Lógica cuántica

Teoría de la lógica para explicar las observaciones de la teoría cuántica

En el estudio matemático de la lógica y el análisis físico de los fundamentos cuánticos , la lógica cuántica es un conjunto de reglas para la manipulación de proposiciones inspiradas en la estructura de la teoría cuántica . El sistema formal toma como punto de partida una observación de Garrett Birkhoff y John von Neumann , de que la estructura de las pruebas experimentales en mecánica clásica forma un álgebra de Boole , pero la estructura de las pruebas experimentales en mecánica cuántica forma una estructura mucho más complicada.

También se han propuesto otras lógicas para analizar los fenómenos mecánico-cuánticos, lamentablemente también bajo el nombre de "lógica(s) cuántica(s)". No son el tema de este artículo. Para una discusión de las similitudes y diferencias entre la lógica cuántica y algunos de estos competidores, véase § Relación con otras lógicas .

La lógica cuántica ha sido propuesta como la lógica correcta para la inferencia proposicional en general, sobre todo por el filósofo Hilary Putnam , al menos en un momento de su carrera. Esta tesis fue un ingrediente importante en el artículo de Putnam de 1968 "¿ Es empírica la lógica? ", en el que analizó el estatus epistemológico de las reglas de la lógica proposicional. Los filósofos modernos rechazan la lógica cuántica como base para el razonamiento, porque carece de un condicional material ; una alternativa común es el sistema de lógica lineal , del que la lógica cuántica es un fragmento.

Matemáticamente, la lógica cuántica se formula debilitando la ley distributiva de un álgebra de Boole, lo que da como resultado una red ortocomplementada . Los observables y estados de la mecánica cuántica se pueden definir en términos de funciones sobre o hacia la red, lo que proporciona un formalismo alternativo para los cálculos cuánticos.

Introducción

La diferencia más notable entre la lógica cuántica y la lógica clásica es el fracaso de la ley distributiva proposicional : ^[1]

p y ( q o r ) = ( p y q ) o ( p y r ),

donde los símbolos p , q y r son variables proposicionales.

Para ilustrar por qué falla la ley distributiva, considere una partícula que se mueve en una línea y (usando algún sistema de unidades donde la constante de Planck reducida es 1) sea ^{[Nota 1]}

p = "la partícula tiene momento en el intervalo [0, + 1 ⁄ 6 ] "

q = "la partícula está en el intervalo [−1, 1] "

r = "la partícula está en el intervalo [1, 3] "

Podríamos observar que:

p y ( q o r ) = verdadero

en otras palabras, que el estado de la partícula es una superposición ponderada de momentos entre 0 y +1/6 y posiciones entre −1 y +3.

Por otra parte, las proposiciones " p y q " y " p y r " imponen restricciones más estrictas sobre los valores simultáneos de posición y momento que las permitidas por el principio de incertidumbre (cada una tiene una incertidumbre de 1/3, que es menor que el mínimo permitido de 1/2). Por lo tanto, no hay estados que puedan apoyar ninguna de las proposiciones, y

( p y q ) o ( p y r ) = falso

Historia y crítica moderna

En su clásico tratado de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , John von Neumann señaló que las proyecciones sobre un espacio de Hilbert pueden verse como proposiciones sobre observables físicos; es decir, como posibles preguntas de sí o no que un observador podría hacer sobre el estado de un sistema físico, preguntas que podrían resolverse mediante alguna medición. ^[2] Los principios para manipular estas proposiciones cuánticas fueron llamados lógica cuántica por von Neumann y Birkhoff en un artículo de 1936. ^[3]

George Mackey , en su libro de 1963 (también llamado Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ), intentó axiomatizar la lógica cuántica como la estructura de una red ortocomplementada , y reconoció que un observable físico podría definirse en términos de proposiciones cuánticas. Aunque la presentación de Mackey todavía suponía que la red ortocomplementada es la red de subespacios lineales cerrados de un espacio de Hilbert separable , ^[4] Constantin Piron , Günther Ludwig y otros desarrollaron posteriormente axiomatizaciones que no suponen un espacio de Hilbert subyacente. ^[5]

