En geometría y cristalografía , una red de Bravais , llamada así en honor a Auguste Bravais (1850), [1] es una matriz infinita de puntos discretos generados por un conjunto de operaciones de traducción discretas descritas en el espacio tridimensional por
donde n i son números enteros, y a i son vectores de traducción primitivos , o vectores primitivos , que se encuentran en diferentes direcciones (no necesariamente mutuamente perpendiculares) y abarcan la red. La elección de vectores primitivos para una determinada red de Bravais no es única. Un aspecto fundamental de cualquier red de Bravais es que, para cualquier elección de dirección, la red parece exactamente igual desde cada uno de los puntos discretos de la red cuando se mira en esa dirección elegida.
El concepto de red de Bravais se utiliza para definir formalmente una disposición cristalina y sus fronteras (finitas). Un cristal está formado por uno o más átomos, llamados base o motivo , en cada punto de la red. La base puede consistir en átomos , moléculas o cadenas de polímeros de materia sólida , y la red proporciona las ubicaciones de la base.
Dos redes de Bravais a menudo se consideran equivalentes si tienen grupos de simetría isomórficos. En este sentido, hay 5 posibles redes de Bravais en un espacio bidimensional y 14 posibles redes de Bravais en un espacio tridimensional. Los 14 posibles grupos de simetría de las redes de Bravais son 14 de los 230 grupos espaciales . En el contexto de la clasificación de grupos espaciales, las redes de Bravais también se denominan clases de Bravais, clases aritméticas de Bravais o bandadas de Bravais. [2]
En cristalografía, existe el concepto de celda unitaria que comprende el espacio entre puntos de la red adyacentes, así como cualquier átomo en ese espacio. Una celda unitaria se define como un espacio que, cuando se traduce a través de un subconjunto de todos los vectores descritos por , llena el espacio de la red sin superposiciones ni vacíos. (Es decir, un espacio reticular es un múltiplo de una celda unitaria). [3] Hay principalmente dos tipos de celdas unitarias: celdas unitarias primitivas y celdas unitarias convencionales. Una celda primitiva es el componente más pequeño de una red (o cristal) que, cuando se apila junto con operaciones de traducción de la red, reproduce la red (o cristal) completa. [4] Tenga en cuenta que las traducciones deben ser operaciones de traducción de celosía que hagan que la celosía aparezca sin cambios después de la traducción. Si se permitieran traducciones arbitrarias, se podría hacer que una celda primitiva tuviera la mitad del tamaño de la verdadera y traducir el doble de frecuencia, por ejemplo. Otra forma de definir el tamaño de una celda primitiva que evita invocar operaciones de traducción de red es decir que la celda primitiva es el componente más pequeño posible de una red (o cristal) que se puede repetir para reproducir toda la red (o cristal). y que contiene exactamente un punto de la red. En cualquiera de las definiciones, la célula primitiva se caracteriza por su pequeño tamaño. Claramente hay muchas opciones de celda que pueden reproducir toda la red cuando se apilan (dos mitades de la red, por ejemplo), y el requisito de tamaño mínimo distingue la celda primitiva de todas estas otras unidades válidas que se repiten. Si la red o el cristal es bidimensional, la celda primitiva tiene un área mínima; Asimismo en 3 dimensiones la celda primitiva tiene un volumen mínimo. A pesar de este rígido requisito de tamaño mínimo, no existe una elección única de celda unitaria primitiva. De hecho, todas las celdas cuyos bordes sean vectores de traducción primitivos serán celdas unitarias primitivas. El hecho de que no exista una elección única de vectores de traducción primitivos para una red determinada conduce a la multiplicidad de posibles celdas unitarias primitivas. Las celdas unitarias convencionales, por otro lado, no son necesariamente celdas de tamaño mínimo. Se eligen únicamente por conveniencia y, a menudo, se utilizan con fines ilustrativos. Están vagamente definidos.
