Las leyes de De Morgan

Par de equivalencias lógicas

Leyes de De Morgan representadas con diagramas de Venn . En cada caso, el conjunto resultante es el conjunto de todos los puntos en cualquier tono de azul.

En lógica proposicional y álgebra booleana , las leyes de De Morgan , ^{[1] [2] [3]} también conocidas como teorema de De Morgan , ^[4] son ​​un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas . Llevan el nombre de Augustus De Morgan , un matemático británico del siglo XIX. Las reglas permiten la expresión de conjunciones y disyunciones puramente en términos mutuos mediante la negación .

Las reglas se pueden expresar en inglés como:

• La negación de "A y B" es lo mismo que "ni A ni B".
• La negación de "A o B" es lo mismo que "ni A ni B".

o

• El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos.
• El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual que la unión de sus complementos.

o

• no (A o B) = (no A) y (no B)
• no (A y B) = (no A) o (no B)

donde "A o B" es " inclusivo o " que significa al menos uno de A o B en lugar de " exclusivo o " que significa exactamente uno de A o B.

En teoría de conjuntos y álgebra de Boole , estos se escriben formalmente como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle A}$y son conjuntos, ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle {\overline {A}}}$es el complemento de , ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle \cap }$es la intersección , y
• ${\displaystyle \cup }$es la unión .

La equivalencia de ¬φ ∨ ¬ψ y ¬(φ ∧ ψ) se muestra en esta tabla de verdad. ^[5]

En el lenguaje formal , las reglas se escriben como

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\iff (\neg P)\land (\neg Q),}$

y

${\displaystyle \neg (P\land Q)\iff (\neg P)\lor (\neg Q)}$

dónde

• P y Q son proposiciones,
• ${\displaystyle \neg }$es el operador lógico de negación (NO),
• ${\displaystyle \land }$es el operador lógico de conjunción (Y),
• ${\displaystyle \lor }$es el operador lógico de disyunción (O),
• ${\displaystyle \iff }$es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica por", a menudo leído como "si y sólo si". Para cualquier combinación de valores verdadero/falso para P y Q, los lados izquierdo y derecho de la flecha tendrán el mismo valor de verdad después de la evaluación.

Ley de De Morgan con operación de resta de conjuntos.

Otra forma de la ley de De Morgan es la siguiente, como se ve en la figura de la derecha.

${\displaystyle A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C),}$

${\displaystyle A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C).}$

Las aplicaciones de las reglas incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computadora y diseños de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de un concepto más general de dualidad matemática .

Notación formal

La regla de negación de la conjunción se puede escribir en notación secuencial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q),{\text{and}}\\(\neg P\lor \neg Q)&\vdash \neg (P\land Q).\end{aligned}}}$

La regla de negación de la disyunción se puede escribir como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q),{\text{and}}\\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q).\end{aligned}}}$

En forma de regla : negación de conjunción

${\displaystyle {\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\lor \neg Q}{\therefore \neg (P\land Q)}}}$

y negación de la disyunción

${\displaystyle {\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\land \neg Q}{\therefore \neg (P\lor Q)}}}$

y expresado como tautologías veritativas o teoremas de lógica proposicional:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q),\\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q).\\\end{aligned}}}$

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Las leyes generalizadas de De Morgan proporcionan una equivalencia para negar una conjunción o disyunción que involucra múltiples términos.
Para un conjunto de proposiciones , las Leyes de De Morgan generalizadas son las siguientes: ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}}$

Estas leyes generalizan las leyes originales de De Morgan para negar conjunciones y disyunciones.

Formulario de sustitución

Las leyes de De Morgan normalmente se muestran en forma compacta arriba, con la negación de la salida a la izquierda y la negación de las entradas a la derecha. Una forma más clara de sustitución se puede expresar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}}$

Esto enfatiza la necesidad de invertir tanto las entradas como la salida, así como cambiar el operador al realizar una sustitución.

Teoría de conjuntos y álgebra de Boole

En la teoría de conjuntos y el álgebra de Boole , a menudo se expresa como "intercambio de unión e intersección bajo complementación", ^[6] que puede expresarse formalmente como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle {\overline {A}}}$es la negación de , la línea superpuesta se escribe encima de los términos a negar, ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle \cap }$es el operador de intersección (Y),
• ${\displaystyle \cup }$es el operador sindical (OR).

Uniones e intersecciones de cualquier número de conjuntos.

La forma generalizada es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}}$

donde I es un conjunto de indexación, posiblemente contable o incontablemente infinito.