Inspirado por la entonces reciente defensa de la relatividad general de Hans Reichenbach , el filósofo Hilary Putnam popularizó el trabajo de Mackey en dos artículos en 1968 y 1975, ^[6] en los que atribuyó la idea de que las anomalías asociadas a las mediciones cuánticas se originan con un fallo de la lógica misma a su coautor, el físico David Finkelstein . ^[7] Putnam esperaba desarrollar una posible alternativa a las variables ocultas o al colapso de la función de onda en el problema de la medición cuántica , pero el teorema de Gleason presenta graves dificultades para este objetivo. ^{[6] [8]} Más tarde, Putnam se retractó de sus puntos de vista, aunque con mucha menos fanfarria, ^[6] pero el daño ya estaba hecho. Si bien el trabajo original de Birkhoff y von Neumann solo intentó organizar los cálculos asociados con la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, ahora había surgido una escuela de investigadores, ya sea con la esperanza de que la lógica cuántica proporcionara una teoría viable de variables ocultas o obviara la necesidad de una. ^[9] Su trabajo resultó infructuoso y ahora tiene mala reputación. ^[10]

La mayoría de los filósofos consideran que la lógica cuántica es un competidor poco atractivo de la lógica clásica . No es nada evidente (aunque es cierto ^[11] ) que la lógica cuántica sea una lógica , en el sentido de describir un proceso de razonamiento, en lugar de un lenguaje particularmente conveniente para resumir las mediciones realizadas por aparatos cuánticos. ^{[12] [13]} En particular, los filósofos de la ciencia modernos sostienen que la lógica cuántica intenta sustituir las dificultades metafísicas por problemas no resueltos en física, en lugar de resolver adecuadamente los problemas de física. ^[14] Tim Maudlin escribe que la "lógica cuántica 'resuelve' el problema [de la medición] al hacer que el problema sea imposible de enunciar". ^[15]

El caballo de la lógica cuántica ha sido tan maltratado, azotado y vapuleado, y está tan completamente muerto que... la cuestión no es si el caballo se levantará de nuevo, sino: ¿cómo diablos llegó este caballo hasta aquí en primer lugar? La historia de la lógica cuántica no es la historia de una idea prometedora que salió mal, es más bien la historia de la búsqueda incesante de una mala idea... Muchos, muchos filósofos y físicos se han convencido de que un cambio de lógica (y lo más dramático, el rechazo de la lógica clásica) ayudará de alguna manera a comprender la teoría cuántica, o de que de alguna manera la teoría cuántica nos lo sugiere o nos lo impone. Pero la lógica cuántica, incluso a través de sus muchas encarnaciones y variaciones, tanto en forma técnica como en interpretación, nunca ha dado los frutos esperados.
— Maudlin, Hilary Putnam , págs. 184-185

La lógica cuántica sigue siendo de uso limitado entre los lógicos como un contraejemplo extremadamente patológico (Dalla Chiara y Giuntini: "¿Por qué la lógica cuántica? ¡Simplemente porque 'la lógica cuántica está ahí!'"). ^[16] Aunque la idea central de la lógica cuántica sigue siendo el folclore matemático como una bomba de intuición para la categorización , las discusiones rara vez mencionan la lógica cuántica. ^[17]

La mejor oportunidad de resurgimiento de la lógica cuántica es a través del reciente desarrollo de la computación cuántica , que ha engendrado una proliferación de nuevas lógicas para el análisis formal de protocolos y algoritmos cuánticos (véase también § Relación con otras lógicas). ^[18] La lógica también puede encontrar aplicación en la lingüística (computacional).

