En geometría diferencial , una variedad G 2 o variedad de Joyce es una variedad de Riemann de siete dimensiones con un grupo de holonomía contenido en G 2 . El grupo es uno de los cinco grupos de Lie simples excepcionales . Puede describirse como el grupo de automorfismos de los octoniones o, equivalentemente, como un subgrupo propio del grupo ortogonal especial SO(7) que conserva un espinor en la representación de espinor de ocho dimensiones o, por último, como el subgrupo del grupo lineal general GL(7) que conserva la forma 3-no degenerada , la forma asociativa. El dual de Hodge es , entonces, una forma 4-paralela , la forma coasociativa. Estas formas son calibraciones en el sentido de Reese Harvey y H. Blaine Lawson [1] y, por lo tanto, definen clases especiales de subvariedades de 3 y 4 dimensiones.
Todas las variedades son variedades de espín orientables , planas y de siete dimensiones . Además, cualquier variedad compacta con holonomía igual a tiene un grupo fundamental finito, una primera clase de Pontryagin distinta de cero y un tercer y cuarto número de Betti distintos de cero .
El hecho de que posiblemente podría ser el grupo de holonomía de ciertas 7-variedades de Riemann fue sugerido por primera vez por el teorema de clasificación de 1955 de Marcel Berger , y esto permaneció consistente con la prueba simplificada dada más tarde por Jim Simons en 1962. Aunque todavía no se había descubierto un solo ejemplo de tal variedad, Edmond Bonan , no obstante, hizo una contribución útil al mostrar que, si tal variedad de hecho existiera, tendría tanto una 3-forma paralela como una 4-forma paralela, y que necesariamente sería Ricci-plana. [2]
Los primeros ejemplos locales de 7-variedades con holonomía fueron finalmente construidos alrededor de 1984 por Robert Bryant , y su prueba completa de su existencia apareció en los Anales en 1987. [3] Luego, Bryant y Simon Salamon construyeron 7-variedades completas (pero aún no compactas) con holonomía en 1989. [4] Las primeras 7-variedades compactas con holonomía fueron construidas por Dominic Joyce en 1994. Por lo tanto, las variedades compactas a veces se conocen como "variedades de Joyce", especialmente en la literatura de física. [5] En 2013, M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho y Sema Salur demostraron que cualquier variedad con una estructura de espín y, por lo tanto, una estructura -, admite una estructura métrica de contacto casi compatible, y se construyó una estructura de contacto casi compatible explícita para variedades con estructura -. [6] En el mismo artículo, se demostró que ciertas clases de variedades admiten una estructura de contacto.
En 2015, una nueva construcción de variedades compactas, gracias a Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm y Tommaso Pacini, combinó una idea de pegado sugerida por Simon Donaldson con nuevas técnicas algebro-geométricas y analíticas para construir variedades de Calabi-Yau con extremos cilíndricos, dando como resultado decenas de miles de tipos de difeomorfismo de nuevos ejemplos. [7]
Estas variedades son importantes en la teoría de cuerdas . Rompen la supersimetría original a 1/8 de la cantidad original. Por ejemplo, la teoría M compactada en una variedad conduce a una teoría realista de cuatro dimensiones (11-7=4) con supersimetría N=1. La supergravedad efectiva de baja energía resultante contiene un único supermultiplete de supergravedad , un número de supermultipletes quirales igual al tercer número de Betti de la variedad y un número de supermultipletes vectoriales U(1) igual al segundo número de Betti. Recientemente se ha demostrado que las estructuras de casi contacto (construidas por Sema Salur et al.) [6] desempeñan un papel importante en la geometría". [8]
