En lógica , la ley del tercero excluido o principio del tercero excluido establece que para cada proposición , o bien esta proposición o bien su negación es verdadera . [1] [2] Es una de las tres leyes del pensamiento , junto con la ley de no contradicción y la ley de identidad ; sin embargo, ningún sistema de lógica se basa únicamente en estas leyes, y ninguna de estas leyes proporciona reglas de inferencia , como el modus ponens o las leyes de De Morgan . La ley también se conoce como la ley / principio del tercero excluido , en latín principium tertii exclusi . Otra designación latina para esta ley es tertium non datur o "no se da ningún tercero [posibilidad]". En lógica clásica , la ley es una tautología .
El principio no debe confundirse con el principio semántico de bivalencia , que establece que toda proposición es verdadera o falsa. El principio de bivalencia siempre implica la ley del tercio excluido, mientras que lo inverso no siempre es cierto. Un contraejemplo que se cita con frecuencia utiliza afirmaciones que no se pueden demostrar ahora, pero sí en el futuro, para demostrar que la ley del tercio excluido puede aplicarse cuando falla el principio de bivalencia. [3]
La formulación más antigua conocida se encuentra en la discusión de Aristóteles del principio de no contradicción , propuesto por primera vez en Sobre la interpretación , [4] donde dice que de dos proposiciones contradictorias (es decir, donde una proposición es la negación de la otra) una debe ser verdadera y la otra falsa. [5] También lo enuncia como un principio en el libro 3 de Metafísica , diciendo que es necesario en cada caso afirmar o negar, [6] y que es imposible que haya algo entre las dos partes de una contradicción. [7]
Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir del uso de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:
Es imposible, entonces, que «ser hombre» signifique precisamente «no ser hombre», si «hombre» no sólo significa algo acerca de un sujeto, sino que también tiene un significado... Y no será posible ser y no ser la misma cosa, excepto en virtud de una ambigüedad, tal como si alguien a quien llamamos «hombre», y otros lo llamaran «no-hombre»; pero el punto en cuestión no es si la misma cosa puede al mismo tiempo ser y no ser un hombre de nombre, sino si puede serlo de hecho. ( Metafísica 4.4, WD Ross (trad.), GBWW 8, 525-526).
La afirmación de Aristóteles de que "no será posible ser y no ser la misma cosa" se escribiría en lógica proposicional como ~( P ∧ ~ P ). En la llamada lógica clásica moderna, esta afirmación es equivalente a la ley del tercio excluido ( P ∨ ~ P ), a través de la distribución de la negación en la afirmación de Aristóteles. La primera afirma que ninguna afirmación es verdadera y falsa a la vez , mientras que la segunda requiere que cualquier afirmación sea verdadera o falsa.
Pero Aristóteles también escribe: "dado que es imposible que las contradicciones sean al mismo tiempo verdaderas de la misma cosa, obviamente los contrarios tampoco pueden pertenecer al mismo tiempo a la misma cosa" (Libro IV, CAP. 6, p. 531). Luego propone que "no puede haber un intermedio entre contradicciones, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado" (Libro IV, CAP. 7, p. 531). En el contexto de la lógica tradicional de Aristóteles , esta es una declaración notablemente precisa de la ley del tercero excluido, P ∨ ~ P .
También en Sobre la interpretación , Aristóteles parece negar la ley del tercero excluido en el caso de contingentes futuros , en su discusión sobre la batalla naval.
Su forma habitual, "Todo juicio es verdadero o falso" [nota 9]…" (de Kolmogorov en van Heijenoort, p. 421) nota 9: "Esta es la formulación muy simple de Leibniz (ver Nouveaux Essais , IV,2)" (ibid p 421)
El principio fue enunciado como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:
. [8]
¿Qué es, entonces, la "verdad" y la "falsedad"? En la apertura, el primer ministro anuncia rápidamente algunas definiciones:
Valores de verdad . El "valor de verdad" de una proposición es verdad si es verdadera y falsedad si es falsa* [*Esta frase se debe a Frege] … el valor de verdad de "p ∨ q" es verdad si el valor de verdad de p o q es verdad, y es falsedad en caso contrario… el de "~ p" es el opuesto del de p…" (pp. 7–8)
Esto no es de mucha ayuda. Pero más adelante, en una discusión mucho más profunda ("Definición y ambigüedad sistemática de Verdad y Falsedad", Capítulo II, Parte III, pág. 41 y siguientes), PM define verdad y falsedad en términos de una relación entre "a" y "b" y el "percipiente". Por ejemplo, "Este 'a' es 'b ' " (por ejemplo, "Este 'objeto a' es 'rojo ' ") significa realmente que " el 'objeto a' es un dato sensorial" y " el 'rojo' es un dato sensorial", y "están en relación" entre sí y en relación con "yo". Por lo tanto, lo que realmente queremos decir es: "Percibo que 'este objeto a es rojo ' " y esto es una "verdad" innegable por un tercero.