Estructura algebraica

La lógica cuántica puede axiomatizarse como la teoría de proposiciones módulo las siguientes identidades: ^[19]

• a = ¬¬ a
• ∨ es conmutativa y asociativa .
• Hay un elemento maximal ⊤, y ⊤ = b ∨¬ b para cualquier b .
• a ∨¬(¬ a ∨ b ) = a .

("¬" es la notación tradicional para " no ", "∨" la notación para " o ", y "∧" la notación para " y ".)

Algunos autores se limitan a redes ortomodulares , que además satisfacen la ley ortomodular: ^[20]

• Si ⊤ = ¬(¬ a ∨¬ b )∨¬( a ∨ b ) entonces a = b .

("⊤" es la notación tradicional para la verdad y ""⊥" la notación tradicional para la falsedad ).

Las formulaciones alternativas incluyen proposiciones derivables a través de una deducción natural , ^[16] cálculo secuencial ^{[21] [22]} o sistema de tablas . ^[23] A pesar de la teoría de prueba relativamente desarrollada , no se sabe que la lógica cuántica sea decidible . ^[19]

La lógica cuántica como lógica de los observables

El resto de este artículo supone que el lector está familiarizado con la teoría espectral de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. Sin embargo, las ideas principales pueden entenderse en el caso de dimensión finita .

Lógica de la mecánica clásica

Las formulaciones hamiltonianas de la mecánica clásica tienen tres ingredientes: estados , observables y dinámica . En el caso más simple de una sola partícula que se mueve en R ³ , el espacio de estados es el espacio de posición-momento R ⁶ . Un observable es una función f de valor real en el espacio de estados. Ejemplos de observables son la posición, el momento o la energía de una partícula. Para los sistemas clásicos, el valor f ( x ), es decir, el valor de f para un estado particular del sistema x , se obtiene mediante un proceso de medición de f .

Las proposiciones relativas a un sistema clásico se generan a partir de enunciados básicos de la forma

"La medición de f produce un valor en el intervalo [ a , b ] para algunos números reales a , b ."

a través de las operaciones aritméticas convencionales y los límites puntuales . De esta caracterización de las proposiciones en los sistemas clásicos se deduce fácilmente que la lógica correspondiente es idéntica al álgebra de Boole de los subconjuntos de Borel del espacio de estados. Por lo tanto, obedecen las leyes de la lógica proposicional clásica (como las leyes de De Morgan ) con las operaciones de unión e intersección de conjuntos correspondientes a las conjuntivas booleanas y la inclusión de subconjuntos correspondiente a la implicación material .

De hecho, una afirmación más fuerte es verdadera: deben obedecer la lógica infinitaria L _{ω 1 ,ω} .

Resumimos estas observaciones de la siguiente manera: El sistema de proposiciones de un sistema clásico es una red con una operación de ortocomplementación distinguida: Las operaciones de red de encuentro y unión son respectivamente intersección de conjuntos y unión de conjuntos. La operación de ortocomplementación es complemento de conjuntos. Además, esta red es secuencialmente completa , en el sentido de que cualquier secuencia { E _i } _{i ∈ N} de elementos de la red tiene un límite superior mínimo , específicamente la unión de la teoría de conjuntos: $${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}{\text{.}}}$$

Red proposicional de un sistema mecánico cuántico

En la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica presentada por von Neumann, un observable físico está representado por algún operador autoadjunto densamente definido (posiblemente ilimitado ) A en un espacio de Hilbert H . A tiene una descomposición espectral , que es una medida con valor de proyección E definida en los subconjuntos de Borel de R . En particular, para cualquier función de Borel acotada f en R , se puede hacer la siguiente extensión de f a operadores: $${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$$

En el caso de que f sea la función indicadora de un intervalo [ a , b ], el operador f ( A ) es una proyección autoadjunta sobre el subespacio de vectores propios generalizados de A con valor propio en [ a , b ] . Ese subespacio puede interpretarse como el análogo cuántico de la proposición clásica

• La medición de A produce un valor en el intervalo [ a , b ].

