y en términos de coordenadas son , , y así sucesivamente. La métrica en estas coordenadas es: ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-2}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

donde y . Considerando la periodicidad del tiempo y para evitar curvas temporales cerradas (CTC), se debe tomar la cobertura universal . En el límite se puede aproximar al límite de este espacio-tiempo, usualmente llamado límite conforme. ${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

Con las transformaciones y podemos tener la métrica habitual en coordenadas globales: ${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$ ${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

dónde ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Coordenadas de Poincaré

Mediante la siguiente parametrización:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

La métrica en las coordenadas de Poincaré es: ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

en la que . La superficie de codimensión 2 es el horizonte de Poincaré Killing y se aproxima al límite del espacio-tiempo. Por lo tanto, a diferencia de las coordenadas globales, las coordenadas de Poincaré no cubren toda la variedad . El uso de esta métrica se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle 0\leq r}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

donde . Por la transformación también se puede escribir como: ${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$ ${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

Estas últimas coordenadas son las coordenadas que se utilizan habitualmente en la correspondencia AdS/CFT , con el límite de AdS en . ${\displaystyle z\to 0}$

Coordenadas de corte abierto FRW

Dado que AdS es máximamente simétrico, también es posible expresarlo en una forma espacialmente homogénea e isótropa como los espaciotiempos FRW (véase la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker ). La geometría espacial debe ser curvada negativamente (abierta) y la métrica es

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

donde es la métrica estándar en el plano hiperbólico de dimensión . Por supuesto, esto no cubre todo AdS. Estas coordenadas están relacionadas con las coordenadas de incrustación global por ${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}}$

donde parametrizar el . ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

De Sitter cortando

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}}$

donde parametrizamos el . Entonces la métrica queda así: ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}}$

es la métrica de un espacio de Sitter dimensional con radio de curvatura en coordenadas de corte abierto. La métrica hiperbólica viene dada por: ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Propiedades geométricas

El AdS _n métrico con radio es uno de los espacios-tiempos n -dimensionales simétricos máximos. Tiene las siguientes propiedades geométricas: ${\displaystyle \alpha }$

Tensor de curvatura de Riemann

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

Curvatura de Ricci

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(n-1)g_{\mu \nu }}$

Curvatura escalar

${\displaystyle R={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}n(n-1)}$

Notas

1. El tiempo aquí es visto por un observador cuya línea de tiempo discurre verticalmente en esta representación; sólo el observador en el centro del diagrama es inercial. Todos los demás observadores inerciales tienen líneas de tiempo oscilantes en el diagrama.
2. Es decir, las líneas del mundo de dos observadores inerciales que están relativamente estacionarios en un punto de su tiempo (la sección espacial de simultaneidad vista por cada uno).

Referencias

1. Dirac, Paul (1963). "Una representación notable del grupo de Sitter 3 + 2". Revista de física matemática . 4 . AIP Publishing: 901–909.
2. Dobrev, Vladimir K. (12 de septiembre de 2016), "Caso del grupo Anti-de Sitter", 5. Caso del grupo Anti-de Sitter , De Gruyter, págs. 162-187, doi :10.1515/9783110427646 -006/html?lang=en, ISBN 978-3-11-042764-6, consultado el 1 de noviembre de 2023
3. "Representación singleton en nLab". ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2023 .
4. Mezincescu, Luca; Townsend, Paul K. (7 de enero de 2020). "DBI en el IR". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 53 (4): 044002. arXiv : 1907.06036 . doi :10.1088/1751-8121/ab5eab. ISSN  1751-8121.
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6. Bizoń, Piotr; Rostworowski, Andrzej (2011). "Inestabilidad débilmente turbulenta del espacio-tiempo anti-de Sitter". Physical Review Letters . 107 (3): 031102. arXiv : 1104.3702 . Código Bibliográfico :2011PhRvL.107c1102B. doi :10.1103/PhysRevLett.107.031102. PMID  21838346. S2CID  31556930.
7. "Los agujeros negros ayudan a demostrar que un tipo especial de espacio-tiempo es inestable". Quanta Magazine . 2020 . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
8. Moschidis, Georgios (2018). "Una prueba de la inestabilidad de AdS para el sistema Einstein-Vlasov sin masa". arXiv : 1812.04268 [math.AP].

• Qingming Cheng (2001) [1994], "Espacio anti-de Sitter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ellis, GFR ; Hawking, SW (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press , págs. 131–134
• Frances, C. (2005). "El límite conforme de los espacios-tiempos anti-de Sitter". Correspondencia AdS/CFT: Métricas de Einstein y sus límites conformes. IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics. Vol. 8. Zúrich: European Mathematical Society. pp. 205–216. doi :10.4171/013-1/8. ISBN 978-3-03719-013-5.
• Matsuda, H. (1984). "Una nota sobre una incrustación isométrica del semiespacio superior en el espacio anti-de Sitter" (PDF) . Hokkaido Mathematical Journal . 13 (2): 123–132. doi : 10.14492/hokmj/1381757712 .Recuperado el 4 de febrero de 2017.
• Wolf, Joseph A. (1967). Espacios de curvatura constante . pág. 334.

Enlaces externos

• Guía simplificada de los espacios de De Sitter y anti-De Sitter: una introducción pedagógica a los espacios de De Sitter y anti-De Sitter. El artículo principal es simplificado y prácticamente no contiene matemáticas. El apéndice es técnico y está destinado a lectores con conocimientos de física o matemáticas.