En geometría , la notación de Hermann-Mauguin se utiliza para representar los elementos de simetría en grupos de puntos , grupos de planos y grupos espaciales . Lleva el nombre del cristalógrafo alemán Carl Hermann (que lo introdujo en 1928) y del mineralogista francés Charles-Victor Mauguin (que lo modificó en 1931). Esta notación a veces se denomina notación internacional , porque fue adoptada como estándar por las Tablas Internacionales de Cristalografía desde su primera edición en 1935.
La notación de Hermann-Mauguin, en comparación con la notación de Schoenflies , se prefiere en cristalografía porque puede usarse fácilmente para incluir elementos de simetría traslacional y especifica las direcciones de los ejes de simetría. [1] [2]
Los ejes de rotación se indican con un número n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (ángulo de rotación φ =360°/norte). Para rotaciones impropias , los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes de rotoinversión, a diferencia de las notaciones de Schoenflies y Shubnikov , que muestran ejes de rotación-reflexión. Los ejes de rotoinversión están representados por el número correspondiente con un macrón , n – 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , .... 2 es equivalente a un plano especular y normalmente se indica como m. La dirección del plano del espejo se define como la dirección perpendicular a él (la dirección de los 2 ejes).
Los símbolos de Hermann-Mauguin muestran ejes y planos no equivalentes de forma simétrica. La dirección de un elemento de simetría corresponde a su posición en el símbolo de Hermann-Mauguin. Si un eje de rotación n y un plano especular m tienen la misma dirección (es decir, el plano es perpendicular al eje n ), entonces se denotan como una fracciónnorte/metroo n /m.
Si dos o más ejes tienen la misma dirección, se muestra el eje con mayor simetría. Una simetría más alta significa que el eje genera un patrón con más puntos. Por ejemplo, los ejes de rotación 3, 4, 5, 6, 7, 8 generan patrones de 3, 4, 5, 6, 7, 8 puntos, respectivamente. Los ejes de rotación incorrectos 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 generan patrones de 6, 4, 10, 6, 14 y 8 puntos, respectivamente. Si un eje de rotación y un eje de rotoinversión generan el mismo número de puntos, se debe elegir el eje de rotación. Por ejemplo, el3/metrocombinación es equivalente a 6 . Dado que 6 genera 6 puntos y 3 genera solo 3, se debe escribir 6 en lugar de3/metro(no6/metro, porque 6 ya contiene el plano especular m). De manera análoga, en el caso de que estén presentes 3 y 3 ejes, se debe escribir 3 . Sin embargo escribimos4/metro, no4/metro, porque tanto 4 como 4 generan cuatro puntos. En el caso del6/metrocombinación, donde están presentes 2, 3, 6, 3 y 6 ejes, los ejes 3 , 6 y 6 generan patrones de 6 puntos, como podemos ver en la figura de la derecha, pero este último debe usarse porque es un eje de rotación – el símbolo será 6/metro.
Finalmente, el símbolo de Hermann-Mauguin depende del tipo [ aclaración necesaria ] del grupo .
Estos grupos pueden contener sólo ejes dobles, planos especulares y/o un centro de inversión. Estos son los grupos de puntos cristalográficos 1 y 1 ( sistema cristalino triclínico ), 2, my2/metro( monoclínica ), y 222,2/metro2/metro2/metroy mm2 ( ortorrómbico ). (La forma corta de2/metro2/metro2/metroes mmm.) Si el símbolo contiene tres posiciones, entonces denotan elementos de simetría en la dirección x , y , z , respectivamente.
