Longitud de arco

Distancia a lo largo de una curva

Cuando se rectifica, la curva da un segmento de línea recta con la misma longitud que la longitud del arco de la curva.

Longitud de arco s de una espiral logarítmica en función de su parámetro θ .

La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva .

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular aproximando el segmento de arco como segmentos de línea conectados (rectos) también se denomina rectificación de curva . Una curva rectificable tiene un número finito de segmentos en su rectificación (por lo que la curva tiene una longitud finita).

Si una curva puede parametrizarse como una función inyectiva y continuamente diferenciable (es decir, la derivada es una función continua) , entonces la curva es rectificable (es decir, tiene una longitud finita). ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$

La llegada del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Enfoque general

Aproximación a una curva mediante múltiples segmentos lineales, llamada rectificación de una curva.

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea (rectos) para crear una trayectoria poligonal . Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal (usando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano, por ejemplo), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como distancia cordal (acumulada) . ^[1]

Si la curva aún no es una trayectoria poligonal, entonces el uso de un número progresivamente mayor de segmentos de línea de longitudes más pequeñas dará como resultado mejores aproximaciones de la longitud de la curva. Esta determinación de la longitud de una curva mediante la aproximación de la curva como segmentos de línea conectados (rectos) se denomina rectificación de una curva. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelven arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas, hay un número más pequeño que es un límite superior en la longitud de todas las aproximaciones poligonales (rectificación). Estas curvas se llaman rectificables y la longitud del arco se define como el número . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Se puede definir una longitud de arco con signo para transmitir una sensación de orientación o "dirección" con respecto a un punto de referencia tomado como origen en la curva (ver también: orientación de la curva y distancia con signo ). ^[2]

Fórmula para una curva suave

Sea una función inyectiva y continuamente diferenciable (es decir, la derivada es una función continua). La longitud de la curva definida por se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de los segmentos lineales para una partición regular de cuando el número de segmentos se acerca al infinito. Esto significa ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

donde con for Esta definición es equivalente a la definición estándar de longitud de arco como una integral: ${\displaystyle t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t={\frac {b-a}{N}}=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle i=0,1,\dotsc ,N.}$

$${\displaystyle L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.}$$

La última igualdad se demuestra mediante los siguientes pasos:

1. El segundo teorema fundamental del cálculo muestra
   $${\displaystyle f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta }$$
   donde sobre mapas a y . En el siguiente paso, se utiliza la siguiente expresión equivalente. ${\displaystyle t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ ${\displaystyle dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta }$
   $${\displaystyle {\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .}$$
2. La función es una función continua desde un intervalo cerrado al conjunto de números reales, por lo que es uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor , por lo que existe una función real positiva y monótonamente no decreciente de números reales positivos tal que implica donde y . Consideremos el límite de la siguiente fórmula, ${\displaystyle \left|f'\right|}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \Delta t=t_{i}-t_{i-1}}$ ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\ce {N\to \infty }}}$
   $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Con el resultado del paso anterior, se convierte

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.}$$

Los términos se reorganizan para que se convierta en

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}}$$

donde se utiliza el lado más izquierdo. Por para que , se convierta ${\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ ${\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta t<\delta (\varepsilon )}$

$${\displaystyle \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t}$$

con y .​ En el límite así se acerca el lado izquierdo . En otras palabras, en este límite, y el lado derecho de esta igualdad es simplemente la integral de Riemann de on. Esta definición de longitud de arco muestra que la longitud de una curva representada por una función continuamente diferenciable es siempre finita, es decir, rectificable . ${\displaystyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ ${\displaystyle \varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)}$ ${\displaystyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t}$ ${\displaystyle \left|f'(t)\right|}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

La definición de longitud de arco de una curva suave como integral de la norma de la derivada es equivalente a la definición

$${\displaystyle L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}}$$

donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones de ^[3] Esta definición como supremo de todas las posibles sumas de partición también es válida si es meramente continua, no diferenciable. ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle f}$

Una curva se puede parametrizar de infinitas maneras. Sea cualquier biyección continuamente diferenciable . Luego hay otra parametrización continuamente diferenciable de la curva originalmente definida por La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definir la curva: ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to [c,d]}$ ${\displaystyle g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}}$$

