Las operaciones matemáticas de multiplicación tienen varias aplicaciones en la música . Además de su aplicación a las relaciones de frecuencia de los intervalos (por ejemplo, la entonación justa y la raíz duodécima de dos en temperamento igual ), se han utilizado de otras maneras para la técnica de dodecafonismo y la teoría de conjuntos musicales . Además, la modulación en anillo es un proceso de audio eléctrico que implica la multiplicación y que se ha utilizado para efectos musicales.
Una operación multiplicativa es una aplicación en la que se multiplica el argumento . [3] La multiplicación se originó intuitivamente en la expansión de intervalos , incluida la rotación del número de orden de las filas de tonos , por ejemplo en la música de Béla Bartók y Alban Berg . [4] La rotación del número de tonos, Fünferreihe o "cinco series" y Siebenerreihe o "siete series", fue descrita por primera vez por Ernst Krenek en Über neue Musik . [5] [4] Los teóricos con sede en Princeton, incluidos James K. Randall , [6] Godfrey Winham , [7] y Hubert S. Howe [8] "fueron los primeros en discutirlos y adoptarlos, no solo con respecto [ sic ] a las series de doce tonos". [9]
Cuando se trabaja con conjuntos de clases de tonos , la multiplicación módulo 12 es una operación común. Si se trabaja con los doce tonos , o una fila de tonos , solo hay unos pocos números por los que se puede multiplicar una fila y aun así terminar con un conjunto de doce tonos distintos. Si se toma la forma prima o inalterada como P 0 , la multiplicación se indica mediante M x , siendo x el multiplicador:
La siguiente tabla enumera todas las posibles multiplicaciones de una fila de doce tonos cromáticos:
Nótese que solo M 1 , M 5 , M 7 y M 11 dan una correspondencia uno a uno (un conjunto completo de 12 tonos únicos). Esto se debe a que cada uno de estos números es relativamente primo con 12. También es interesante que la escala cromática se correlaciona con el círculo de cuartas con M 5 , o de quintas con M 7 , y más generalmente bajo M 7 todos los números pares permanecen iguales mientras que los números impares son transpuestos por un tritono . Este tipo de multiplicación se combina frecuentemente con una operación de transposición . Fue descrita por primera vez en forma impresa por Herbert Eimert , bajo los términos "Quartverwandlung" (cuarta transformación) y "Quintverwandlung" (quinta transformación), [10] y ha sido utilizada por los compositores Milton Babbitt , [11] [12] Robert Morris , [13] y Charles Wuorinen . [14] Esta operación también explica ciertas transformaciones armónicas en el jazz. [15]
Por lo tanto, la multiplicación por las dos operaciones significativas (5 y 7) puede designarse con M 5 ( a ) y M 7 ( a ) o M e IM . [4]
Pierre Boulez [16] [ dudoso – discutir ] describió una operación que llamó multiplicación de tonos , que es algo similar [ aclaración necesaria ] al producto cartesiano de conjuntos de clases de tonos. Dados dos conjuntos, el resultado de la multiplicación de tonos será el conjunto de sumas ( módulo 12) de todos los posibles emparejamientos de elementos entre los dos conjuntos originales. Su definición:
Por ejemplo, si se multiplica un acorde de Do mayor por una díada que contiene Do , Re , el resultado es:
En este ejemplo, un conjunto de tres tonos multiplicado por un conjunto de dos tonos da un nuevo conjunto de 3 × 2 tonos. Dado el espacio limitado de la aritmética módulo 12, al utilizar este procedimiento muy a menudo se producen tonos duplicados, que generalmente se omiten. Esta técnica se utilizó más famosamente en Le Marteau sans maître de Boulez de 1955 , así como en su Tercera Sonata para piano , Structures II , "Don" y "Tombeau" de Pli selon pli , Éclat (y Éclat/Multiples ), Figures—Doubles—Prismes , Domaines y Cummings ist der Dichter , así como en la obra coral retirada, Oubli signal lapidé (1952). [17] [18] [19] Esta operación, como la multiplicación aritmética y la combinación transposicional de clases de conjuntos, es conmutativa . [20]
Howard Hanson llamó a esta operación de convolución matemática conmutativa "superposición" [21] o "@-proyección" y utilizó la notación "/" indistintamente. Así, "p@m" o "p/m" significa "quinta perfecta en tercera mayor", por ejemplo: { CEGB }. Observó específicamente que dos formas de tríada podían multiplicarse de esta manera, o una tríada multiplicada por sí misma, para producir una escala resultante. La última "alzada al cuadrado" de una tríada produce una escala particular altamente saturada en instancias de la tríada fuente. [22] Así, "pmn", el nombre de Hanson para la tríada mayor común, cuando se eleva al cuadrado, es "PMN", por ejemplo: { CDEGG ♯ B }.
Nicolas Slonimsky utilizó esta operación, no generalizada, para formar 1300 escalas multiplicando los tritonos simétricos , acordes aumentados , acordes de séptima disminuida y escalas de tonos enteros por la suma de 3 factores que llamó interpolación, infrapolación y ultrapolación. [23] La combinación de interpolación, infrapolación y ultrapolación, formando oblicuamente infrainterpolación, infraultrapolación e infrainterultrapolación, suma de manera aditiva lo que es efectivamente una segunda sonoridad. Esta segunda sonoridad, multiplicada por la primera, da su fórmula para generar escalas y sus armonizaciones .
Joseph Schillinger utilizó la idea, sin desarrollar, para categorizar los estilos armónicos comunes del siglo XIX y principios del XX como producto del movimiento de raíz armónica horizontal y la estructura armónica vertical. [24] Algunos de los estilos de los compositores que cita aparecen en la siguiente tabla de multiplicación.
La aproximación de los 12 tonos de la música occidental mediante la matemática de módulo 12 , que forma el Círculo de semitonos , significa que los intervalos musicales también pueden considerarse como ángulos en un sistema de coordenadas polares , el apilamiento de intervalos idénticos como funciones del movimiento armónico y la transposición como rotación alrededor de un eje . Por lo tanto, en el ejemplo de multiplicación anterior de Hanson, "p@m" o "p/m" ("quinta perfecta en tercera mayor", p. ej.: { CEGB }) también significa "quinta perfecta, superpuesta sobre quinta perfecta rotada 1/3 de la circunferencia del Círculo de semitonos". A continuación, se muestra una tabla de conversión de intervalos a medida angular (tomados como números negativos para la rotación en el sentido de las agujas del reloj):
Esta interpretación angular de los intervalos es útil para visualizar un ejemplo muy práctico de multiplicación en música: los géneros de Euler-Fokker utilizados para describir la afinación de entonación justa de los instrumentos de teclado. [25] Cada género representa una función armónica como "3 quintas perfectas apiladas" u otra sonoridad como { CGDF ♯ }, que, cuando se multiplica por el ángulo o los ángulos correctos de copia, llena aproximadamente el espacio circunferencial 12TET del Círculo de quintas . Sería posible, aunque no musicalmente bonito, afinar una tríada aumentada de dos terceras mayores perfectas sin pulso , luego (multiplicando) afinar dos quintas temperadas por encima y 1 por debajo de cada nota del acorde aumentado; este es el género de Euler-Fokker [555]. Se obtiene un resultado diferente comenzando con las "3 quintas perfectas apiladas", y a partir de estas notas sin pulso afinando una tercera mayor temperada por encima y por debajo; este es el género de Euler-Fokker [333].
Joseph Schillinger describió una operación de " multiplicación de tiempo polinomial " ( polinomio se refiere a cualquier ritmo que consta de más de una duración) que corresponde aproximadamente a la de la multiplicación de tonos antes mencionada. [26] Un tema, reducido a una serie consistente de números enteros que representan la duración de la negra, corchea o semicorchea de cada una de las notas del tema, podría multiplicarse por sí mismo o por la serie de otro tema para producir una variación coherente y relacionada. En particular, la serie de un tema podría elevarse al cuadrado o al cubo o elevarse a potencias superiores para producir una saturación de material relacionado.
Herbert Eimert describió lo que él llamó los "ocho modos" de la serie de doce tonos, todos ellos formas especulares entre sí. La inversa se obtiene a través de un espejo horizontal, la retrógrada a través de un espejo vertical, la retrógrada-inversa a través de un espejo horizontal y uno vertical, y la "transformación del ciclo de cuartas" o Quartverwandlung y la "transformación del ciclo de quintas" o Quintverwandlung se obtienen a través de un espejo inclinado. [28] Con las retrógradas de estas transformadas y la prima, hay ocho permutaciones .
Además, se puede mover el espejo en un ángulo, es decir, el 'ángulo' de una cuarta o quinta, de modo que la fila cromática se refleje en ambos ciclos. ... De esta manera, se obtiene la transformación del ciclo de cuartas y la transformación del ciclo de quintas de la fila. <ref>Eimert 1950, 29, traducido en Schuijer 2008, 81
Joseph Schillinger no sólo adoptó las operaciones contrapuntísticas inversa , retrógrada y retrógrada-inversa (operaciones de multiplicación de matrices en el espacio vectorial euclidiano ), sino también sus contrapartes rítmicas. Así, pudo describir una variación del tema utilizando los mismos tonos en el mismo orden, pero empleando sus valores de tiempo originales en orden retrógrado . Vio el alcance de este universo multiplicatorio más allá de la simple reflexión , para incluir la transposición y la rotación (posiblemente con proyección de vuelta a la fuente), así como la dilatación , cuyo uso anteriormente se había limitado a la dimensión del tiempo (a través del aumento y la disminución ). [29] Así, pudo describir otra variación del tema, o incluso de una escala básica, multiplicando los conteos de semitonos entre cada par sucesivo de notas por algún factor, posiblemente normalizando a la octava a través de la operación Módulo -12, [30]
Algunos acordes relacionados con Z están conectados por M o IM (multiplicación por 5 o multiplicación por 7), debido a entradas idénticas para 1 y 5 en el vector APIC . [31]
Fuentes
