En geometría , un disfenoide (del griego sphenoeides 'en forma de cuña') es un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos de ángulos agudos congruentes . [1] También se puede describir como un tetraedro en el que cada dos aristas opuestas tienen longitudes iguales. Otros nombres para la misma forma son isotetraedro , [2] esfenoides , [3] bisfenoides , [3] tetraedro isósceles , [4] tetraedro equifacial , [5] tetraedro casi regular , [6] y tetramonoedro . [7]
Todos los ángulos sólidos y figuras de vértices de un diefenoides son iguales, y la suma de los ángulos de las caras en cada vértice es igual a dos ángulos rectos . Sin embargo, un disfenoide no es un poliedro regular , porque, por lo general, sus caras no son polígonos regulares , y sus aristas tienen tres longitudes diferentes.
Si las caras de un disfenoides son triángulos equiláteros , se trata de un tetraedro regular con simetría tetraédrica T d , aunque normalmente no se le llama disfenoides. Cuando las caras de un disfenoides son triángulos isósceles , se denomina disfenoides tetragonal . En este caso tiene simetría diédrica D 2d . Un esfenoides con triángulos escalenos como caras se llama disfenoide rómbico y tiene simetría diédrica D 2 . A diferencia del disfenoide tetragonal, el disfenoide rómbico no tiene simetría de reflexión , por lo que es quiral . [8] Tanto los disfenoides tetragonales como los disfenoides rómbicos son isoedros : además de ser congruentes entre sí, todas sus caras son simétricas entre sí.
No es posible construir un diefenide con caras de triángulo rectángulo o triángulo obtuso . [4] Cuando los triángulos rectángulos se pegan entre sí siguiendo el patrón de un diefenoides, forman una figura plana (un rectángulo doblemente cubierto) que no encierra ningún volumen. [8] Cuando se pegan triángulos obtusos de esta manera, la superficie resultante se puede plegar para formar un diefenoides (según el teorema de unicidad de Alexandrov ), pero uno con caras de triángulo agudo y con aristas que en general no se encuentran a lo largo de las aristas del obtuso dado. triangulos.
Dos tipos más de tetraedro generalizan el disfenoides y tienen nombres similares. El disfenoide digonal tiene caras con dos formas diferentes, ambos triángulos isósceles, con dos caras de cada forma. El disfenoide fílico también tiene caras con dos formas de triángulos escalenos.
Los disfenoides también pueden verse como antiprismas digonales o como prismas cuadriláteros alternados .
Un tetraedro es un disfenoide si y sólo si su paralelepípedo circunscrito tiene un ángulo recto. [9]
También tenemos que un tetraedro es un disfenoide si y sólo si el centro en la esfera circunscrita y la esfera inscrita coinciden. [10]
Otra caracterización establece que si d 1 , d 2 y d 3 son las perpendiculares comunes de AB y CD ; AC y BD ; y AD y BC respectivamente en un tetraedro ABCD , entonces el tetraedro es un disfenoide si y sólo si d 1 , d 2 y d 3 son perpendiculares por pares . [9]
Los disfenoides son los únicos poliedros que tienen infinitas geodésicas cerradas que no se cruzan entre sí . En un diefenoides, todas las geodésicas cerradas no se cruzan solas. [11]
Los disfenoides son los tetraedros en los que las cuatro caras tienen el mismo perímetro , los tetraedros en los que las cuatro caras tienen la misma área, [10] y los tetraedros en los que los defectos angulares de los cuatro vértices son iguales a π . Son los poliedros que tienen una red en forma de triángulo agudo, dividido en cuatro triángulos semejantes por segmentos que conectan los puntos medios de los bordes. [6]
El volumen de un diefenoides con bordes opuestos de longitud l , my n viene dado por: [12 ]
La esfera circunscrita tiene radio [12] (el circunradio):
y la esfera inscrita tiene radio: [12]
donde V es el volumen del diefenoides y T es el área de cualquier cara, que viene dada por la fórmula de Heron . También existe la siguiente relación interesante que conecta el volumen y el circunradio: [12]
Los cuadrados de las longitudes de las bimedianas son: [12]
Si las cuatro caras de un tetraedro tienen el mismo perímetro, entonces el tetraedro es un diefenide. [10]
Si las cuatro caras de un tetraedro tienen la misma área, entonces es un disfenoide. [9] [10]
Los centros de las esferas circunscrita e inscrita coinciden con el centroide del diefenoides. [12]
Las bimedianas son perpendiculares a los bordes que conectan y entre sí. [12]
Algunos disfenoides tetragonales formarán panales . El disfenoide cuyos cuatro vértices son (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) y (0, 1, -1) es uno de esos disfenoides. [13] [14] Cada una de sus cuatro caras es un triángulo isósceles con aristas de longitudes √ 3 , √ 3 y 2. Puede teselar el espacio para formar el panal tetraédrico disfenoide . Como describe Gibb (1990), se puede doblar sin cortar ni superponer desde una sola hoja de papel a4 . [15]
"Disfenoide" también se utiliza para describir dos formas de cristal :
Seis disfenoides tetragonales unidos de un extremo a otro en un anillo construyen un caleidociclo , un juguete de papel que puede girar sobre 4 conjuntos de caras en un hexágono. La rotación de los seis diefenoides con aristas opuestas de longitud l, m y n (sin pérdida de generalidad n≤l, n≤m) es físicamente realizable si y sólo si [16] [17] [18]