Esto sugiere el siguiente reemplazo mecánico cuántico para la red ortocomplementada de proposiciones en la mecánica clásica, esencialmente el Axioma VII de Mackey :

• Las proposiciones de un sistema mecánico cuántico corresponden a la red de subespacios cerrados de H ; la negación de una proposición V es el complemento ortogonal V ^⊥ .

El espacio Q de proposiciones cuánticas también es secuencialmente completo: cualquier secuencia disjunta por pares { V _i } _i de elementos de Q tiene un límite superior mínimo. Aquí, la disjunción de W ₁ y W ₂ significa que W ₂ es un subespacio de W ₁ ^⊥ . El límite superior mínimo de { V _i } _i es la suma directa interna cerrada .

Semántica estándar

La semántica estándar de la lógica cuántica es que la lógica cuántica es la lógica de los operadores de proyección en un espacio de Hilbert o pre-Hilbert separable , donde un observable p está asociado con el conjunto de estados cuánticos para los cuales p (cuando se mide) tiene valor propio 1. A partir de allí,

• ¬p es el complemento ortogonal de p (ya que para esos estados, la probabilidad de observar p , P( p ) = 0),
• p ∧ q es la intersección de p y q , y
• p ∨ q = ¬(¬ p ∧¬ q ) se refiere a estados que superponen p y q .

Esta semántica tiene la agradable propiedad de que el espacio pre-Hilbert es completo (es decir, Hilbert) si y solo si las proposiciones satisfacen la ley ortomodular, un resultado conocido como el teorema de Solèr . ^[24] Aunque gran parte del desarrollo de la lógica cuántica ha sido motivado por la semántica estándar, no se caracteriza por esta última; hay propiedades adicionales satisfechas por esa red que no necesitan ser válidas en la lógica cuántica. ^[16]

Diferencias con la lógica clásica

La estructura de Q indica inmediatamente una diferencia con la estructura de orden parcial de un sistema de proposiciones clásico. En el caso clásico, dada una proposición p , las ecuaciones

⊤ = p ∨ q y

⊥ = p ∧ q

tienen exactamente una solución, a saber, el complemento de p en teoría de conjuntos . En el caso de la red de proyecciones, hay infinitas soluciones para las ecuaciones anteriores (cualquier complemento algebraico cerrado de p la resuelve; no necesita ser el ortocomplemento).

En términos más generales, la valoración proposicional tiene propiedades inusuales en la lógica cuántica. Una red ortocomplementada que admita un homomorfismo de red total para {⊥,⊤} debe ser booleana. Una solución alternativa estándar es estudiar homomorfismos parciales máximos q con una propiedad de filtrado:

Si a ≤ b y q ( a ) = ⊤, entonces q ( b ) = ⊤. ^[10]

Falla de la distributividad

Las expresiones de la lógica cuántica describen observables utilizando una sintaxis que se parece a la lógica clásica. Sin embargo, a diferencia de la lógica clásica, la ley distributiva a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) falla cuando se trata de observables no conmutativos , como la posición y el momento. Esto ocurre porque la medición afecta al sistema, y ​​la medición de si se cumple una disyunción no mide cuál de las disyunciones es verdadera.

Por ejemplo, considere una partícula unidimensional simple con posición denotada por x y momento por p , y defina observables:

• a — | p | ≤ 1 (en algunas unidades)
• b — x ≤ 0
• c -x ≥ 0

Ahora bien, la posición y el momento son transformadas de Fourier entre sí, y la transformada de Fourier de una función distinta de cero integrable al cuadrado con un soporte compacto es entera y, por lo tanto, no tiene ceros no aislados. Por lo tanto, no existe ninguna función de onda que sea normalizable en el espacio del momento y que se desvanezca precisamente en x ≥ 0. Por lo tanto, a ∧ b y, de manera similar , a ∧ c son falsas, por lo que ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) es falsa. Sin embargo, a ∧ ( b ∨ c ) es igual a a , lo que ciertamente no es falso (hay estados para los que es un resultado de medición viable ). Además: si el espacio de Hilbert relevante para la dinámica de la partícula solo admite momentos no mayores que 1, entonces a es verdadero.