Encontrar longitudes de arco por integración

Cuarto de circulo

Si una curva plana está definida por la ecuación donde es continuamente diferenciable , entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde y La distancia euclidiana de cada segmento infinitesimal del arco puede estar dada por: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=t}$ ${\displaystyle y=f(t).}$

$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

La longitud del arco entonces viene dada por:

$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Las curvas con soluciones de forma cerrada para la longitud del arco incluyen la catenaria , el círculo , la cicloide , la espiral logarítmica , la parábola , la parábola semicúbica y la línea recta . La falta de una solución en forma cerrada para la longitud de arco de un arco elíptico e hiperbólico llevó al desarrollo de las integrales elípticas .

Integracion numerica

En la mayoría de los casos, incluidas incluso las curvas simples, no existen soluciones de forma cerrada para la longitud del arco y es necesaria la integración numérica . La integración numérica de la integral de longitud de arco suele ser muy eficiente. Por ejemplo, considere el problema de encontrar la longitud de un cuarto del círculo unitario integrando numéricamente la integral de longitud de arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como El intervalo corresponde a un cuarto del círculo. Dado que y la longitud de un cuarto del círculo unitario es ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}$ ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}$

$${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$

La estimación de la regla de Gauss-Kronrod de 15 puntos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de

$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$$

por1,3 × 10 ⁻¹¹ y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de1.570 796 326 794 727 difiere de la longitud real sólo en1,7 × 10-13 .^​ Esto significa que es posible evaluar esta integral con una precisión casi mecánica con solo 16 evaluaciones de integrandos.

Curva en una superficie

Sea un mapeo de superficie y sea una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco es. La evaluación de la derivada requiere la regla de la cadena para campos vectoriales: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))}$ ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$

$${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.}$$

La norma al cuadrado de este vector es

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}}$$

(donde está el primer coeficiente de forma fundamental), por lo que el integrando de la integral de longitud de arco se puede escribir como (donde y ). ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}}$ ${\displaystyle u^{1}=u}$ ${\displaystyle u^{2}=v}$

Otros sistemas de coordenadas

Sea una curva expresada en coordenadas polares. El mapeo que se transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).}$$

El integrando de la integral de longitud de arco es La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que Entonces el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es ${\displaystyle \left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.}$ ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.}$$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es:

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .}$$

La segunda expresión es para un gráfico polar parametrizado por . ${\displaystyle r=r(\theta )}$ ${\displaystyle t=\theta }$

Ahora sea una curva expresada en coordenadas esféricas donde es el ángulo polar medido desde el eje positivo y es el ángulo azimutal. El mapeo que se transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$$

Usando nuevamente la regla de la cadena se muestra que todos los productos escalares donde y difieren son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es ${\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.}$$

Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Un cálculo muy similar muestra que la longitud del arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$$

Casos simples

Arcos de círculos

Las longitudes de arco se indican con s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es spatium .

En las siguientes líneas, representa el radio de un círculo , es su diámetro , es su circunferencia , es la longitud de un arco del círculo y es el ángulo que subtiende el arco en el centro del círculo. Las distancias y se expresan en las mismas unidades. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r,d,C,}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle C=2\pi r,}$que es lo mismo que Esta ecuación es una definición de ${\displaystyle C=\pi d.}$ ${\displaystyle \pi .}$
• Si el arco es un semicírculo , entonces ${\displaystyle s=\pi r.}$
• Para un arco circular arbitrario:
  • Si está en radianes , entonces esta es una definición del radian. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s=r\theta .}$
  • Si está en grados , entonces cuál es lo mismo que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.}$
  • Si está en grados (100 grados, o grados, o grados, son un ángulo recto ), entonces, ¿cuál es lo mismo que? ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},}$ ${\displaystyle s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.}$
  • Si es por turnos (un giro es una rotación completa, o 360°, o 400 grados, o radianes), entonces . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s=C\theta /1{\text{ turn}}}$

