Superficie de Peano

Modelo de la superficie de Peano en la colección de Dresde

En matemáticas, la superficie de Peano es la gráfica de la función de dos variables

${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).}$

Fue propuesto por Giuseppe Peano en 1899 como contraejemplo a un criterio conjeturado para la existencia de máximos y mínimos de funciones de dos variables. ^{[1] [2]}

La superficie fue nombrada superficie de Peano ( alemán : Peanosche Fläche ) por Georg Scheffers en su libro de 1920 Lehrbuch der darstellenden Geometrie . ^{[1] [3]} También se le ha llamado silla de montar Peano . ^{[4] [5]}

Propiedades

Superficie de Peano y sus curvas de nivel para el nivel 0 (parábolas, verde y violeta)

La función cuyo gráfico es la superficie toma valores positivos entre las dos parábolas y , y valores negativos en el resto (ver diagrama). En el origen , el punto tridimensional de la superficie que corresponde al punto de intersección de las dos parábolas, la superficie tiene un punto de silla . ^[6] La superficie en sí tiene curvatura gaussiana positiva en algunas partes y curvatura negativa en otras, separadas por otra parábola, ^{[4] [5]} lo que implica que su mapa de Gauss tiene una cúspide de Whitney . ^[5] ${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle y=2x^{2}}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

Intersección de la superficie de Peano con un plano vertical. La curva de intersección tiene un máximo local en el origen, a la derecha de la imagen, y un máximo global a la izquierda de la imagen, con una inclinación suave entre estos dos puntos.

Aunque la superficie no tiene un máximo local en el origen, su intersección con cualquier plano vertical que pase por el origen (un plano con ecuación o ) es una curva que tiene un máximo local en el origen, ^[1] una propiedad descrita por Earle Raymond Hedrick como "paradójica". ^[7] En otras palabras, si un punto comienza en el origen del plano y se aleja del origen a lo largo de cualquier línea recta, el valor de disminuirá al comienzo del movimiento. Sin embargo, no es un máximo local de la función, porque moverse a lo largo de una parábola como (en el diagrama: rojo) hará que el valor de la función aumente. ${\displaystyle y=mx}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (2x^{2}-y)(y-x^{2})}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}$

La superficie de Peano es una superficie cuártica .

Como contraejemplo

En 1886 Joseph Alfred Serret publicó un libro de texto ^[8] con una propuesta de criterios para los puntos extremos de una superficie dados por ${\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}$

"el máximo o el mínimo se produce cuando para los valores de y para los cuales y (tercer y cuarto términos) se anulan, (quinto término) tiene constantemente el signo − , o el signo +." ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d^{2}f}$ ${\displaystyle d^{3}f}$ ${\displaystyle d^{4}f}$

Aquí, se supone que los términos lineales se desvanecen y la serie de Taylor de tiene la forma donde es una forma cuadrática como , es una forma cúbica con términos cúbicos en y , y es una forma cuártica con un polinomio cuártico homogéneo en y . Serret propone que si tiene signo constante para todos los puntos donde entonces hay un máximo o mínimo local de la superficie en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots }$ ${\displaystyle Q(h,k)}$ ${\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}}$ ${\displaystyle C(h,k)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(h,k)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F(h,k)}$ ${\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

En sus notas de 1884 al libro de texto italiano de cálculo de Angelo Genocchi , Calcolo differentenziale e principii di calcolo integrale , Peano ya había proporcionado diferentes condiciones correctas para que una función alcance un mínimo local o un máximo local. ^{[1] [9]} En la traducción alemana de 1899 del mismo libro de texto, proporcionó esta superficie como un contraejemplo a la condición de Serret. En el punto , se cumplen las condiciones de Serret, pero este punto es un punto de silla, no un máximo local. ^{[1] [2]} Una condición relacionada con la de Serret también fue criticada por Ludwig Scheeffer , quien utilizó la superficie de Peano como un contraejemplo a ella en una publicación de 1890, atribuida a Peano. ^{[6] [10]} ${\displaystyle (0,0,0)}$

Modelos

Los modelos de la superficie de Peano están incluidos en la Colección de Modelos e Instrumentos Matemáticos de Göttingen en la Universidad de Göttingen , ^[11] y en la colección de modelos matemáticos de la TU Dresden (en dos modelos diferentes). ^[12] El modelo de Göttingen fue el primer modelo nuevo agregado a la colección después de la Primera Guerra Mundial , y uno de los últimos agregados a la colección en general. ^[6]

Referencias

1. Emch, Arnold (1922). "Un modelo para la superficie de Peano". American Mathematical Monthly . 29 (10): 388–391. doi :10.1080/00029890.1922.11986180. JSTOR  2299024. MR  1520111.
2. Genocchi, Angelo (1899). Peano, Giuseppe (ed.). Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (en alemán). BG Teubner. pag. 332.
3. Scheffers, Georg (1920). "427. Die Peanosche Fläche". Lehrbuch der darstellenden Geometrie (en alemán). vol. II. págs. 261-263.
4. Krivoshapko, SN; Ivanov, VN (2015). "Superficies de silla de montar". Enciclopedia de superficies analíticas . Springer. págs. 561–565. doi :10.1007/978-3-319-11773-7_33.Véase especialmente la sección "Peano Saddle", págs. 562-563.
5. Francis, George K. (1987). Un libro ilustrado topológico . Springer-Verlag, Nueva York. pág. 88. ISBN 0-387-96426-6.Sr. 0880519  .
6. Fischer, Gerd, ed. (2017). Modelos matemáticos: de las colecciones de universidades y museos. Volumen de fotografías y comentarios (2.ª ed.). doi :10.1007/978-3-658-18865-8. ISBN 978-3-658-18864-1.Véase en particular el Prólogo (p. xiii) para la historia del modelo de Göttingen, Foto 122 "Penosche Fläsche / Superficie de Peano" (p. 119), y el Capítulo 7, Funciones, Jürgen Leiterer (RB Burckel, trad.), sección 1.2, "La superficie de Peano (Foto 122)", pp. 202-203, para una revisión de sus matemáticas.
7. Hedrick, ER (julio de 1907). "Un ejemplo peculiar de mínimos de superficies". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 8 (4): 172–174. doi :10.2307/1967821. JSTOR  1967821.
8. Serret, JA (1886). Curso de cálculo diferencial e integral. vol. 1 (3ª ed.). París. pag. 216 - vía Internet Archive.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
9. Genocchi, Angelo (1884). "Massimi e minimi delle funzioni di más variabili". En Peano, Giuseppe (ed.). Calcolo diferenziale e principii di calcolo integrale (en italiano). Fratelli Boca . págs. 195-203.
10. Scheeffer, Ludwig (diciembre de 1890). "Teoría de los máximos y mínimos una función de dos variables". Mathematische Annalen (en alemán). 35 (4): 541–576. doi :10.1007/bf02122660. S2CID  122837827.Véanse en particular las páginas 545-546.
11. "Superficie de Peano". Colección de instrumentos y modelos matemáticos de Göttingen . Universidad de Göttingen . Consultado el 13 de julio de 2020 .
12. Modelo 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" y modelo 40, "Peanosche Fläche", Mathematische Modelle, TU Dresden , consultado el 13 de julio de 2020.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie de Peano". MathWorld .