En geometría plana, el problema de Einstein se plantea la existencia de un único prototeléfono que por sí mismo forma un conjunto aperiódico de prototeléfonos ; es decir, una forma que puede teselar el espacio pero solo de manera no periódica . Dicha forma se denomina einstein , un juego de palabras con ein Stein , que en alemán significa "una piedra". [2]
A partir de la década de 1990 se resolvieron varias variantes del problema, en función de las definiciones particulares de no periodicidad y las especificaciones de qué conjuntos pueden calificarse como mosaicos y qué tipos de reglas de coincidencia están permitidas. La versión más estricta del problema se resolvió en 2023, después de un descubrimiento inicial en 2022.
El problema de Einstein puede verse como una extensión natural de la segunda parte del decimoctavo problema de Hilbert , que pide un único poliedro que tesele el espacio euclidiano de 3 dimensiones , pero tal que ninguna teselación realizada por este poliedro sea isoédrica . [3] Karl Reinhardt encontró estas teselas anisoédricas en 1928, pero estas teselas anisoédricas teselan todo el espacio periódicamente.
En 1988, Peter Schmitt descubrió un único prototile aperiódico en el espacio euclidiano tridimensional . Si bien ningún teselado por este prototile admite una traslación como simetría, algunos tienen una simetría de tornillo . La operación de tornillo implica una combinación de una traslación y una rotación a través de un múltiplo irracional de π, por lo que ninguna cantidad de operaciones repetidas produce una traslación pura. Esta construcción fue posteriormente extendida por John Horton Conway y Ludwig Danzer a un prototile aperiódico convexo , el mosaico Schmitt–Conway–Danzer . La presencia de la simetría de tornillo resultó en una reevaluación de los requisitos de no periodicidad. [4] Chaim Goodman-Strauss sugirió que un teselado se considere fuertemente aperiódico si no admite ningún grupo cíclico infinito de movimientos euclidianos como simetrías, y que solo los conjuntos de mosaicos que imponen una fuerte aperiodicidad se denominen fuertemente aperiódicos, mientras que otros conjuntos se denominen débilmente aperiódicos . [5]
En 1996, Petra Gummelt construyó una tesela decagonal decorada y demostró que cuando se permiten dos tipos de superposiciones entre pares de tesela, las tesela pueden cubrir el plano, pero solo de forma no periódica. [6] Por lo general, se entiende que una tesela es una cobertura sin superposiciones, por lo que la tesela de Gummelt no se considera una proto-tesela aperiódica. A principios de 2010, Joshua Socolar y Joan Taylor propusieron una tesela aperiódica en el plano euclidiano que consta de una sola tesela (la tesela Socolar-Taylor) . [7] Esta construcción requiere reglas de coincidencia, reglas que restringen la orientación relativa de dos tesela y que hacen referencia a las decoraciones dibujadas en las tesela, y estas reglas se aplican a pares de tesela no adyacentes. Alternativamente, se puede construir una tesela sin decoración sin reglas de coincidencia, pero la tesela no está conectada. La construcción se puede extender a una pieza tridimensional conectada sin reglas de correspondencia, pero esta pieza permite teselados periódicos en una dirección, por lo que es sólo débilmente aperiódica. Además, la pieza no está simplemente conectada.
En noviembre de 2022, el aficionado David Smith descubrió una pieza con forma de "sombrero" formada a partir de ocho copias de una cometa de 60°–90°–120°–90° ( trihexagonales deltoidales ), pegadas borde con borde, que parecían teselar el plano solo de forma aperiódica. [8] Smith reclutó la ayuda de los matemáticos Craig S. Kaplan , Joseph Samuel Myers y Chaim Goodman-Strauss , y en marzo de 2023 el grupo publicó una preimpresión que demostraba que el sombrero, cuando se considera con su imagen reflejada, forma un conjunto de prototipos aperiódicos. [9] [10] Además, el sombrero se puede generalizar a una familia infinita de piezas con la misma propiedad aperiódica. En julio de 2024, este resultado se publicó formalmente en la revista Combinatorial Theory. [11]
En mayo de 2023, el mismo equipo (Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss) publicó un nuevo preprint sobre una familia de formas, llamadas "espectros" y relacionadas con el "sombrero", cada una de las cuales puede teselar el plano utilizando solo rotaciones y traslaciones. [12] Además, el mosaico "espectro" es un monomosaico aperiódico "estrictamente quiral": incluso si se permiten las reflexiones, cada mosaico es no periódico y utiliza solo una quiralidad del espectro. Es decir, no hay mosaicos del plano que utilicen tanto el espectro como su imagen reflejada.
En 2023, un concurso público organizado por el Museo Nacional de Matemáticas de la ciudad de Nueva York y el United Kingdom Mathematics Trust en Londres pidió a la gente que presentara representaciones creativas del sombrero de Einstein. De más de 245 presentaciones de 32 países, se eligieron tres ganadores y recibieron premios en una ceremonia en la Cámara de los Comunes . [13] [14]
Los análogos moleculares de las teselas de Einstein pueden utilizarse para formar cuasicristales quirales bidimensionales . [15]