Grandes círculos en la Tierra

Originalmente se definieron dos unidades de longitud, la milla náutica y el metro (o kilómetro), de modo que las longitudes de los arcos de grandes círculos en la superficie de la Tierra estuvieran simplemente relacionadas numéricamente con los ángulos que subtienden en su centro. La ecuación simple se aplica en las siguientes circunstancias: ${\displaystyle s=\theta }$

• si está en millas náuticas y en minutos de arco ( 1 ⁄ 60 grados ), o ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$
• si está en kilómetros y está en gradianes . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$

Las longitudes de las unidades de distancia se eligieron para igualar la circunferencia de la Tierra.40.000 kilómetros , o21 600 millas náuticas. Esos son los números de las unidades de ángulos correspondientes en una vuelta completa.

Esas definiciones de metro y milla náutica han sido reemplazadas por otras más precisas, pero las definiciones originales siguen siendo lo suficientemente precisas para propósitos conceptuales y algunos cálculos. Por ejemplo, implican que un kilómetro son exactamente 0,54 millas náuticas. Utilizando definiciones oficiales modernas, una milla náutica equivale exactamente a 1,852 kilómetros, ^[4] lo que implica que 1 kilómetro equivale aproximadamente a0,539 956 80 millas náuticas. ^[5] Esta proporción moderna difiere de la calculada a partir de las definiciones originales en menos de una parte en 10.000.

Otros casos simples

• Espiral de Arquímedes § Longitud del arco
• Cicloide § Longitud del arco
• Elipse § Longitud del arco
• Hélice § Longitud del arco
• Parábola § Longitud del arco
• Seno y coseno § Longitud de arco
• Onda triangular § Longitud del arco

Métodos históricos

Antigüedad

Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los más grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes fue pionero en una forma de encontrar el área debajo de una curva con su " método de agotamiento ", pocos creían que fuera posible que las curvas tuvieran longitudes definidas, al igual que las líneas rectas. El primer camino se abrió en este campo, como ha ocurrido a menudo en el cálculo , por aproximación . La gente comenzó a inscribir polígonos dentro de las curvas y a calcular la longitud de los lados para obtener una medida algo precisa de la longitud. Al utilizar más segmentos y disminuir la longitud de cada segmento, pudieron obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al inscribir un polígono de muchos lados en un círculo, pudieron encontrar valores aproximados de π . ^{[6] [7]}

siglo 17

En el siglo XVII, el método de agotamiento condujo a la rectificación mediante métodos geométricos de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen que John Wallis en la década de 1650), la cicloide de Christopher Wren en 1658 y la catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659, Wallis acreditó el descubrimiento de William Neile de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . ^[8] Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, se menciona a William Neile como Gulielmus Nelius .

forma integral

Antes del desarrollo formal completo del cálculo, Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat descubrieron de forma independiente la base de la forma integral moderna para la longitud del arco .

En 1659, van Heuraet publicó una construcción que mostraba que el problema de determinar la longitud del arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud del arco de una parábola semicúbica, lo que requería encontrar el área bajo una parábola . ^[9] En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geométrica (Tesis geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas). ^[10]

El método de Fermat para determinar la longitud del arco.

Fermat, basándose en su trabajo anterior con tangentes, utilizó la curva

${\displaystyle y=x^{\frac {3}{2}}\,}$

cuya tangente en x = a tenía una pendiente de

${\displaystyle {3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}}$

entonces la recta tangente tendría la ecuación

${\displaystyle y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).}$

Luego, aumentó a en una pequeña cantidad hasta a + ε , haciendo del segmento AC una aproximación relativamente buena para la longitud de la curva de A a D. Para encontrar la longitud del segmento AC , utilizó el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}}$

que, cuando se resuelve, produce

${\displaystyle AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.}$

Para aproximar la longitud, Fermat resumiría una secuencia de segmentos cortos.

Curvas con longitud infinita

La curva de Koch.