PM define además una distinción entre un "dato sensorial" y una "sensación":
Es decir, cuando juzgamos (decimos) “esto es rojo”, lo que ocurre es una relación de tres términos, la mente, y “esto”, y “rojo”. Por otra parte, cuando percibimos “la rojez de esto”, hay una relación de dos términos, a saber, la mente y el objeto complejo “la rojez de esto” (pp. 43-44).
Russell reiteró su distinción entre "dato sensorial" y "sensación" en su libro Los problemas de la filosofía (1912), publicado al mismo tiempo que PM (1910-1913):
Llamaremos «datos sensoriales» a las cosas que se conocen inmediatamente mediante la sensación: cosas como colores, sonidos, olores, durezas, asperezas, etc. Llamaremos «sensación» a la experiencia de ser conscientes inmediatamente de estas cosas... El color en sí es un dato sensorial, no una sensación. (p. 12)
Russell describió con más detalle su razonamiento detrás de sus definiciones de "verdad" y "falsedad" en el mismo libro (Capítulo XII, Verdad y falsedad ).
A partir de la ley del tercio excluido, fórmula ✸2.1 de Principia Mathematica , Whitehead y Russell derivan algunas de las herramientas más poderosas del conjunto de herramientas de argumentación del lógico. (En Principia Mathematica, las fórmulas y proposiciones se identifican con un asterisco inicial y dos números, como "✸2.1").
✸2.1 ~ p ∨ p "Ésta es la Ley del tercero excluido" ( PM , p. 101).
La prueba de ✸2.1 es aproximadamente la siguiente: la "idea primitiva" 1.08 define p → q = ~ p ∨ q . Sustituyendo p por q en esta regla se obtiene p → p = ~ p ∨ p . Como p → p es verdadero (este es el Teorema 2.08, que se demuestra por separado), entonces ~ p ∨ p debe ser verdadero.
✸2.11 p ∨ ~ p (La permutación de las afirmaciones está permitida por el axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Principio de doble negación, parte 1: si "esta rosa es roja" es verdadera, entonces no es verdad que " 'esta rosa no es roja' sea verdadera".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lema junto con 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (Principio de doble negación, parte 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Uno de los cuatro "Principios de transposición". Similar a 1.03, 1.16 y 1.17. Un (aquí se requirió una larga demostración.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Si es cierto que "Si esta rosa es roja entonces este cerdo vuela" entonces es cierto que "Si este cerdo no vuela entonces esta rosa no es roja.")
✸2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Otro de los "Principios de transposición".)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Llamado "El complemento de reductio ad absurdum . Afirma que una proposición que se sigue de la hipótesis de su propia falsedad es verdadera" ( PM , pp. 103-104).)
La mayoría de estos teoremas (en particular ✸2.1, ✸2.11 y ✸2.14) son rechazados por el intuicionismo. Estas herramientas se reformulan en otra forma que Kolmogorov cita como "los cuatro axiomas de implicación de Hilbert" y "los dos axiomas de negación de Hilbert" (Kolmogorov en van Heijenoort, p. 335).
Proposiciones ✸2.12 y ✸2.14, "doble negación": Los escritos intuicionistas de LEJ Brouwer se refieren a lo que él llama "el principio de la reciprocidad de las especies múltiples , es decir, el principio de que para cada sistema la corrección de una propiedad se sigue de la imposibilidad de la imposibilidad de esta propiedad" (Brouwer, ibid, p. 335).
Este principio se denomina comúnmente "principio de doble negación" ( PM , pp. 101-102). A partir de la ley del tercio excluido (✸2.1 y ✸2.11), PM deriva inmediatamente el principio ✸2.12. Sustituimos ~ p por p en 2.11 para obtener ~ p ∨ ~(~ p ), y por la definición de implicación (es decir, 1.01 p → q = ~p ∨ q) entonces ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (La derivación de 2.14 es un poco más compleja).