En notación de conjuntos, las leyes de De Morgan se pueden recordar usando la mnemónica "romper la línea, cambiar el signo". ^[7]

Ingeniería

En ingeniería eléctrica e informática , las leyes de De Morgan se escriben comúnmente como:

${\displaystyle {\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})}$

y

${\displaystyle {\overline {A+B}}\equiv {\overline {A}}\cdot {\overline {B}},}$

dónde:

• ${\displaystyle \cdot }$es el AND lógico,
• ${\displaystyle +}$es el OR lógico,
• la barra superior es el NO lógico de lo que está debajo de la barra superior.

Búsqueda de texto

Las leyes de De Morgan se aplican comúnmente a la búsqueda de texto utilizando operadores booleanos Y, O y NO. Consideremos un conjunto de documentos que contienen las palabras "gatos" y "perros". Las leyes de De Morgan sostienen que estas dos búsquedas arrojarán el mismo conjunto de documentos:

Búsqueda A: NO (gatos O perros)

Búsqueda B: (NO gatos) Y (NO perros)

El corpus de documentos que contienen "gatos" o "perros" puede estar representado por cuatro documentos:

Documento 1: Contiene únicamente la palabra "gatos".

Documento 2: Contiene sólo "perros".

Documento 3: Contiene tanto "gatos" como "perros".

Documento 4: No contiene "gatos" ni "perros".

Para evaluar la Búsqueda A, claramente la búsqueda "(gatos O perros)" afectará a los Documentos 1, 2 y 3. Entonces, la negación de esa búsqueda (que es la Búsqueda A) afectará a todo lo demás, que es el Documento 4.

Al evaluar la Búsqueda B, la búsqueda "(NO gatos)" llegará a los documentos que no contienen "gatos", que son los Documentos 2 y 4. De manera similar, la búsqueda "(NO perros)" llegará a los Documentos 1 y 4. Aplicando la El operador Y para estas dos búsquedas (que es la Búsqueda B) dará con los documentos que son comunes a estas dos búsquedas, que es el Documento 4.

Se puede aplicar una evaluación similar para mostrar que las dos búsquedas siguientes arrojarán los Documentos 1, 2 y 4:

Buscar C: NO (gatos Y perros),

Busque D: (NO gatos) O (NO perros).

Historia

Las leyes llevan el nombre de Augustus De Morgan (1806-1871), ^[8] quien introdujo una versión formal de las leyes en la lógica proposicional clásica . La formulación de De Morgan estuvo influenciada por la algebraización de la lógica emprendida por George Boole , que más tarde consolidó la afirmación de De Morgan sobre el hallazgo. Sin embargo, Aristóteles hizo una observación similar , que era conocida por los lógicos griegos y medievales. ^[9] Por ejemplo, en el siglo XIV, Guillermo de Ockham escribió las palabras que resultarían de la lectura de las leyes. ^[10] Jean Buridan , en sus Summulae de Dialectica , también describe reglas de conversión que siguen las líneas de las leyes de De Morgan. ^[11] Aún así, a De Morgan se le atribuye el mérito de establecer las leyes en los términos de la lógica formal moderna e incorporarlas al lenguaje de la lógica. Las leyes de De Morgan pueden demostrarse fácilmente y hasta pueden parecer triviales. ^[12] No obstante, estas leyes son útiles para hacer inferencias válidas en pruebas y argumentos deductivos.

prueba informal

El teorema de De Morgan puede aplicarse a la negación de una disyunción o a la negación de una conjunción en todo o parte de una fórmula.

Negación de una disyunción

En el caso de su aplicación a una disyunción, considere la siguiente afirmación: "es falso que A o B sea verdadero", que se escribe como:

${\displaystyle \neg (A\lor B).}$

Dado que se ha establecido que ni A ni B son verdaderos, entonces se debe seguir que A no es verdadero y B no es verdadero, lo que puede escribirse directamente como:

${\displaystyle (\neg A)\wedge (\neg B).}$

Si A o B fueran verdaderos, entonces la disyunción de A y B sería verdadera, haciendo falsa su negación. Presentado en inglés, esto sigue la lógica de que "dado que dos cosas son ambas falsas, también es falso que cualquiera de ellas sea verdadera".

Trabajando en la dirección opuesta, la segunda expresión afirma que A es falso y B es falso (o equivalentemente que "no A" y "no B" son verdaderos). Sabiendo esto, una disyunción de A y B también debe ser falsa. Por tanto, la negación de dicha disyunción debe ser cierta y el resultado es idéntico al de la primera afirmación.