Las celdas unitarias primitivas se definen como celdas unitarias con el volumen más pequeño para un cristal determinado. (Un cristal es una red y una base en cada punto de la red). Para tener el volumen de celda más pequeño, una celda unitaria primitiva debe contener (1) sólo un punto de la red y (2) la cantidad mínima de constituyentes básicos (p. ej., el mínimo número de átomos en una base). Para el primer requisito, contar el número de puntos de la red en una celda unitaria es tal que, si un punto de la red es compartido por m celdas unitarias adyacentes alrededor de ese punto de la red, entonces el punto se cuenta como 1/ m . Este último requisito es necesario ya que hay cristales que pueden describirse mediante más de una combinación de red y base. Por ejemplo, un cristal, visto como una red con un solo tipo de átomo ubicado en cada punto de la red (la forma básica más simple), también puede verse como una red con una base de dos átomos. En este caso, una celda unitaria primitiva es una celda unitaria que tiene solo un punto de red en la primera forma de describir el cristal para garantizar el volumen de celda unitaria más pequeño.
Puede haber más de una manera de elegir una celda primitiva para un cristal dado y cada elección tendrá una forma de celda primitiva diferente, pero el volumen de la celda primitiva es el mismo para cada elección y cada elección tendrá la propiedad de que una -Se puede establecer una correspondencia entre celdas unitarias primitivas y puntos de red discretos sobre la red asociada. Todas las celdas unitarias primitivas con diferentes formas para un cristal dado tienen el mismo volumen por definición; Para un cristal dado, si n es la densidad de los puntos de la red en una red que garantiza la cantidad mínima de constituyentes básicos y v es el volumen de una celda primitiva elegida, entonces nv = 1, lo que da como resultado v = 1/ n , por lo que cada celda primitiva tiene el mismo volumen de 1/ n . [3]
Entre todas las posibles celdas primitivas para un cristal dado, una celda primitiva obvia puede ser el paralelepípedo formado por un conjunto elegido de vectores de traducción primitivos. (Nuevamente, estos vectores deben formar una red con la cantidad mínima de constituyentes básicos). [3] Es decir, el conjunto de todos los puntos donde y es el vector primitivo elegido. Esta célula primitiva no siempre muestra la simetría clara de un cristal determinado. En este caso, a menudo se utiliza una celda unitaria convencional que muestra fácilmente la simetría del cristal. El volumen de celda unitaria convencional será un múltiplo entero del volumen de celda unitaria primitivo.
En dos dimensiones, cualquier red puede especificarse por la longitud de sus dos vectores de traslación primitivos y el ángulo entre ellos. Hay un número infinito de redes posibles que se pueden describir de esta manera. Se desea alguna forma de categorizar diferentes tipos de celosías. Una forma de hacerlo es reconocer que algunas redes tienen simetría inherente. Se pueden imponer condiciones sobre la longitud de los vectores de traducción primitivos y sobre el ángulo entre ellos para producir varias redes simétricas. Estas simetrías en sí mismas se clasifican en diferentes tipos, como grupos de puntos (que incluyen simetrías especulares, simetrías de inversión y simetrías de rotación) y simetrías traslacionales. Por lo tanto, las celosías se pueden clasificar según el grupo de puntos o la simetría traslacional que se les aplica.
En dos dimensiones, el grupo de puntos más básico corresponde a la invariancia rotacional bajo 2π y π, o simetría rotacional 1 y 2. En realidad, esto se aplica automáticamente a todas las redes 2D y es el grupo de puntos más general. Las redes contenidas en este grupo (técnicamente todas las redes, pero convencionalmente todas las redes que no pertenecen a ninguno de los otros grupos de puntos) se denominan redes oblicuas. A partir de ahí, hay 4 combinaciones adicionales de grupos de puntos con elementos de traslación (o equivalentemente, 4 tipos de restricción en las longitudes/ángulos de los vectores de traslación primitivos) que corresponden a las 4 categorías de red restantes: cuadrado, hexagonal, rectangular y centrado. rectangular. Por tanto, en total hay 5 celosías de Bravais en 2 dimensiones.
Asimismo, en 3 dimensiones, existen 14 celosías de Bravais: 1 categoría "papelera" general (triclínica) y 13 categorías más. Estos 14 tipos de redes se clasifican por sus grupos de puntos en 7 sistemas de redes (triclínico, monoclínico, ortorrómbico, tetragonal, cúbico, romboédrico y hexagonal).