Es correcto, al menos para la lógica bivalente (es decir, se puede ver con un mapa de Karnaugh ) que esta ley elimina "la mitad" del "o" inclusivo usado en su ley (3). Y este es el punto de la demostración de Reichenbach de que algunos creen que el " o" exclusivo debería tomar el lugar del "o" inclusivo .
Sobre esta cuestión (en términos ciertamente muy técnicos) Reichenbach observa:
En la línea (30) la "(x)" significa "para todos" o "para cada", una forma utilizada por Russell y Reichenbach; hoy en día el simbolismo suele ser x . Por lo tanto, un ejemplo de la expresión se vería así:
Desde finales del siglo XIX hasta la década de 1930, se desató un debate amargo y persistente entre Hilbert y sus seguidores contra Hermann Weyl y LEJ Brouwer . La filosofía de Brouwer, llamada intuicionismo , comenzó en serio con Leopold Kronecker a finales del siglo XIX.
A Hilbert le disgustaban profundamente las ideas de Kronecker:
Kronecker insistió en que no puede haber existencia sin construcción. Para él, como para Paul Gordan [otro matemático de edad avanzada], la prueba de Hilbert de la finitud de la base del sistema invariante simplemente no era matemática. Hilbert, por otra parte, insistió durante toda su vida en que si se puede demostrar que los atributos asignados a un concepto nunca conducirán a una contradicción, la existencia matemática del concepto queda establecida (Reid, pág. 34).
Su argumento [de Kronecker] era que no se podía decir que nada tuviera existencia matemática a menos que pudiera construirse realmente con un número finito de números enteros positivos (Reid, pág. 26).
El debate tuvo un profundo efecto en Hilbert. Reid indica que el segundo problema de Hilbert (uno de los problemas de Hilbert de la Segunda Conferencia Internacional en París en 1900) surgió de este debate (las cursivas son del original):
Así, Hilbert estaba diciendo: "Si se demuestra que p y ~ p son ambas verdaderas, entonces p no existe", y con ello estaba invocando la ley del tercio excluido, transformada en la forma de la ley de contradicción.
Y finalmente los constructivistas… restringieron las matemáticas al estudio de operaciones concretas sobre estructuras finitas o potencialmente (pero no realmente) infinitas; las totalidades infinitas completas… fueron rechazadas, como también lo fueron las pruebas indirectas basadas en la Ley del Tercero Excluido. Los más radicales entre los constructivistas fueron los intuicionistas, liderados por el antiguo topólogo LEJ Brouwer (Dawson p. 49)
El acalorado debate continuó a principios del siglo XX y hasta principios del decenio de 1920; en 1927 Brouwer se quejó de "polémica contra el intuicionismo en tono despectivo" (Brouwer en van Heijenoort, p. 492). Pero el debate fue fértil: dio lugar a Principia Mathematica (1910-1913), obra que dio una definición precisa de la ley del tercio excluido, y todo ello proporcionó un marco intelectual y las herramientas necesarias para los matemáticos de principios del siglo XX:
Del rencor, y en parte engendrado por él, surgieron varios desarrollos lógicos importantes: la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo (1908a), que fue seguida dos años más tarde por el primer volumen de Principia Mathematica , en el que Russell y Whitehead mostraron cómo, a través de la teoría de tipos: gran parte de la aritmética podía desarrollarse por medios logicistas (Dawson p. 49)
Brouwer redujo el debate al uso de pruebas diseñadas a partir de pruebas "negativas" o de "no existencia" versus pruebas "constructivas":
En su conferencia de 1941 en Yale y en el artículo posterior, Gödel propuso una solución: "que la negación de una proposición universal debía entenderse como una afirmación de la existencia... de un contraejemplo" (Dawson, p. 157).
La aproximación de Gödel a la ley del tercio excluido fue afirmar que las objeciones contra "el uso de 'definiciones impredicativas ' " habían "tenido más peso" que "la ley del tercio excluido y teoremas relacionados del cálculo proposicional" (Dawson, p. 156). Propuso su "sistema Σ ... y concluyó mencionando varias aplicaciones de su interpretación. Entre ellas había una prueba de la consistencia con la lógica intuicionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (a pesar de la inconsistencia del supuesto ∃ A: ~ (A ∨ ~A))" (Dawson, p. 157) (no se había colocado ningún paréntesis de cierre).