Negación de una conjunción

La aplicación del teorema de De Morgan a la conjunción es muy similar a su aplicación a una disyunción, tanto en forma como en fundamento. Considere la siguiente afirmación: "es falso que A y B sean ambos verdaderos", que se escribe como:

${\displaystyle \neg (A\land B).}$

Para que esta afirmación sea verdadera, uno o ambos de A o B deben ser falsos, porque si ambos fueran verdaderos, entonces la conjunción de A y B sería verdadera, haciendo falsa su negación. Por lo tanto, uno (al menos) o más de A y B deben ser falsos (o de manera equivalente, uno o más de "no A" y "no B" deben ser verdaderos). Esto se puede escribir directamente como,

${\displaystyle (\neg A)\lor (\neg B).}$

Presentado en inglés, sigue la lógica de que "dado que es falso que dos cosas sean ambas verdaderas, al menos una de ellas debe ser falsa".

Trabajando nuevamente en la dirección opuesta, la segunda expresión afirma que al menos uno de "no A" y "no B" debe ser verdadero, o de manera equivalente, que al menos uno de A y B debe ser falso. Como al menos uno de ellos debe ser falso, entonces su conjunción también sería falsa. Negar dicha conjunción da como resultado una expresión verdadera, y esta expresión es idéntica a la primera afirmación.

prueba formal

Aquí usamos para denotar el complemento de A, como se indicó anteriormente en § Teoría de conjuntos y álgebra de Boole. La prueba que se completa en 2 pasos demostrando ambos y . ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$

Parte 1

Dejar . Entonces, . ${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$ ${\displaystyle x\not \in A\cap B}$

Porque debe ser el caso que o . ${\displaystyle A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}}$ ${\displaystyle x\not \in A}$ ${\displaystyle x\not \in B}$

Si entonces , así es . ${\displaystyle x\not \in A}$ ${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

De manera similar, si , entonces , entonces . ${\displaystyle x\not \in B}$ ${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$ ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

De este modo, ; ${\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A\cap B}}\implies x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}{\Big )}}$

eso es, . ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

Parte 2

Para demostrar la dirección inversa, supongamos , y en caso de contradicción . ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ${\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}$

Bajo ese supuesto, debe darse el caso de que , ${\displaystyle x\in A\cap B}$

entonces se sigue que y , y por lo tanto y . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle x\not \in {\overline {A}}}$ ${\displaystyle x\not \in {\overline {B}}}$

Sin embargo, eso significa , en contradicción con la hipótesis de que , ${\displaystyle x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

por lo tanto, el supuesto no debe ser así, lo que significa que . ${\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}$ ${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

Por eso, , ${\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big )}}$

eso es, . ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$

Conclusión

Si y , entonces ; Con esto concluye la prueba de la ley de De Morgan. ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

La otra ley de De Morgan, , se demuestra de manera similar. ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$

Generalizando la dualidad de De Morgan

Leyes de De Morgan representadas como un circuito con puertas lógicas ( diagramas de la Comisión Electrotécnica Internacional ).

En las extensiones de la lógica proposicional clásica, la dualidad todavía se mantiene (es decir, para cualquier operador lógico siempre se puede encontrar su dual), ya que en presencia de las identidades que gobiernan la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el dual de De Morgan de otro. Esto conduce a una propiedad importante de la lógica basada en la lógica clásica , a saber, la existencia de formas normales de negación : cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula donde las negaciones sólo ocurren aplicadas a los átomos no lógicos de la fórmula. La existencia de formas normales de negación impulsa muchas aplicaciones, por ejemplo en el diseño de circuitos digitales , donde se utiliza para manipular los tipos de puertas lógicas , y en lógica formal, donde es necesario encontrar la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de una fórmula. Los programadores informáticos los utilizan para simplificar o negar adecuadamente condiciones lógicas complicadas . También suelen ser útiles en cálculos de la teoría de probabilidad elemental .

Definamos el dual de cualquier operador proposicional P( p , q , ...) dependiendo de las proposiciones elementales p , q , ... como el operador definido por ${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}}$

${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).}$

Extensión a la lógica de predicados y modal

Esta dualidad se puede generalizar a los cuantificadores, así, por ejemplo, el cuantificador universal y el cuantificador existencial son duales:

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]}$

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]}$

Para relacionar estas dualidades de cuantificadores con las leyes de De Morgan, configure un modelo con una pequeña cantidad de elementos en su dominio D , como

re = { a , b , c }.

Entonces

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)}$

y

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).}$

Pero, usando las leyes de De Morgan,

${\displaystyle P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))}$

y

${\displaystyle P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),}$

verificando las dualidades del cuantificador en el modelo.

