Estructura compleja generalizada

Propiedad de una variedad diferencial que incluye estructuras complejas

En el campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , una estructura compleja generalizada es una propiedad de una variedad diferencial que incluye como casos especiales una estructura compleja y una estructura simpléctica . Las estructuras complejas generalizadas fueron introducidas por Nigel Hitchin en 2002 y desarrolladas posteriormente por sus estudiantes Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti.

Estas estructuras surgieron por primera vez en el programa de Hitchin de caracterización de estructuras geométricas a través de funcionales de formas diferenciales , una conexión que formó la base de la propuesta de 2004 de Robbert Dijkgraaf , Sergei Gukov , Andrew Neitzke y Cumrun Vafa de que las teorías de cuerdas topológicas son casos especiales de una teoría M topológica . Hoy en día, las estructuras complejas generalizadas también juegan un papel principal en la teoría de cuerdas física , ya que las compactificaciones de flujo supersimétricas , que relacionan la física de 10 dimensiones con mundos de 4 dimensiones como el nuestro, requieren estructuras complejas generalizadas (posiblemente retorcidas).

Definición

El fibrado tangente generalizado

Considérese una variedad N M . El fibrado tangente de M , que se denotará T , es el fibrado vectorial sobre M cuyas fibras consisten en todos los vectores tangentes a M . Una sección de T es un campo vectorial sobre M . El fibrado cotangente de M , denotado T ^* , es el fibrado vectorial sobre M cuyas secciones son uniformas sobre M .

En geometría compleja se consideran estructuras sobre los fibrados tangentes de variedades. En geometría simpléctica, en cambio, nos interesan las potencias exteriores del fibrado cotangente. La geometría generalizada une estos dos campos al tratar secciones del fibrado tangente generalizado , que es la suma directa de los fibrados tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y una forma unitaria. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

Las fibras están dotadas de un producto interno natural con signatura ( N ,  N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son formas unitarias, entonces el producto interno de X+ξ e Y+η se define como

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X)).}$

Una estructura casi compleja generalizada es simplemente una estructura casi compleja del fibrado tangente generalizado que conserva el producto interno natural:

${\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\to \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

de tal manera que y ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}$

Al igual que en el caso de una estructura casi compleja ordinaria , una estructura casi compleja generalizada está determinada únicamente por su fibrado propio , es decir, un subfibrado del fibrado tangente generalizado complejizado dado por ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}$

Dicho subhaz L satisface las siguientes propiedades:

1. la intersección con su conjugado complejo es la sección cero: ; ${\displaystyle L\cap {\overline {L}}=0}$
2. L es isótropo máximo , es decir, su rango complejo es igual a N y para todos ${\displaystyle \langle \ell ,\ell '\rangle =0}$ ${\displaystyle \ell ,\ell '\in L.}$

Viceversa, cualquier subconjunto L que satisfaga (i), (ii) es el -conjunto propio de una estructura casi compleja generalizada única, de modo que las propiedades (i), (ii) pueden considerarse como una definición alternativa de estructura casi compleja generalizada. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Soporte de Courant

En la geometría compleja ordinaria, una estructura casi compleja es integrable a una estructura compleja si y sólo si el corchete de Lie de dos secciones del subhaz holomorfo es otra sección del subhaz holomorfo.

En la geometría compleja generalizada no nos interesan los campos vectoriales, sino más bien las sumas formales de los campos vectoriales y las uniformas. En 1990 se introdujo un tipo de corchete de Lie para dichas sumas formales, llamado corchete de Courant , que se define por

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

donde es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X , d es la derivada exterior e i es el producto interior . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

Definición

Una estructura compleja generalizada es una estructura casi compleja generalizada tal que el espacio de secciones suaves de L está cerrado bajo el corchete de Courant.