El debate pareció debilitarse: matemáticos, lógicos e ingenieros siguen utilizando la ley del tercio excluido (y la doble negación) en su trabajo diario.
Lo que sigue destaca el profundo problema matemático y filosófico que se esconde detrás de lo que significa "saber", y también ayuda a dilucidar lo que implica la "ley" (es decir, lo que la ley realmente significa). Sus dificultades con la ley emergen: que no quieren aceptar como verdaderas las implicaciones extraídas de lo que no es verificable (no comprobable, incognoscible) o de lo imposible o lo falso. (Todas las citas son de van Heijenoort, cursiva añadida).
Brouwer ofrece su definición del "principio del tercero excluido"; vemos aquí también la cuestión de la "comprobabilidad":
La definición de Kolmogorov cita los dos axiomas de negación de Hilbert
donde ∨ significa "o". La equivalencia de las dos formas se demuestra fácilmente (p. 421)
Por ejemplo, si P es la proposición:
Entonces la ley del tercero excluido sostiene que la disyunción lógica :
es verdadera en virtud de su forma solamente. Es decir, la posición "intermedia", de que Sócrates no es ni mortal ni no mortal, está excluida por la lógica y, por lo tanto, o bien la primera posibilidad ( Sócrates es mortal ) o bien su negación ( no es el caso de que Sócrates sea mortal ) deben ser verdaderas.
A continuación se presenta un ejemplo de un argumento que depende de la ley del tercero excluido. [10] Buscamos demostrar que
Se sabe que es irracional (ver prueba ). Considere el número
Claramente (excluido el medio) este número es racional o irracional. Si es racional, la prueba está completa y
Pero si es irracional, entonces sea
Entonces
y 2 es ciertamente racional. Con esto concluye la prueba.
En el argumento anterior, la afirmación "este número es racional o irracional" invoca la ley del tercio excluido. Un intuicionista , por ejemplo, no aceptaría este argumento sin más respaldo para esa afirmación. Este podría venir en forma de una prueba de que el número en cuestión es de hecho irracional (o racional, según sea el caso); o un algoritmo finito que pudiera determinar si el número es racional.
La prueba anterior es un ejemplo de una prueba no constructiva rechazada por los intuicionistas:
La prueba no es constructiva porque no da números específicos que satisfagan el teorema, sino sólo dos posibilidades separadas, una de las cuales debe funcionar. (En realidad es irracional, pero no se conoce ninguna prueba sencilla de ese hecho.) (Davis 2000:220)
(No es difícil producir pruebas constructivas del ejemplo específico anterior; por ejemplo, se demuestra fácilmente que tanto α como α son irracionales, y α es una prueba permitida por los intuicionistas).
Por no constructiva, Davis quiere decir que “una prueba de que existen realmente entidades matemáticas que satisfacen ciertas condiciones no tendría que proporcionar un método para exhibir explícitamente las entidades en cuestión” (p. 85). Tales pruebas presuponen la existencia de una totalidad que es completa, una noción que los intuicionistas rechazan cuando se extiende al infinito —para ellos el infinito nunca puede completarse:
En las matemáticas clásicas existen pruebas de existencia no constructivas o indirectas , que los intuicionistas no aceptan. Por ejemplo, para demostrar que existe un n tal que P ( n ), el matemático clásico puede deducir una contradicción a partir de la suposición para todo n , no P ( n ). Tanto bajo la lógica clásica como bajo la intuicionista, por reductio ad absurdum esto da no para todo n, no P ( n ). La lógica clásica permite que este resultado se transforme en existe un n tal que P ( n ), pero no en general la intuicionista… el significado clásico, de que en algún lugar de la totalidad infinita completa de los números naturales ocurre un n tal que P ( n ), no está disponible para él, ya que no concibe los números naturales como una totalidad completa. [11] (Kleene 1952:49–50)
David Hilbert y Luitzen EJ Brouwer dan ejemplos de la ley del medio excluido extendida al infinito. El ejemplo de Hilbert: "la afirmación de que o bien sólo hay un número finito de números primos o bien hay un número infinito" (citado en Davis 2000:97); y el de Brouwer: "Toda especie matemática es finita o infinita" (Brouwer 1923 en van Heijenoort 1967:336). En general, los intuicionistas permiten el uso de la ley del medio excluido cuando se limita al discurso sobre colecciones finitas (conjuntos), pero no cuando se utiliza en el discurso sobre conjuntos infinitos (por ejemplo, los números naturales). Así, los intuicionistas rechazan absolutamente la afirmación general: "Para todas las proposiciones P relativas a conjuntos infinitos D : P o ~ P " (Kleene 1952:48). [12]
Entre los supuestos contraejemplos de la ley del tercio excluido se encuentran la paradoja del mentiroso o la paradoja de Quine . Algunas resoluciones de estas paradojas, en particular el dialeísmo de Graham Priest tal como se formalizó en la teoría lineal, tienen la ley del tercio excluido como teorema, pero resuelven al Mentiroso como verdadero y falso. De esta manera, la ley del tercio excluido es verdadera, pero como la verdad en sí misma, y por lo tanto la disyunción, no es excluyente, no dice casi nada si una de las disyunciones es paradójica, o verdadera y falsa a la vez.