La gráfica de ${\displaystyle x\cdot \sin(1/x)}$

Como se mencionó anteriormente, algunas curvas no son rectificables. Es decir, no existe un límite superior para las longitudes de las aproximaciones poligonales; la longitud se puede hacer arbitrariamente grande . Informalmente, se dice que tales curvas tienen una longitud infinita. Hay curvas continuas en las que cada arco (excepto un arco de un solo punto) tiene una longitud infinita. Un ejemplo de tal curva es la curva de Koch . Otro ejemplo de una curva con longitud infinita es la gráfica de la función definida por f ( x ) =  x  sin(1/ x ) para cualquier conjunto abierto con 0 como uno de sus delimitadores y f (0) = 0. A veces, el método de Hausdorff La dimensión y la medida de Hausdorff se utilizan para cuantificar el tamaño de dichas curvas.

Generalización a variedades (pseudo)riemannianas

Sea una variedad (pseudo-)riemanniana , el tensor (pseudo-) métrico , una curva definida por ecuaciones paramétricas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]}$

y

${\displaystyle \gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y} }$

La longitud de , se define como ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt}$,

o, eligiendo coordenadas locales , ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt}$,

dónde

${\displaystyle \gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M}$

es el vector tangente de en El signo de la raíz cuadrada se elige una vez para una curva dada, para garantizar que la raíz cuadrada sea un número real. El signo positivo se elige para curvas espaciales; en una variedad pseudo-riemanniana, se puede elegir el signo negativo para curvas temporales. Por tanto, la longitud de una curva es un número real no negativo. Generalmente no se consideran curvas que sean en parte espaciales y en parte temporales. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t.}$

En la teoría de la relatividad , la longitud del arco de las curvas temporales ( líneas mundiales ) es el tiempo adecuado transcurrido a lo largo de la línea mundial, y la longitud del arco de una curva espacial es la distancia adecuada a lo largo de la curva.

Ver también

• Arco (geometría)
• Circunferencia
• Fórmula de Crofton
• Integral elíptica
• Geodésicas
• ecuación intrínseca
• Aproximaciones integrales
• Integral de línea
• arco meridiano
• Cálculo multivariable
• Sinuosidad

Referencias

1. Ahlberg; Nelson (1967). La teoría de los splines y sus aplicaciones . Prensa académica. pag. 51.ISBN​ 9780080955452.
2. Nestoridis, Vassili; Papadopoulos, Athanase (2017). "La longitud del arco como parámetro conforme global para curvas analíticas". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 445 (2). Elsevier BV: 1505-1515. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN  0022-247X.
3. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill, Inc. págs. 137. ISBN 978-0-07-054235-8.
4. Suplee, Curt (2 de julio de 2009). "Publicación especial 811". nist.gov .
5. Manual CRC de Química y Física , p. F-254
6. Richeson, David (mayo de 2015). "Razonamiento circular: ¿Quién demostró por primera vez que C dividido por d es una constante?". La revista universitaria de matemáticas . 46 (3): 162-171. doi : 10.4169/college.math.j.46.3.162. ISSN  0746-8342. S2CID  123757069.
7. Coolidge, JL (febrero de 1953). "La longitud de las curvas". El Mensual Matemático Estadounidense . 60 (2): 89–93. doi :10.2307/2308256. JSTOR  2308256.
8. Wallis, Juan (1659). Tractatus Dúo. Antes, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis…. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 91–96.
9. van Heuraet, Hendrik (1659). "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Carta sobre la transformación de líneas curvas en rectas]". Renati Des-Cartes Geometria (2ª ed.). Ámsterdam: Louis y Daniel Elzevir. págs. 517–520.
10. MPEAS (seudónimo de Fermat) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geométrica. Toulouse: Arnaud Colomer.

Fuentes

• Farouki, Rida T. (1999). "Curvas a partir del movimiento, movimiento a partir de curvas". En Laurent, P.-J.; Sablonnière, P.; Schumaker, LL (eds.). Diseño de curvas y superficies: Saint-Malo 1999 . Universidad de Vanderbilt. Prensa. págs. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

enlaces externos

• "Curva rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La historia de la curvatura
• Weisstein, Eric W. "Longitud del arco". MundoMatemático .
• Longitud del arco de Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Guía de estudio de cálculo: longitud del arco (rectificación)
• Índice de curvas famosas El archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas
• Aproximación de la longitud del arco por Chad Pierson, Josh Fritz y Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
• Experimento de longitud de una curva Ilustra la solución numérica para encontrar la longitud de una curva.