Subhaces isotrópicos máximos

Clasificación

Existe una correspondencia biunívoca entre el subfibrado isótropo máximo de y los pares donde E es un subfibrado de T y es una forma 2. Esta correspondencia se extiende directamente al caso complejo. ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Dado un par , se puede construir un subfibrado máximamente isótropo de la siguiente manera. Los elementos del subfibrado son las sumas formales donde el campo vectorial X es una sección de E y la forma unidimensional ξ restringida al espacio dual es igual a la forma unidimensional ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X).}$

Para ver que es isótropo, observe que si Y es una sección de E y está restringido a es entonces como la parte de ortogonal a aniquila a Y . Por lo tanto, si y son secciones de entonces ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon (X)}$ ${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle Y+\eta }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

y por lo tanto es isotrópico. Además, es máximo porque hay dimensiones (complejas) de opciones para y no tiene restricciones sobre el complemento de que es de dimensión (compleja) Por lo tanto, la dimensión (compleja) total en n . Gualtieri ha demostrado que todos los subfibrados isotrópicos máximos son de la forma para algunos y ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$ ${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Tipo

El tipo de un subfibrado isótropo máximo es la dimensión real del subfibrado que aniquila a E . Equivalentemente es 2 N menos la dimensión real de la proyección de sobre el fibrado tangente T . En otras palabras, el tipo de un subfibrado isótropo máximo es la codimensión de su proyección sobre el fibrado tangente. En el caso complejo se utiliza la dimensión compleja y el tipo a veces se denomina tipo complejo . Si bien el tipo de un subfibrado puede ser en principio cualquier número entero entre 0 y 2 N , las estructuras casi complejas generalizadas no pueden tener un tipo mayor que N porque la suma del subfibrado y su conjugado complejo deben ser todos ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

El tipo de un subfibrado isotrópico máximo es invariante bajo difeomorfismos y también bajo desplazamientos del campo B , que son isometrías de la forma ${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

donde B es una 2-forma cerrada arbitraria llamada campo B en la literatura de teoría de cuerdas .

El tipo de una estructura casi compleja generalizada no es, en general, constante, puede saltar por cualquier entero par . Sin embargo, es semicontinua superior , lo que significa que cada punto tiene un entorno abierto en el que el tipo no aumenta. En la práctica, esto significa que los subconjuntos de un tipo mayor que el tipo ambiente aparecen en subvariedades con codimensión positiva .

Índice real

El índice real r de un subespacio isótropo maximal L es la dimensión compleja de la intersección de L con su conjugado complejo. Un subespacio isótropo maximal de es una estructura casi compleja generalizada si y solo si r = 0. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Paquete canónico

Al igual que en el caso de la geometría compleja ordinaria, existe una correspondencia entre las estructuras casi complejas generalizadas y los fibrados lineales complejos . El fibrado lineal complejo correspondiente a una estructura casi compleja generalizada particular se suele denominar fibrado canónico , ya que generaliza el fibrado canónico en el caso ordinario. A veces también se le denomina fibrado de espinores puros, ya que sus secciones son espinores puros .

Estructuras casi complejas generalizadas

El fibrado canónico es un subfibrado unidimensional complejo del fibrado de formas diferenciales complejas en M . Recordemos que las matrices gamma definen un isomorfismo entre formas diferenciales y espinores. En particular, las formas pares e impares se asignan a las dos quiralidades de los espinores de Weyl . Los vectores tienen una acción sobre las formas diferenciales dada por el producto interior. Las uniformas tienen una acción sobre las formas dada por el producto cuña. Por lo tanto, las secciones del fibrado actúan sobre las formas diferenciales. Esta acción es una representación de la acción del álgebra de Clifford sobre los espinores. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Se dice que un espinor es un espinor puro si es aniquilado por la mitad de un conjunto de un conjunto de generadores del álgebra de Clifford. Los espinores son secciones de nuestro fibrado y los generadores del álgebra de Clifford son las fibras de nuestro otro fibrado . Por lo tanto, un espinor puro dado es aniquilado por un subfibrado semidimensional E de Tales subfibrados son siempre isótropos, por lo que para definir una estructura casi compleja solo se debe imponer que la suma de E y su conjugado complejo es todo de Esto es cierto siempre que el producto de cuña del espinor puro y su conjugado complejo contenga un componente de dimensión superior. Tales espinores puros determinan estructuras casi complejas generalizadas. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Dada una estructura casi compleja generalizada, también se puede determinar un espinor puro hasta la multiplicación por una función compleja arbitraria . Estas elecciones de espinores puros se definen como las secciones del fibrado canónico.

Integrabilidad y otras estructuras

Si un espinor puro que determina una estructura compleja particular es cerrado , o más generalmente si su derivada exterior es igual a la acción de una matriz gamma sobre sí misma, entonces la estructura casi compleja es integrable y por lo tanto tales espinores puros corresponden a estructuras complejas generalizadas.

