Un grupo de líneas es una forma matemática de describir las simetrías asociadas con el movimiento a lo largo de una línea. Estas simetrías incluyen la repetición a lo largo de esa línea, lo que hace que esa línea sea una red unidimensional. Sin embargo, los grupos de líneas pueden tener más de una dimensión y pueden involucrar esas dimensiones en sus isometrías o transformaciones de simetría.
Se construye un grupo de líneas tomando un grupo de puntos en las dimensiones completas del espacio y luego agregando traslaciones o desplazamientos a lo largo de la línea a cada uno de los elementos del grupo de puntos, de la misma manera que se construye un grupo espacial . Estos desplazamientos incluyen las repeticiones y una fracción de la repetición, una fracción por cada elemento. Para mayor comodidad, las fracciones se escalan al tamaño de la repetición; por lo tanto, están dentro del segmento de celda unitaria de la línea .
Existen 2 grupos de líneas unidimensionales . Son los límites infinitos de los grupos puntuales discretos bidimensionales C n y D n :
Hay 7 grupos de frisos , que implican reflexiones a lo largo de la línea, reflexiones perpendiculares a la línea y rotaciones de 180° en las dos dimensiones.
Existen 13 familias infinitas de grupos de líneas tridimensionales, [1] derivadas de las 7 familias infinitas de grupos de puntos tridimensionales axiales . Al igual que con los grupos espaciales en general, los grupos de líneas con el mismo grupo de puntos pueden tener diferentes patrones de desplazamientos. Cada una de las familias se basa en un grupo de rotaciones alrededor del eje con orden n . Los grupos se enumeran en notación de Hermann-Mauguin y, para los grupos de puntos, en notación de Schönflies . No parece haber una notación comparable para los grupos de líneas. Estos grupos también se pueden interpretar como patrones de grupos de papel tapiz [2] que envuelven un cilindro n veces y se repiten infinitamente a lo largo del eje del cilindro, de forma muy similar a los grupos de puntos tridimensionales y los grupos de frisos. Una tabla de estos grupos:
Los tipos de desplazamiento son:
Tenga en cuenta que los grupos de fondos de pantalla pm, pg, cm y pmg aparecen dos veces. Cada aparición tiene una orientación diferente en relación con el eje del grupo de líneas; reflexión paralela (h) o perpendicular (v). Los demás grupos no tienen esa orientación: p1, p2, pmm, pgg, cmm.
Si el grupo puntual se restringe a un grupo puntual cristalográfico , una simetría de alguna red tridimensional, entonces el grupo lineal resultante se denomina grupo de varillas . Hay 75 grupos de varillas.
Yendo al límite continuo , con n a ∞, los grupos de puntos posibles se convierten en C ∞ , C ∞h , C ∞v , D ∞ y D ∞h , y los grupos de líneas tienen los desplazamientos posibles apropiados, con la excepción del zigzag.
Los grupos C n ( q ) y D n ( q ) expresan las simetrías de objetos helicoidales. C n ( q ) es para n hélices orientadas en la misma dirección, mientras que D n ( q ) es para n hélices no orientadas y 2n hélices con orientaciones alternas. Invertir el signo de q crea una imagen especular, invirtiendo la quiralidad o lateralidad de las hélices.
Los ácidos nucleicos , ADN y ARN , son bien conocidos por su simetría helicoidal. Los ácidos nucleicos tienen una dirección bien definida, lo que da lugar a cadenas simples C 1 ( q ). Las cadenas dobles tienen direcciones opuestas y están en lados opuestos del eje de la hélice, lo que les da lugar a D 1 ( q ).