Para entender mejor, sean p ₁ y p ₂ las funciones de momento (transformadas de Fourier) para las proyecciones de la función de onda de la partícula a x ≤ 0 y x ≥ 0 respectivamente. Sea | p _i |↾ _≥1 la restricción de p _i a momentos que sean (en valor absoluto) ≥1.

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) corresponde a estados con | p ₁ |↾ _≥1 = | p ₂ |↾ _≥1 = 0 (esto se cumple incluso si definimos p de manera diferente para hacer posibles dichos estados; además, a ∧ b corresponde a | p ₁ |↾ _≥1 =0 y p ₂ =0). Mientras tanto, a corresponde a estados con | p |↾ _≥1 = 0. Como operador, p = p ₁ + p ₂ , y valores distintos de cero | p ₁ |↾ _≥1 y | p ₂ |↾ _≥1 podrían interferir para producir cero | p |↾ _≥1 . Tal interferencia es clave para la riqueza de la lógica cuántica y la mecánica cuántica.

Relación con la medición cuántica

Observables de Mackey

Dado un retículo ortocomplementado Q , un observable de Mackey φ es un homomorfismo contablemente aditivo del retículo ortocomplementado de subconjuntos de Borel de R a Q . En símbolos, esto significa que para cualquier secuencia { S _i } _i de subconjuntos de Borel disjuntos por pares de R , {φ( S _i )} _i son proposiciones ortogonales por pares (elementos de Q ) y

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

De manera equivalente, un observable de Mackey es una medida con valor de proyección en R.

Teorema ( Teorema espectral ). Si Q es la red de subespacios cerrados de Hilbert H , entonces existe una correspondencia biyectiva entre los observables de Mackey y los operadores autoadjuntos densamente definidos en H .

Medidas de probabilidad cuántica

Una medida de probabilidad cuántica es una función P definida en Q con valores en [0,1] tales que P("⊥)=0, P(⊤)=1 y si { E _i } _i es una secuencia de elementos ortogonales por pares de Q entonces

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\bigvee _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

Cada medida de probabilidad cuántica en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert es inducida por una matriz de densidad  , un operador no negativo de traza 1. Formalmente,

Teorema . ^[25] Supóngase que Q es la red de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable de dimensión compleja al menos 3. Entonces, para cualquier medida de probabilidad cuántica P en Q, existe un operador de clase de traza único S tal que para cualquier proyección autoadjunta E en Q . $${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$$

Relación con otras lógicas

La lógica cuántica se integra en la lógica lineal ^[26] y la lógica modal B. ^[16] De hecho, las lógicas modernas para el análisis de la computación cuántica a menudo comienzan con la lógica cuántica e intentan injertar en ella características deseables de una extensión de la lógica clásica; los resultados entonces necesariamente integran la lógica cuántica. ^{[27] [28]}

La red ortocomplementada de cualquier conjunto de proposiciones cuánticas se puede incorporar a un álgebra booleana, que luego es susceptible de lógica clásica. ^[29]

Limitaciones

Aunque muchos tratamientos de la lógica cuántica suponen que la red subyacente debe ser ortomodular, dichas lógicas no pueden manejar múltiples sistemas cuánticos en interacción. En un ejemplo debido a Foulis y Randall, existen proposiciones ortomodulares con modelos de Hilbert de dimensión finita cuyo emparejamiento no admite ningún modelo ortomodular. ^[8] De la misma manera, la lógica cuántica con la ley ortomodular falsifica el teorema de deducción . ^[30]

La lógica cuántica no admite ningún condicional material razonable ; cualquier conectivo que sea monótono en un cierto sentido técnico reduce la clase de proposiciones a un álgebra de Boole . ^[31] En consecuencia, la lógica cuántica lucha por representar el paso del tiempo. ^[26] Una posible solución es la teoría de filtraciones cuánticas desarrollada a fines de los años 1970 y 1980 por Belavkin . ^{[32] [33]} Sin embargo, se sabe que el Sistema BV , un fragmento de inferencia profunda de lógica lineal que es muy cercano a la lógica cuántica, puede manejar espacio-tiempos discretos arbitrarios . ^[34]

Véase también

• Lógica difusa
• Formalismo HPO (Una aproximación a la lógica cuántica temporal)
• Lógica lineal
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Lógica multivalor
• Bayesianismo cuántico
• Cognición cuántica
• Contextualidad cuántica
• Teoría cuántica de campos
• Probabilidad cuántica
• Teoría de cuasi-conjuntos
• Teorema de Solèr
• Lógica vectorial

Notas

1. Por razones técnicas, no es posible representar estas proposiciones como operadores mecánico-cuánticos . Se presentan aquí porque son lo suficientemente simples como para permitir la intuición y pueden considerarse como casos límite de operadores que son factibles. Véase § La lógica cuántica como lógica de observables y siguientes para más detalles.

Citas

1. Peter Forrest, "Lógica cuántica" en Routledge Encyclopedia of Philosophy , vol. 7, 1998, pág. 882ff: "[La lógica cuántica] difiere del cálculo oracional estándar... La diferencia más notable es que las leyes distributivas fallan, siendo reemplazadas por una ley más débil conocida como ortomodularidad".
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Fuentes

Obras históricas

Ordenado cronológicamente

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Perspectivas filosóficas modernas

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Estudio matemático y aplicaciones computacionales

• A. Baltag y S. Smets, "LQP: La lógica dinámica de la información cuántica", Estructuras matemáticas en informática , vol. 16, número 3, págs. 491-525, 2006. DOI 10.1017/S0960129506005299 arXiv 2110.01361
• A. Baltag, J. Bergfeld, K. Kishida, J. Sack, S. Smets y S. Zhong, "PLQP & Company: lógicas decidibles para algoritmos cuánticos", International Journal of Theoretical Physics , vol. 53, número 10, págs. 3628-3647, 2014.
• M. L. Dalla Chiara y R. Giuntini, "Lógica cuántica", en Handbook of Philosophical Logic , vol. 6, D. Gabbay y F. Guenthner (eds.), Kluwer, 2002. arXiv quant-ph/0101028
• M. L. Dalla Chiara, R. Giuntini y R. Leporini, "Lógica computacional cuántica: un estudio", en Trends in Logic , vol. 21, V. F. Hendricks y J. Malinowski (eds.), Springer, 2003. arXiv quant-ph/0305029
• Norman Megill, explorador de lógica cuántica en Metamath , 2019.
• N. Papanikolaou, "Razonando formalmente sobre sistemas cuánticos: una visión general", ACM SIGACT News , 36(3), 2005. págs. 51–66. arXiv cs/0508005.

Fundamentos cuánticos

• D. Cohen, Introducción al espacio de Hilbert y la lógica cuántica , Springer-Verlag, 1989. Elemental y bien ilustrado; adecuado para estudiantes universitarios avanzados.
• Günther Ludwig, Der Grundlagen der Quantenmechanik (en alemán), Springer, 1954. La obra definitiva. Publicado en inglés como:
  • Günther Ludwig, Fundamentos de la mecánica cuántica , vol. 1, trad. Carl A. Hein; Springer-Verlag, 1983.
  • Günther Ludwig, Una base axiomática para la mecánica cuántica , vol. 1: "Derivación de la estructura del espacio de Hilbert", trad. Leo F. Boron, ed. Karl Just; Springer, 1985. DOI: 10.1007/978-3-642-70029-3. ISBN 978-3-642-70029-3 . 
• Lógica cuántica en el laboratorio n
• C. Piron , Fundamentos de la física cuántica , W. A. ​​Benjamin, 1976.