Luego, las dualidades del cuantificador se pueden extender aún más a la lógica modal , relacionando los operadores de caja ("necesariamente") y diamante ("posiblemente"):

${\displaystyle \Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,}$

${\displaystyle \Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.}$

En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, Aristóteles observó este caso, y en el caso de la lógica modal normal , la relación de estos operadores modales con la cuantificación puede entenderse estableciendo modelos utilizando la semántica de Kripke .

En lógica intuicionista

Tres de las cuatro implicaciones de las leyes de De Morgan se mantienen en la lógica intuicionista . Específicamente, tenemos

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},}$

y

${\displaystyle {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q).}$

Lo contrario de la última implicación no se cumple en la lógica intuicionista pura. Es decir, el fracaso de la proposición conjunta no necesariamente puede resolverse al fracaso de cualquiera de los dos conjuntivos . Por ejemplo, de saber que no fue el caso que Alice y Bob se presentaron a su cita, no se deduce quién no se presentó. Este último principio es equivalente al principio del medio excluido débil , ${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle {\mathrm {WPEM} }}$

${\displaystyle (\neg P)\lor \neg (\neg P).}$

Esta forma débil puede usarse como base para una lógica intermedia . Para obtener una versión refinada de la ley fallida relativa a las declaraciones existenciales, consulte el principio menos limitado de omnisciencia , que sin embargo es diferente de . ${\displaystyle {\mathrm {LLPO} }}$ ${\displaystyle {\mathrm {WLPO} }}$

La validez de las otras tres leyes de De Morgan sigue siendo verdadera si la negación se reemplaza por la implicación para algún predicado constante arbitrario C, lo que significa que las leyes anteriores siguen siendo verdaderas en lógica mínima . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\to C}$

De manera similar a lo anterior, las leyes del cuantificador:

${\displaystyle \forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)}$

y

${\displaystyle \exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x).}$

son tautologías incluso en lógica mínima con la negación reemplazada por la implicación de un fijo , mientras que lo contrario de la última ley no tiene por qué ser cierto en general. ${\displaystyle Q}$

Además, todavía se tiene

${\displaystyle (P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},}$

${\displaystyle (P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},}$

${\displaystyle \forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),}$

${\displaystyle \exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),}$

pero su inversión implica medio excluido . ${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$

en ingeniería informática

Las leyes de De Morgan se utilizan ampliamente en ingeniería informática y lógica digital con el fin de simplificar los diseños de circuitos. ^[13]

Ver también

• Isomorfismo : operador NOT como isomorfismo entre lógica positiva y lógica negativa
• Lista de temas de álgebra booleana
• Lista de identidades y relaciones establecidas
• Lógica positiva
• Dualidad conjunción/disyunción

Referencias

1. Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2016). Introducción a la Lógica. doi :10.4324/9781315510897. ISBN 9781315510880.
2. Hurley, Patrick J. (2015), Una introducción concisa a la lógica (12.a ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1
3. Moore, Brooke Noël (2012). Pensamiento crítico. Richard Parker (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC  689858599.
4. Teorema de DeMorgan [sic]
5. Kashef, Arman. (2023), En busca de la lógica universal: una breve descripción de la evolución de la lógica formal, doi :10.13140/RG.2.2.24043.82724/1
6. Álgebra booleana de RL Goodstein. ISBN 0-486-45894-6 
7. 2000 Problemas resueltos en electrónica digital por SP Bali
8. "Teoremas de DeMorgan". Universidad Estatal de Middle Tennessee . Archivado desde el original el 23 de marzo de 2008.
9. Historia de la lógica formal de Bocheński
10. Guillermo de Ockham, Summa Logicae , parte II, secciones 32 y 33.
11. Jean Buridan, Summula de Dialectica . Trans. Gyula Klimá. New Haven: Yale University Press, 2001. Véase especialmente el Tratado 1, Capítulo 7, Sección 5. ISBN 0-300-08425-0 
12. Robert H. Orr. "Augusto De Morgan (1806-1871)". Universidad de Indiana – Universidad Purdue de Indianápolis . Archivado desde el original el 15 de julio de 2010.
13. Wirth, Niklaus (1995), Diseño de circuitos digitales para estudiantes de informática: un libro de texto introductorio, Springer, p. 16, ISBN 9783540585770

enlaces externos

• "Principio de dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Leyes de Morgan". MundoMatemático .
• Leyes de Morgan en PlanetMath .
• Dualidad en lógica y lenguaje, Enciclopedia de Filosofía de Internet .