Estos son los grupos cristalográficos 3, 32, 3m, 3 y 3.2/metro( sistema de cristal trigonal ), 4, 422, 4 mm, 4 , 4 2 m,4/metro, y4/metro2/metro2/metro( tetragonal ), y 6, 622, 6mm, 6 , 6 m2,6/metro, y6/metro2/metro2/metro( exagonal ). De manera análoga, se pueden construir símbolos de grupos no cristalográficos (con ejes de orden 5, 7, 8, 9, ...). Estos grupos se pueden ordenar en la siguiente tabla
Se puede observar que en grupos con ejes de orden impar n y n la tercera posición en el símbolo siempre está ausente, porque todas las n direcciones, perpendiculares al eje de orden superior, son simétricamente equivalentes. Por ejemplo, en la imagen de un triángulo, los tres planos especulares ( S 0 , S 1 , S 2 ) son equivalentes: todos pasan por un vértice y el centro del lado opuesto. Para ejes de orden par n y n existennorte/2direcciones secundarias ynorte/2direcciones terciarias. Por ejemplo, en la imagen de un hexágono regular se pueden distinguir dos conjuntos de planos especulares: tres planos pasan por dos vértices opuestos y otros tres planos pasan por los centros de lados opuestos. En este caso cualquiera de los dos conjuntos se puede elegir como direcciones secundarias , el resto del conjunto serán direcciones terciarias . Por lo tanto, los grupos 4 2m, 6 2m, 8 2m, ... pueden escribirse como 4 m2, 6 m2, 8 m2, .... Para símbolos de grupos de puntos, este orden normalmente no importa; sin embargo, será importante para los símbolos de Hermann-Mauguin de los grupos espaciales correspondientes, donde las direcciones secundarias son direcciones de elementos de simetría a lo largo de las traslaciones de celdas unitarias byc , mientras que las direcciones terciarias corresponden a la dirección entre las traslaciones de celdas unitarias b y c . Por ejemplo, los símbolos P 6 m2 y P 6 2m denotan dos grupos espaciales diferentes. Esto también se aplica a los símbolos de grupos espaciales con ejes 3 y 3 de orden impar . Los elementos de simetría perpendiculares pueden ir a lo largo de las traslaciones de celdas unitarias byc o entre ellas. Los grupos espaciales P321 y P312 son ejemplos del primero y del último caso, respectivamente.
El símbolo del grupo de puntos 3.2/metropuede resultar confuso; el símbolo de Schoenflies correspondiente es D 3 d , lo que significa que el grupo consta de un eje triple, tres ejes dobles perpendiculares y 3 planos diagonales verticales que pasan entre estos ejes dobles, por lo que parece que el grupo se puede denotar como 32m o 3m2. Sin embargo, hay que recordar que, a diferencia de la notación de Schoenflies, la dirección de un plano en un símbolo de Hermann-Mauguin se define como la dirección perpendicular al plano, y en el grupo D 3 d todos los planos especulares son perpendiculares a ejes dobles, por lo que deben escribirse en la misma posición que2/metro. En segundo lugar, estos2/metroLos complejos generan un centro de inversión, que combinado con el eje de rotación triple genera un eje de rotoinversión triple .
Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de Curie .
Estos son los grupos cristalográficos de un sistema cristalino cúbico : 23, 432,2/metro3 , 4 3m, y4/metro32/metro. Todos ellos contienen cuatro ejes diagonales triples. Estos ejes están dispuestos como ejes triples en un cubo, dirigidos a lo largo de sus cuatro diagonales espaciales (el cubo tiene4/metro32/metrosimetría). Estos símbolos se construyen de la siguiente manera:
Todos los símbolos de Hermann-Mauguin presentados anteriormente se denominan símbolos completos . Para muchos grupos, se pueden simplificar omitiendo n ejes de rotación ennorte/metroposiciones. Esto se puede hacer si el eje de rotación se puede obtener de manera inequívoca a partir de la combinación de elementos de simetría presentados en el símbolo. Por ejemplo, el símbolo corto para2/metro2/metro2/metroes mmm, por4/metro2/metro2/metroes4/metromm, y para4/metro32/metroes m 3 m. En grupos que contienen un eje de orden superior, este eje de orden superior no se puede omitir. Por ejemplo, símbolos4/metro2/metro2/metroy6/metro2/metro2/metrose puede simplificar a 4/mmm (o4/metromm) y 6/mmm (o6/metromm), pero no a mmm; el símbolo corto para 32/metroes de 3m . Los símbolos completos y breves para los 32 grupos de puntos cristalográficos se encuentran en la página de grupos de puntos cristalográficos .
