Multiplicación compleja

Teoría de una clase de curvas elípticas

En matemáticas , la multiplicación compleja ( CM ) es la teoría de las curvas elípticas E que tienen un anillo de endomorfismo más grande que los números enteros . ^[1] Dicho de otra manera, contiene la teoría de funciones elípticas con simetrías adicionales, como las que son visibles cuando la red de períodos es la red de números enteros de Gauss o la red de números enteros de Eisenstein .

Tiene un aspecto que pertenece a la teoría de funciones especiales , porque tales funciones elípticas, o funciones abelianas de varias variables complejas , son entonces funciones "muy especiales" que satisfacen identidades adicionales y toman valores especiales explícitamente calculables en puntos particulares. También ha resultado ser un tema central en la teoría algebraica de números , permitiendo que algunas características de la teoría de campos ciclotómicos se transfieran a áreas de aplicación más amplias. Se dice que David Hilbert comentó que la teoría de la multiplicación compleja de curvas elípticas no solo era la parte más hermosa de las matemáticas sino de toda la ciencia. ^[2]

También existe la teoría de multiplicación compleja de dimensiones superiores de variedades abelianas A que tienen suficientes endomorfismos en un cierto sentido preciso, aproximadamente que la acción en el espacio tangente en el elemento identidad de A es una suma directa de módulos unidimensionales .

Ejemplo de extensión de campo cuadrático imaginario

Se obtiene una curva elíptica sobre los números complejos como cociente del plano complejo por una red Λ, aquí abarcada por dos periodos fundamentales ω ₁ y ω ₂ . También se muestra la cuadritorsión, correspondiente a la red 1/4 Λ que contiene a Λ . El ejemplo de una curva elíptica correspondiente a los números enteros gaussianos se da cuando ω ₂ = i ω ₁ .

Consideremos un campo cuadrático imaginario . Se dice que una función elíptica tiene multiplicación compleja si existe una relación algebraica entre y para todo en . ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(\lambda z)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle K}$

Por el contrario, Kronecker conjeturó –en lo que se conocería como el Jugendtraum de Kronecker– que toda extensión abeliana de podría obtenerse mediante las (raíces de) ecuación de una curva elíptica adecuada con multiplicación compleja. Hasta el día de hoy, este sigue siendo uno de los pocos casos del duodécimo problema de Hilbert que realmente se ha resuelto. ${\displaystyle K}$

Un ejemplo de una curva elíptica con multiplicación compleja es

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

donde Z [ i ] es el anillo de números enteros de Gauss y θ es cualquier número complejo distinto de cero. Cualquier toro complejo de este tipo tiene los números enteros de Gauss como anillo de endomorfismo. Se sabe que las curvas correspondientes se pueden escribir como

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

para algunos , que demostrablemente tiene dos automorfismos conjugados de orden 4 que envían ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

en línea con la acción de i sobre las funciones elípticas de Weierstrass .

En términos más generales, consideremos la red Λ, un grupo aditivo en el plano complejo, generado por . Luego definimos la función de Weierstrass de la variable en de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

y

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Sea la derivada de . Entonces obtenemos un isomorfismo de grupos de Lie complejos: ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

del grupo de toros complejos a la curva elíptica proyectiva definida en coordenadas homogéneas por ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

y donde el punto en el infinito, el elemento cero de la ley de grupo de la curva elíptica, se toma por convención como . Si la red que define la curva elíptica se conserva realmente bajo la multiplicación por (posiblemente un subanillo propio de) el anillo de números enteros de , entonces el anillo de automorfismos analíticos de resulta ser isomorfo a este (sub)anillo. ${\displaystyle (0:1:0)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

Si reescribimos donde y , entonces ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ ${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Esto significa que el j-invariante de es un número algebraico – que se encuentra en – si tiene multiplicación compleja. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Teoría abstracta de los endomorfismos

El anillo de endomorfismos de una curva elíptica puede ser de una de tres formas: los números enteros Z ; un orden en un cuerpo numérico cuadrático imaginario ; o un orden en un álgebra de cuaterniones definida sobre Q. ^[3]

Cuando el cuerpo de definición es un cuerpo finito , siempre hay endomorfismos no triviales de una curva elíptica, provenientes de la función de Frobenius , por lo que cada una de esas curvas tiene multiplicación compleja (y la terminología no se aplica a menudo). Pero cuando el cuerpo base es un cuerpo numérico, la multiplicación compleja es la excepción. Se sabe que, en un sentido general, el caso de la multiplicación compleja es el más difícil de resolver para la conjetura de Hodge .

Extensiones de Kronecker y abelianas

Kronecker postuló por primera vez que los valores de las funciones elípticas en los puntos de torsión deberían ser suficientes para generar todas las extensiones abelianas para cuerpos cuadráticos imaginarios, una idea que se remonta a Eisenstein en algunos casos, e incluso a Gauss . Esto se conoció como el Jugendtraum de Kronecker ; y fue ciertamente lo que motivó la observación de Hilbert anterior, ya que hace explícita la teoría de cuerpos de clases en la forma en que las raíces de la unidad lo hacen para las extensiones abelianas del cuerpo de números racionales , a través de la ley de reciprocidad de Shimura .

De hecho, sea K un cuerpo cuadrático imaginario con cuerpo de clase H . Sea E una curva elíptica con multiplicación compleja por los enteros de K , definidos sobre H . Entonces la extensión abeliana máxima de K se genera por las coordenadas x de los puntos de orden finito en algún modelo de Weierstrass para E sobre H . ^[4]

Se han buscado muchas generalizaciones de las ideas de Kronecker; sin embargo, se encuentran de manera un tanto oblicua respecto del eje central de la filosofía de Langlands y actualmente no se conoce ninguna declaración definitiva.

Consecuencia de muestra

No es casualidad que la constante de Ramanujan , el número trascendental ^[5]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

o equivalentemente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

es un casi entero , en el sentido de que está muy cerca de un entero . ^[6] Este hecho notable se explica mediante la teoría de la multiplicación compleja, junto con algún conocimiento de las formas modulares y el hecho de que

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

es un dominio de factorización único .

Aquí se satisface α ² = α − 41 . En general, S [ α ] denota el conjunto de todas las expresiones polinómicas en α con coeficientes en S , que es el anillo más pequeño que contiene α y S . Debido a que α satisface esta ecuación cuadrática, los polinomios requeridos pueden limitarse al grado uno. ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

Alternativamente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

una estructura interna debida a ciertas series de Eisenstein , y con expresiones simples similares para los otros números de Heegner .

Módulos singulares

Los puntos del semiplano superior τ que corresponden a las razones de los períodos de las curvas elípticas sobre los números complejos con multiplicación compleja son precisamente los números cuadráticos imaginarios. ^{[7] Los} invariantes modulares correspondientes j ( τ ) son los módulos singulares , que provienen de una terminología más antigua en la que "singular" se refería a la propiedad de tener endomorfismos no triviales en lugar de referirse a una curva singular . ^[8]

La función modular j ( τ ) es algebraica en números cuadráticos imaginarios τ : ^[9] estos son los únicos números algebraicos en el semiplano superior para los cuales j es algebraico. ^[10]

Si Λ es una red con razón de períodos τ entonces escribimos j (Λ) para j ( τ ). Si además Λ es un ideal a en el anillo de números enteros O _K de un cuerpo imaginario cuadrático K entonces escribimos j ( a ) para el módulo singular correspondiente. Los valores j ( a ) son entonces números enteros algebraicos reales, y generan el cuerpo de clase de Hilbert H de K : el grado de extensión de cuerpo [ H : K ] = h es el número de clase de K y H / K es una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo al grupo de clase ideal de K . El grupo de clase actúa sobre los valores j ( a ) por [ b ] : j ( a ) → j ( ab ).

En particular, si K tiene la clase número uno, entonces j ( a ) = j ( O ) es un entero racional: por ejemplo, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

Véase también

• Carácter algebraico de Hecke
• Punto de Heegner
• El duodécimo problema de Hilbert
• Grupo formal Lubin–Tate , campos locales
• Caso de campo de función global , caso de campo de función global
• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

Citas

1. Silverman 2009, pág. 69, Observación 4.3.
2. Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, pág. 200, ISBN 978-0-387-94674-0
3. Silverman 1986, pág. 102.
4. Serre 1967, pág. 295.
5. Weisstein, Eric W. "Número trascendental". MathWorld .da , basado en Nesterenko, Yu. V. "Sobre la independencia algebraica de los componentes de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. Traducción al inglés en Math. URSS 8, 501–518, 1974. ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$
6. Constante de Ramanujan – de Wolfram MathWorld
7. Silverman 1986, pág. 339.
8. Silverman 1994, pág. 104.
9. Serre 1967, pág. 293.
10. Baker, Alan (1975). Teoría de números trascendentales . Cambridge University Press . pág. 56. ISBN. 0-521-20461-5.Zbl 0297.10013  .

Referencias

• Borel, A.; Chowla, S.; Herz, CS; Iwasawa, K.; Serre, J.-P. Seminario sobre multiplicación compleja . Seminario celebrado en el Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, NJ, 1957-58. Lecture Notes in Mathematics, No. 21 Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1966
• Husemöller, Dale H. (1987). Curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 111. Con un apéndice de Ruth Lawrence. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-96371-5.Zbl 0605.14032  .
• Lang, Serge (1983). Multiplicación compleja . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 255. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90786-6.Zbl 0536.14029  .
• Serre, J.-P. (1967). "XIII. Multiplicación compleja". En Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (eds.). Teoría algebraica de números . Academic Press. págs. 292–296.
• Shimura, Goro (1971). Introducción a la teoría aritmética de funciones automorfas . Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón. Vol. 11. Tokio: Iwanami Shoten. Zbl  0221.10029.
• Shimura, Goro (1998). Variedades abelianas con multiplicación compleja y funciones modulares . Princeton Mathematical Series. Vol. 46. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-01656-9.Zbl 0908.11023  .
• Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 106. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-96203-4.Zbl 0585.14026  .
• Silverman, Joseph H. (2009). La aritmética de curvas elípticas. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 106 (2.ª ed.). Springer Science . doi :10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN . 978-0-387-09493-9.
• Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 151. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94328-5.Zbl 0911.14015  .

Enlaces externos

• Multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ejemplos de curvas elípticas con multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (octubre de 1995). "Representaciones de Galois y formas modulares". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 32 (4): 375–402. arXiv : math/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi :10.1090/s0273-0979-1995-00616-6. S2CID  16786407.