El Catuṣkoṭi (tetralema) es una antigua alternativa a la ley del tercio excluido, que examina las cuatro posibles asignaciones de valores de verdad a una proposición y su negación. Ha sido importante en la lógica india y la lógica budista , así como en la antigua escuela filosófica griega conocida como pirronismo .
Muchos sistemas lógicos modernos reemplazan la ley del tercero excluido con el concepto de negación como fracaso . En lugar de que una proposición sea verdadera o falsa, una proposición es verdadera o no puede probarse como verdadera. [13] Estas dos dicotomías solo difieren en sistemas lógicos que no son completos . El principio de negación como fracaso se utiliza como base para la lógica autoepistémica y se usa ampliamente en la programación lógica . En estos sistemas, el programador es libre de afirmar la ley del tercero excluido como un hecho verdadero, pero no está incorporada a priori en estos sistemas.
Matemáticos como L. E. J. Brouwer y Arend Heyting también han cuestionado la utilidad de la ley del medio excluido en el contexto de las matemáticas modernas. [14]
En la lógica matemática moderna , se ha argumentado que el tercio excluido da lugar a una posible autocontradicción . En lógica, es posible hacer proposiciones bien construidas que no pueden ser ni verdaderas ni falsas; un ejemplo común de esto es la " paradoja del mentiroso ", [15] la afirmación "esta afirmación es falsa", que se argumenta que no es ni verdadera ni falsa. Arthur Prior ha argumentado que la paradoja no es un ejemplo de una afirmación que no puede ser verdadera o falsa. La ley del tercio excluido todavía se aplica aquí, ya que la negación de esta afirmación "esta afirmación no es falsa" puede asignarse como verdadera. En la teoría de conjuntos , una paradoja autorreferencial de este tipo puede construirse examinando el conjunto "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Este conjunto está definido de forma inequívoca, pero conduce a una paradoja de Russell : [16] [17] ¿el conjunto se contiene, como uno de sus elementos, a sí mismo? Sin embargo, en la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel , este tipo de contradicción ya no se admite. Además, las paradojas de autorreferencia pueden construirse sin siquiera invocar la negación, como en la paradoja de Curry . [ cita requerida ] Muy pocos matemáticos trabajan en áreas que permiten que la Ley del Tercero Excluido sea falsa, ya que no es compatible con el sistema axiomático estándar, ZFC. Es decir, no es compatible con el Axioma de Elección. [18]
Algunos sistemas de lógica tienen leyes diferentes pero análogas. Para algunas lógicas finitas de n valores , existe una ley análoga llamada ley de n +1 excluidos . Si la negación es cíclica y "∨" es un "operador máximo", entonces la ley puede expresarse en el lenguaje objeto por (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), donde "~...~" representa n −1 signos de negación y "∨ ... ∨" n −1 signos de disyunción. Es fácil comprobar que la oración debe recibir al menos uno de los n valores de verdad (y no un valor que no sea uno de los n ).
Otros sistemas rechazan la ley por completo. [ especificar ]
Una lógica intermedia particularmente bien estudiada es la dada por la lógica de De Morgan , que añade a la lógica intuicionista el axioma que a veces se llama ley del tercio débil excluido.
Esto es equivalente a algunas otras afirmaciones:
