Eje de tornillo

Eje geométrico de rotación y traslación.

Una hélice sobre el eje de un tornillo.

Un eje de tornillo ( eje helicoidal o eje de torsión ) es una línea que es simultáneamente el eje de rotación y la línea a lo largo de la cual se produce la traslación de un cuerpo. El teorema de Chasles muestra que cada desplazamiento euclidiano en el espacio tridimensional tiene un eje de tornillo, y el desplazamiento se puede descomponer en una rotación y un deslizamiento a lo largo de este eje de tornillo. ^{[1] [2]}

Las coordenadas de Plücker se utilizan para localizar el eje de un tornillo en el espacio y constan de un par de vectores tridimensionales. El primer vector identifica la dirección del eje y el segundo localiza su posición. El caso especial en el que el primer vector es cero se interpreta como una traslación pura en la dirección del segundo vector. Un eje de tornillo está asociado a cada par de vectores en el álgebra de tornillos, también conocida como teoría de tornillos . ^[3]

El movimiento espacial de un cuerpo puede representarse mediante un conjunto continuo de desplazamientos. Debido a que cada uno de estos desplazamientos tiene un eje de tornillo, el movimiento tiene una superficie reglada asociada conocida como superficie de tornillo . Esta superficie no es lo mismo que el axodo , que es trazado por los ejes helicoidales instantáneos del movimiento de un cuerpo. El eje de tornillo instantáneo, o 'eje helicoidal instantáneo' (IHA), es el eje del campo helicoidal generado por las velocidades de cada punto de un cuerpo en movimiento.

Cuando un desplazamiento espacial se especializa en un desplazamiento plano, el eje del tornillo se convierte en el polo de desplazamiento , y el eje del tornillo instantáneo se convierte en el polo de velocidad , o centro instantáneo de rotación , también llamado centro instantáneo . El término centro también se utiliza para un polo de velocidad, y el lugar geométrico de estos puntos para un movimiento plano se llama centrodo . ^[4]

Historia

La prueba de que un desplazamiento espacial puede descomponerse en una rotación alrededor y una traslación a lo largo de una línea en el espacio se atribuye a Michel Chasles en 1830. ^[5] Recientemente se ha identificado que el trabajo de Giulio Mozzi presenta un resultado similar en 1763. ^{[6] [7]}

Simetría del eje del tornillo

La hélice de Boerdijk-Coxeter es un ejemplo de simetría del eje del tornillo que no es periódica.

Un desplazamiento de tornillo (también operación de tornillo o traslación rotatoria ) es la composición de una rotación de un ángulo φ alrededor de un eje (llamado eje de tornillo ) con una traslación de una distancia d a lo largo de este eje. Una dirección de rotación positiva generalmente significa una que corresponde a la dirección de traslación según la regla de la mano derecha . Esto significa que si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj, el desplazamiento se aleja del espectador. Excepto para φ = 180°, debemos distinguir un desplazamiento de tornillo de su imagen especular . A diferencia de las rotaciones, una operación de tornillo hacia la derecha y hacia la izquierda generan grupos diferentes.

La combinación de una rotación alrededor de un eje y una traslación en una dirección perpendicular a ese eje es una rotación alrededor de un eje paralelo. Sin embargo, una operación de tornillo con un vector de traslación distinto de cero a lo largo del eje no se puede reducir así. Así, el efecto de una rotación combinado con cualquier traslación es una operación de tornillo en el sentido general, con casos especiales de traslación pura, rotación pura y identidad. Juntas, estas son todas las isometrías directas en 3D .

3 ₁ eje de tornillo en estructura cristalina de telurio

En cristalografía , la simetría del eje de un tornillo es una combinación de rotación alrededor de un eje y una traslación paralela a ese eje que deja un cristal sin cambios. Si φ = 360°/ n para algún entero positivo n , entonces la simetría del eje del tornillo implica simetría traslacional con un vector de traslación que es n veces mayor que el desplazamiento del tornillo.

Para grupos espaciales se aplica una rotación de 360°/ n alrededor de un eje, combinada con una traslación a lo largo del eje por un múltiplo de la distancia de la simetría traslacional, dividida por n . Este múltiplo se indica mediante un subíndice. Entonces, 6 _{3 es una rotación de 60° combinada con una traslación de 1/2 del vector reticular, lo que implica que también hay} una simetría rotacional triple alrededor de este eje. Las posibilidades son 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ y 6 ₃ , y los enantiomorfos 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ y 6 ₅ . ^[8] Considerando un eje de tornillo n _m , si g es el máximo común divisor de n y m , entonces también hay un eje de rotación g veces mayor. Cuando se han realizado operaciones de tornillo n / g , el desplazamiento será m / g , lo que al ser un número entero significa que se ha movido hasta un punto equivalente de la red, mientras se realiza una rotación de 360°/ g . Entonces 4 ₂ , 6 ₂ y 6 ₄ crean ejes de rotación dobles, mientras que 6 ₃ crea un eje triple.

Un grupo de isometría de eje de tornillo no discreto contiene todas las combinaciones de una rotación alrededor de algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje (en estriado , la constante de proporcionalidad se llama tasa de torsión ); en general, esto se combina con isometrías rotacionales k veces alrededor del mismo eje ( k ≥ 1); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice de k veces ; además, puede haber una rotación doble alrededor de un eje que se cruza perpendicularmente y, por tanto, una hélice k de tales ejes.

Eje de tornillo de un desplazamiento espacial.

Argumento geométrico

Sea D  : R ³ → R ³ un movimiento rígido de R ³ que conserva la orientación . El conjunto de estas transformaciones es un subgrupo de movimientos euclidianos conocido como grupo euclidiano especial SE(3). Estos movimientos rígidos están definidos por transformaciones de x en R ³ dadas por

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

que consiste en una rotación tridimensional A seguida de una traslación del vector d .

Una rotación tridimensional A tiene un eje único que define una línea L. Sea S el vector unitario a lo largo de esta línea para que el vector de traslación d pueda resolverse en una suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al eje L , es decir,

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

En este caso, el movimiento rígido toma la forma

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Ahora, la orientación que preserva el movimiento rígido D * = A ( x ) + d _⊥ transforma todos los puntos de R ³ para que queden en planos perpendiculares a L . Para un movimiento rígido de este tipo existe un único punto c en el plano P perpendicular a L que pasa por 0 , tal que

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

El punto C se puede calcular como

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

porque d _⊥ no tiene componente en la dirección del eje de A .

Un movimiento rígido D * con un punto fijo debe ser una rotación alrededor del eje Lc _que pasa por el punto c . Por tanto, el movimiento rígido

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

Consiste en una rotación alrededor de la recta L _c seguida de una traslación del vector d _L en la dirección de la recta L _c .

Conclusión: todo movimiento rígido de R ³ es el resultado de una rotación de R ³ alrededor de una línea L _c seguida de una traslación en la dirección de la línea. La combinación de una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la línea se llama movimiento de tornillo.

Calcular un punto en el eje del tornillo

Un punto C en el eje del tornillo satisface la ecuación: ^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Resuelva esta ecuación para C usando la fórmula de Cayley para una matriz de rotación

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

donde [B] es la matriz asimétrica construida a partir del vector de Rodrigues

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

tal que

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Utilice esta forma de rotación A para obtener

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

que se convierte

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Esta ecuación se puede resolver para C en el eje del tornillo P (t) para obtener,

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

El eje del tornillo P (t) = C + t S de este desplazamiento espacial tiene las coordenadas de Plücker S = ( S , C × S ) . ^[9]

Cuaternión dual

El eje del tornillo aparece en la formulación de cuaternión dual de un desplazamiento espacial D = ([A], d ) . El cuaternión dual se construye a partir del vector dual S = ( S , V ) que define el eje del tornillo y el ángulo dual ( φ , d ) , donde φ es la rotación y d el deslizamiento a lo largo de este eje, que define el desplazamiento D a obtener,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Un desplazamiento espacial de puntos q representado como un cuaternión vectorial se puede definir utilizando cuaterniones como mapeo.

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

donde d es un cuaternión vectorial de traducción y S es un cuaternión unitario, también llamado versor , dado por

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

que define una rotación de 2 θ alrededor de un eje S .

En el grupo euclidiano propio E ⁺ (3), una rotación se puede conjugar con una traslación para moverla a un eje de rotación paralelo. Tal conjugación, utilizando homografías de cuaterniones , produce el eje de tornillo apropiado para expresar el desplazamiento espacial dado como un desplazamiento de tornillo, de acuerdo con el teorema de Chasles .

Mecánica

El movimiento instantáneo de un cuerpo rígido puede ser la combinación de rotación alrededor de un eje (el eje del tornillo) y una traslación a lo largo de ese eje. Este movimiento del tornillo se caracteriza por el vector de velocidad para la traslación y el vector de velocidad angular en la misma dirección o en la dirección opuesta. Si estos dos vectores son constantes y a lo largo de uno de los ejes principales del cuerpo, no se necesitan fuerzas externas para este movimiento (movimiento y giro]]). Por ejemplo, si se ignoran la gravedad y la resistencia, este es el movimiento de una bala disparada con un arma estriada .

Biomecánica

Este parámetro se utiliza a menudo en biomecánica , cuando se describe el movimiento de las articulaciones del cuerpo. Durante cualquier período de tiempo, el movimiento articular puede verse como el movimiento de un solo punto en una superficie de articulación con respecto a la superficie adyacente (generalmente distal con respecto a proximal ). La traslación y las rotaciones totales a lo largo de la trayectoria del movimiento se pueden definir como las integrales de tiempo de las velocidades de traslación y rotación instantáneas en el IHA para un tiempo de referencia determinado. ^[10]

En cualquier plano , la trayectoria formada por las ubicaciones del eje de rotación instantáneo (IAR) en movimiento se conoce como "centroide" y se utiliza en la descripción del movimiento articular.

Ver también

• Sacacorchos (elemento de montaña rusa)
• Teorema de rotación de Euler : rotaciones sin traslación
• reflejo de deslizamiento
• simetría helicoidal
• grupo de linea
• teoría del tornillo
• grupo espacial

Referencias

1. Bottema, O y B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (septiembre de 1990), enlace a libros de Google
2. Hunt, KH, Geometría cinemática del mecanismo, Oxford University Press, 1990
3. RS Ball, Tratado sobre la teoría de los tornillos, Hodges, Dublín, 1876, Apéndice 1, University Press, Cambridge, 1900, pág. 510
4. Homer D. Eckhardt, Diseño cinemático de máquinas y mecanismos , McGraw-Hill (1998) p. 63 ISBN  0-07-018953-6 en línea en Google books
5. M. Chasles, Note sur les Proprietes Generales du Systeme de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, París, 1830, págs. 321 ± 326
6. G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Napoli, 1763
7. M. Ceccarelli, Eje del tornillo definido por Giulio Mozzi en 1763 y primeros estudios sobre el movimiento helicoidal, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770
8. Walter Borchardt-Ott (1995). Cristalografía . Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.
9. JM McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de vínculos, segunda edición, Springer 2010
10. Woltring HJ, de Lange A, Kauer JMG, Huiskes R. 1987 Estimación instantánea de ejes helicoidales mediante splines naturales con validación cruzada. En: Bergmann G, Kölbel R, Rohlmann A (Editores). Biomecánica: Investigación Básica y Aplicada. Springer, págs. 121-128. texto completo