En el espacio bidimensional hay 5 redes de Bravais, [5] agrupadas en cuatro sistemas de redes , que se muestran en la siguiente tabla. Debajo de cada diagrama está el símbolo de Pearson para esa red de Bravais.
Nota: En los diagramas de celda unitaria de la siguiente tabla, los puntos de la red se representan mediante círculos negros y las celdas unitarias se representan mediante paralelogramos (que pueden ser cuadrados o rectángulos) delineados en negro. Aunque cada una de las cuatro esquinas de cada paralelogramo se conecta a un punto de la red, técnicamente sólo uno de los cuatro puntos de la red pertenece a una celda unitaria determinada y cada uno de los otros tres puntos de la red pertenece a una de las celdas unitarias adyacentes. Esto se puede ver imaginando mover el paralelogramo de celda unitaria ligeramente hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo mientras se dejan fijos todos los círculos negros de los puntos de la red.
Las celdas unitarias se especifican de acuerdo con las longitudes relativas de los bordes de las celdas ( a y b ) y el ángulo entre ellos ( θ ). El área de la celda unitaria se puede calcular evaluando la norma ‖ a × b ‖ , donde a y b son los vectores reticulares. Las propiedades de los sistemas reticulares se dan a continuación:
En el espacio tridimensional hay 14 redes de Bravais. Estos se obtienen combinando uno de los siete sistemas de celosía con uno de los tipos de centrado. Los tipos de centrado identifican las ubicaciones de los puntos de la red en la celda unitaria de la siguiente manera:
No todas las combinaciones de sistemas reticulares y tipos de centrado son necesarias para describir todas las retículas posibles, ya que se puede demostrar que varias de ellas son, de hecho, equivalentes entre sí. Por ejemplo, la red monoclínica I puede describirse como una red monoclínica C mediante una elección diferente de ejes cristalinos. De manera similar, todas las redes centradas en A o B pueden describirse mediante un centrado en C o en P. Esto reduce el número de combinaciones a 14 celosías Bravais convencionales, como se muestra en la siguiente tabla. [6] : 744 Debajo de cada diagrama está el símbolo de Pearson para esa red de Bravais.
Nota: En los diagramas de celda unitaria de la siguiente tabla se muestran todos los puntos de la red en el límite de la celda (esquinas y caras); sin embargo, no todos estos puntos de la red pertenecen técnicamente a la celda unitaria dada. Esto se puede ver imaginando mover la celda unitaria ligeramente en la dirección negativa de cada eje mientras se mantienen fijos los puntos de la red. En términos generales, esto se puede considerar como mover la celda unitaria ligeramente hacia la izquierda, ligeramente hacia abajo y ligeramente fuera de la pantalla. Esto muestra que solo uno de los ocho puntos de la red de las esquinas (específicamente el frontal, izquierdo, inferior) pertenece a la celda unitaria dada (los otros siete puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes). Además, sólo uno de los dos puntos de la red que se muestran en las caras superior e inferior de la columna centrada en la base pertenece a la celda unitaria dada. Finalmente, sólo tres de los seis puntos de la red en las caras de la columna centrada en la cara pertenecen a la celda unitaria dada.
Las celdas unitarias se especifican de acuerdo con seis parámetros de red que son las longitudes relativas de los bordes de las celdas ( a , b , c ) y los ángulos entre ellos ( α , β , γ ), donde α es el ángulo entre b y c , β es el ángulo entre a y c , y γ es el ángulo entre a y b . El volumen de la celda unitaria se puede calcular evaluando el producto triple a · ( b × c ) , donde a , b y c son los vectores reticulares. Las propiedades de los sistemas reticulares se dan a continuación:
Alguna información básica para los sistemas de celosías y celosías de Bravais en tres dimensiones se resume en el diagrama al principio de esta página. El polígono de siete lados (heptágono) y el número 7 en el centro indican los siete sistemas reticulares. Los heptágonos internos indican los ángulos de la red, los parámetros de la red, las redes de Bravais y las notaciones de Schöenflies para los respectivos sistemas de redes.
En cuatro dimensiones, hay 64 celosías de Bravais. De ellos, 23 son primitivos y 41 están centrados. Diez redes de Bravais se dividen en pares enantiomórficos . [7]