Además de cinco grupos cúbicos, hay dos grupos icosaédricos no cristalográficos más ( I y I h en notación de Schoenflies ) y dos grupos límite ( K y K h en notación de Schoenflies ). Los símbolos de Hermann-Mauguin no fueron diseñados para grupos no cristalográficos, por lo que sus símbolos son más bien nominales y se basan en similitudes con los símbolos de los grupos cristalográficos de un sistema cristalino cúbico. [3] [4] [5] [6] [7] El grupo I se puede denotar como 235, 25, 532, 53. Los posibles símbolos cortos para I h son m 35 , m 5 , m 5 m, 53 m. Los posibles símbolos para el grupo límite K son ∞∞ o 2∞, y para K h son∞/metro∞ o m ∞ o ∞∞m.
Los grupos de planos se pueden representar utilizando el sistema Hermann-Mauguin. La primera letra es p minúscula o c para representar celdas unitarias primitivas o centradas . El siguiente número es la simetría rotacional, como se indicó anteriormente. La presencia de planos especulares se denota por m , mientras que los reflejos de deslizamiento solo se denotan por g . Los ejes de los tornillos no existen en espacios bidimensionales.
El símbolo de un grupo espacial se define combinando la letra mayúscula que describe el tipo de red con símbolos que especifican los elementos de simetría. Los elementos de simetría están ordenados de la misma manera que en el símbolo del grupo de puntos correspondiente (el grupo que se obtiene si se eliminan todos los componentes traslacionales del grupo espacial). Los símbolos para los elementos de simetría son más diversos, porque además de los ejes de rotación y los planos especulares, el grupo espacial puede contener elementos de simetría más complejos: ejes helicoidales (combinación de rotación y traslación) y planos de deslizamiento (combinación de reflexión especular y traslación). Como resultado, muchos grupos espaciales diferentes pueden corresponder al mismo grupo de puntos. Por ejemplo, al elegir diferentes tipos de celosía y planos de deslizamiento, se pueden generar 28 grupos espaciales diferentes a partir del grupo de puntos mmm, por ejemplo, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd, etc. En algunos casos, se genera un grupo espacial cuando simplemente se agregan traducciones a un grupo de puntos. [8] En otros casos no hay ningún punto alrededor del cual se aplique el grupo de puntos. La notación es algo ambigua, sin una tabla que brinde más información. Por ejemplo, los grupos espaciales I23 e I2 1 3 (núms. 197 y 199) contienen ejes de rotación dobles así como ejes de tornillo dobles. En el primero, los ejes dobles se cruzan con los ejes triples, mientras que en el segundo no lo hacen. [9]
Estos son los tipos de celosía de Bravais en tres dimensiones:
El eje del tornillo se indica con un número, n , donde el ángulo de rotación es360°/norte. Luego, el grado de traslación se agrega como un subíndice que muestra qué tan lejos está la traslación a lo largo del eje, como una porción del vector reticular paralelo. Por ejemplo, 2 1 es una rotación de 180° (doble) seguida de una traslación de1/2del vector reticular. 3 1 es una rotación de 120° (triple) seguida de una traslación de1/3del vector reticular.
Los posibles ejes de los tornillos son: 2 1 , 3 1 , 3 2 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 y 6 5 . Hay 4 pares de ejes enantiomórficos: (3 1 – 3 2 ), (4 1 – 4 3 ), (6 1 – 6 5 ) y (6 2 – 6 4 ). Este enantiomorfismo da como resultado 11 pares de grupos espaciales enantiomorfos, a saber
La orientación de un plano de planeo viene dada por la posición del símbolo en la designación de Hermann-Mauguin, al igual que con los planos de espejo. Se indican con a , b o c dependiendo del eje (dirección) en el que se realiza el deslizamiento. También está el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que se realiza a lo largo de un cuarto de una cara o una diagonal espacial de la celda unitaria. El deslizamiento d a menudo se denomina plano de deslizamiento del diamante, ya que forma parte de la estructura del diamante . En los casos en los que hay dos posibilidades entre a , b y c (como a o b ), se utiliza la letra e . (En estos casos, centrar implica que se produzcan ambos deslizamientos). Para resumir: