Estado de la energía

Simplificando supuestos sobre el comportamiento del tensor de tensión-energía en la relatividad general

En las teorías clásicas relativistas de la gravitación , en particular la relatividad general , una condición de energía es una generalización de la afirmación "la densidad de energía de una región del espacio no puede ser negativa" en una formulación matemática relativista. Existen múltiples formas alternativas posibles de expresar dicha condición de modo que se pueda aplicar al contenido de materia de la teoría. La esperanza es entonces que cualquier teoría de la materia razonable satisfaga esta condición o al menos preserve la condición si se satisface con las condiciones iniciales.

Las condiciones energéticas no son restricciones físicas per se , sino más bien condiciones límite impuestas matemáticamente que intentan capturar la creencia de que "la energía debería ser positiva". ^[1] Se sabe que muchas condiciones energéticas no corresponden a la realidad física ; por ejemplo, se sabe bien que los efectos observables de la energía oscura violan la condición de energía fuerte. ^{[2] [3]}

En relatividad general, las condiciones de energía se utilizan a menudo (y se requieren) en las pruebas de varios teoremas importantes sobre los agujeros negros, como el teorema de no tener pelo o las leyes de la termodinámica de los agujeros negros .

Motivación

En la relatividad general y teorías afines, la distribución de la masa, el momento y la tensión debidas a la materia y a cualquier campo no gravitacional se describe mediante el tensor de energía-momento (o tensor de materia ) . Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein en sí misma no especifica qué tipos de estados de materia o campos no gravitacionales son admisibles en un modelo de espacio-tiempo. Esto es a la vez una fortaleza, ya que una buena teoría general de la gravitación debería ser máximamente independiente de cualquier suposición relativa a la física no gravitacional, y una debilidad, porque sin algún criterio adicional la ecuación de campo de Einstein admite soluciones putativas con propiedades que la mayoría de los físicos consideran no físicas , es decir , demasiado extrañas para parecerse a algo en el universo real incluso aproximadamente. ${\displaystyle T^{ab}}$

Las condiciones energéticas representan dichos criterios. En términos generales, describen de manera burda propiedades comunes a todos (o casi todos) los estados de la materia y a todos los campos no gravitacionales que están bien establecidos en la física, pero que son lo suficientemente fuertes como para descartar muchas "soluciones" no físicas de la ecuación de campo de Einstein.

Matemáticamente hablando, la característica distintiva más evidente de las condiciones de energía es que son esencialmente restricciones a los valores y vectores propios del tensor de materia. Una característica más sutil pero no menos importante es que se imponen evento por evento , a nivel de espacios tangentes . Por lo tanto, no tienen ninguna esperanza de descartar características globales objetables , como las curvas temporales cerradas .

Algunas cantidades observables

Para comprender las afirmaciones de las diversas condiciones de energía, uno debe estar familiarizado con la interpretación física de algunas cantidades escalares y vectoriales construidas a partir de vectores arbitrarios temporales o nulos y el tensor de materia.

En primer lugar, un campo vectorial unitario de tipo temporal puede interpretarse como la definición de las líneas del universo de alguna familia de observadores ideales (posiblemente no inerciales). Entonces, el campo escalar ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$

puede interpretarse como la densidad total de masa-energía (materia más energía de campo de cualquier campo no gravitacional) medida por el observador de nuestra familia (en cada evento en su línea de universo). De manera similar, el campo vectorial con componentes representa (después de una proyección) el momento medido por nuestros observadores. ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$

En segundo lugar, dado un campo vectorial nulo arbitrario, el campo escalar ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$

puede considerarse una especie de caso límite de la densidad de masa-energía.

En tercer lugar, en el caso de la relatividad general, dado un campo vectorial arbitrario de tipo temporal , nuevamente interpretado como la descripción del movimiento de una familia de observadores ideales, el escalar de Raychaudhuri es el campo escalar obtenido al tomar la traza del tensor de marea correspondiente a esos observadores en cada evento: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$

Esta cantidad juega un papel crucial en la ecuación de Raychaudhuri . Luego, de la ecuación de campo de Einstein obtenemos inmediatamente

${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$

¿Dónde está la traza del tensor de materia? ${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$

Enunciado matemático

Existen varias condiciones energéticas alternativas de uso común:

Condición de energía nula

La condición de energía nula estipula que para cada campo vectorial nulo que apunta al futuro , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

Cada una de ellas tiene una versión promediada , en la que las propiedades señaladas anteriormente se cumplen solo en promedio a lo largo de las líneas de flujo de los campos vectoriales apropiados. De lo contrario, el efecto Casimir conduce a excepciones. Por ejemplo, la condición de energía nula promediada establece que para cada línea de flujo (curva integral) del campo vectorial nulo debemos tener ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}$

Estado de energía débil

La condición de energía débil estipula que para cada campo vectorial temporal la densidad de materia observada por los observadores correspondientes es siempre no negativa: ${\displaystyle {\vec {X}},}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

Condición energética dominante

La condición de energía dominante estipula que, además de que se cumple la condición de energía débil, para cada campo vectorial causal que apunta al futuro (ya sea temporal o nulo), el campo vectorial debe ser un vector causal que apunta al futuro. Es decir, nunca se puede observar que la masa-energía fluya más rápido que la luz. ${\displaystyle {\vec {Y}},}$ ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}$

Estado de energía fuerte

La condición de energía fuerte estipula que para cada campo vectorial temporal , la traza del tensor de marea medido por los observadores correspondientes siempre es no negativa: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}$

Existen muchas configuraciones clásicas de la materia que violan la condición de energía fuerte, al menos desde una perspectiva matemática. Por ejemplo, un campo escalar con un potencial positivo puede violar esta condición. Además, las observaciones de la energía oscura / constante cosmológica muestran que la condición de energía fuerte no describe nuestro universo, incluso cuando se promedia en todas las escalas cosmológicas. Además, se viola fuertemente en cualquier proceso inflacionario cosmológico (incluso uno que no esté impulsado por un campo escalar). ^[3]

Fluidos perfectos

Implicaciones entre algunas condiciones energéticas, en el caso de un fluido perfecto

Los fluidos perfectos poseen un tensor de materia de forma.

${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$

donde es la velocidad cuadridimensional de las partículas de materia y donde es el tensor de proyección sobre los elementos del hiperplano espacial ortogonales a la velocidad cuadridimensional, en cada evento. (Observe que estos elementos del hiperplano no formarán una hipersegmentación espacial a menos que la velocidad esté libre de vorticidad , es decir, sea irrotacional ). Con respecto a un marco alineado con el movimiento de las partículas de materia, los componentes del tensor de materia toman la forma diagonal ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$

${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$

Aquí, está la densidad de energía y es la presión . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

Las condiciones energéticas pueden entonces reformularse en términos de estos valores propios:

• La condición de energía nula estipula que ${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• La condición de energía débil estipula que ${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• La condición energética dominante estipula que ${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• La condición de energía fuerte estipula que ${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

Las implicaciones entre estas condiciones se indican en la figura de la derecha. Nótese que algunas de estas condiciones permiten presión negativa . Además, nótese que a pesar de los nombres, la condición de energía fuerte no implica la condición de energía débil incluso en el contexto de fluidos perfectos .

Fluidos no perfectos

Finalmente, hay propuestas para la extensión de las condiciones de energía a los espacio-tiempos que contienen fluidos no perfectos, donde la segunda ley de la termodinámica proporciona una función de Lyapunov natural para investigar tanto la estabilidad como la causalidad, donde el origen físico de la conexión entre estabilidad y causalidad radica en la relación entre entropía e información . ^[4] Estos intentos generalizan el teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis (según el cual, si la energía puede entrar en una región vacía más rápido que la velocidad de la luz, entonces se viola la condición de energía dominante y la densidad de energía puede volverse negativa en algún marco de referencia ^[5] ) a los espacio-tiempos que contienen materia fuera de equilibrio a temperatura y potencial químico finitos.

De hecho, la idea de que existe una conexión entre la violación de la causalidad y la inestabilidad de los fluidos tiene una larga historia. Por ejemplo, en palabras de W. Israel : “Si la fuente de un efecto puede retrasarse, debería ser posible que un sistema tome prestada energía de su estado fundamental, y esto implica inestabilidad”. ^[6] Es posible demostrar que esto es una reformulación del teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis a temperatura y potencial químico finitos. ^{[4] [5]}

Intentos de falsificar las condiciones energéticas

Si bien la intención de las condiciones de energía es proporcionar criterios simples que descarten muchas situaciones no físicas y admitan cualquier situación físicamente razonable, de hecho, al menos cuando se introduce un modelado de campo efectivo de algunos efectos mecánicos cuánticos, algunos posibles tensores de materia que se sabe que son físicamente razonables e incluso realistas porque se han verificado experimentalmente , en realidad fallan en varias condiciones de energía. En particular, en el efecto Casimir , en la región entre dos placas conductoras mantenidas paralelas a una separación muy pequeña d , hay una densidad de energía negativa .

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$

entre las placas. (No obstante, hay que tener en cuenta que el efecto Casimir es topológico, en el sentido de que el signo de la energía del vacío depende tanto de la geometría como de la topología de la configuración. Al ser negativa para placas paralelas, la energía del vacío es positiva para una esfera conductora). Sin embargo, varias desigualdades cuánticas sugieren que en tales casos puede satisfacerse una condición de energía promedio adecuada. En particular, la condición de energía nula promedio se satisface en el efecto Casimir. De hecho, para los tensores de energía-momento que surgen de las teorías de campo efectivas sobre el espacio-tiempo de Minkowski, la condición de energía nula promedio se cumple para los campos cuánticos cotidianos. Extender estos resultados es un problema abierto.

La condición de energía fuerte se cumple en toda la materia normal/newtoniana, pero un vacío falso puede violarla. Consideremos el estado de la ecuación barotrópica lineal

${\displaystyle p=w\rho ,}$

donde es la densidad de energía de la materia, es la presión de la materia y es una constante. Entonces, la condición de energía fuerte requiere ; pero para el estado conocido como falso vacío, tenemos . ^[7] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\geq -1/3}$ ${\displaystyle w=-1}$

Véase también

• Congruencia (relatividad general)
• Soluciones exactas en relatividad general
• Campos de trama en la relatividad general
• Teorema de energía positiva
• Desigualdades cuánticas

Notas

1. Curiel, E. (2014). "Una introducción a las condiciones energéticas". arXiv : 1405.0403 .
2. Farnes, JS (2018). "Una teoría unificadora de la energía oscura y la materia oscura: masas negativas y creación de materia dentro de un marco ΛCDM modificado". Astronomía y astrofísica . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Código Bibliográfico :2018A&A...620A..92F. doi :10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
3. Visser, Matt; Barceló, Carlos (2000). "Condiciones energéticas y sus implicaciones cosmológicas". Cosmo-99 . págs. 98–112. arXiv : gr-qc/0001099 . doi :10.1142/9789812792129_0014. ISBN . 978-981-02-4456-9.S2CID119446302  .​
4. Gavassino, Lorenzo; Antonelli, Marco; Haskell, Brynmor (6 de enero de 2022). "La estabilidad termodinámica implica causalidad". Physical Review Letters . 128 (1): 010606. arXiv : 2105.14621 . doi :10.1103/PhysRevLett.128.010606. ISSN  0031-9007.
5. Gavassino, Lorenzo (3 de octubre de 2022). "¿Podemos dar sentido a la disipación sin causalidad?". Physical Review X . 12 (4): 041001. arXiv : 2111.05254 . doi :10.1103/PhysRevX.12.041001. ISSN  2160-3308.
6. Israel, Werner (2009), Lacki, Jan; Ruegg, Henri; Wanders, Gérard (eds.), "Termodinámica relativista", ECG Stueckelberg, Una figura no convencional de la física del siglo XX: artículos científicos seleccionados con comentarios , Basilea: Birkhäuser, págs. 101-113, doi :10.1007/978-3-7643-8878-2_8, ISBN 978-3-7643-8878-2, consultado el 17 de mayo de 2024
7. GFR Ellis; R. Maartens; MAH MacCallum (2012). "Sección 6.1". Cosmología relativista . Cambridge University Press.

Referencias

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.Las condiciones energéticas se analizan en el §4.3.
• Poisson, Eric (2004). Un conjunto de herramientas para relativistas: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode :2004rtmb.book.....P. ISBN 0-521-83091-5.En la Sección 2.1 se analizan diversas condiciones energéticas (incluidas todas las mencionadas anteriormente) .
• Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.En la Sección 4.6 se analizan diversas condiciones energéticas .
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.Las condiciones energéticas comunes se analizan en la Sección 9.2 .
• Ellis, GFR; Maartens, R.; MacCallum, MAH (2012). Cosmología relativista . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38115-4.Las violaciones de la condición de energía fuerte se analizan en la Sección 6.1 .