Si además se impone que el fibrado canónico es holomorfamente trivial, lo que significa que son secciones globales las que son formas cerradas, entonces se define una estructura de Calabi-Yau generalizada y se dice que M es una variedad de Calabi-Yau generalizada .

Clasificación local

Paquete canónico

Localmente, todos los espinores puros pueden escribirse en la misma forma, dependiendo de un entero k , la 2-forma del cuerpo B B , una forma simpléctica no degenerada ω y una forma k Ω. En una vecindad local de cualquier punto, un espinor puro Φ que genera el fibrado canónico siempre puede ponerse en la forma

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

donde Ω es descomponible como el producto de cuña de formas uno.

Punto regular

Definimos el subfibrado E del fibrado tangente complejizado como la proyección del subfibrado holomorfo L de a En la definición de una estructura casi compleja generalizada hemos impuesto que la intersección de L y su conjugado contiene solo el origen, de lo contrario no podrían abarcar la totalidad de Sin embargo, la intersección de sus proyecciones no necesita ser trivial. En general, esta intersección es de la forma ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

para algún subfibrado Δ. Un punto que tiene un entorno abierto en el que la dimensión de las fibras de Δ es constante se dice que es un punto regular .

Teorema de Darboux

Cada punto regular en una variedad compleja generalizada tiene un vecindario abierto que, después de un difeomorfismo y desplazamiento del cuerpo B, tiene la misma estructura compleja generalizada que el producto cartesiano del espacio vectorial complejo y el espacio simpléctico estándar con la forma simpléctica estándar, que es la suma directa de las matrices dos por dos fuera de la diagonal con entradas 1 y −1. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$

Holomorfismo local

Cerca de puntos no regulares, el teorema de clasificación anterior no se aplica. Sin embargo, alrededor de cualquier punto, una variedad compleja generalizada es, salvo difeomorfismo y cuerpo B, un producto de una variedad simpléctica con una variedad compleja generalizada que es de tipo complejo en el punto, de forma muy similar al teorema de Weinstein para la estructura local de las variedades de Poisson . La pregunta restante sobre la estructura local es: ¿cómo se ve una estructura compleja generalizada cerca de un punto de tipo complejo? De hecho, será inducida por una estructura de Poisson holomorfa .

Ejemplos

Variedades complejas

El espacio de formas diferenciales complejas tiene una operación de conjugación compleja dada por conjugación compleja en Esto permite definir formas-uno holomorfas y antiholomorfas y formas-( m , n ), que son polinomios homogéneos en estas formas-uno con m factores holomorfas y n factores antiholomorfas. En particular, todas las formas-( n ,0) están relacionadas localmente por multiplicación por una función compleja y por lo tanto forman un fibrado lineal complejo. ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Las formas ( n , 0) son espinores puros, ya que son aniquiladas por vectores tangentes antiholomorfos y por formas unidimensionales holomorfas. Por lo tanto, este fibrado lineal se puede utilizar como fibrado canónico para definir una estructura compleja generalizada. Restringiendo el aniquilador de al fibrado tangente complejizado se obtiene el subespacio de campos vectoriales antiholomorfos. Por lo tanto, esta estructura compleja generalizada en define una estructura compleja ordinaria en el fibrado tangente. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Como sólo la mitad de una base de campos vectoriales es holomorfa, estas estructuras complejas son de tipo N. De hecho, las variedades complejas y las variedades obtenidas al multiplicar el fibrado de espinores puro que define una variedad compleja por una forma compleja, -cerrada (2,0), son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo N. ${\displaystyle \partial }$

Variedades simplécticas

El fibrado espinorial puro generado por

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

Para una forma bidimensional no degenerada , ω define una estructura simpléctica en el espacio tangente. Por lo tanto, las variedades simplécticas también son variedades complejas generalizadas.

El espinor puro anterior está definido globalmente, por lo que el fibrado canónico es trivial. Esto significa que las variedades simplécticas no son sólo variedades complejas generalizadas, sino que, de hecho, son variedades de Calabi-Yau generalizadas.

El espinor puro está relacionado con un espinor puro que es simplemente un número por un desplazamiento imaginario del campo B, que es un desplazamiento de la forma de Kähler . Por lo tanto, estas estructuras complejas generalizadas son del mismo tipo que las correspondientes a un espinor puro escalar . Un escalar es aniquilado por todo el espacio tangente, y por lo tanto estas estructuras son de tipo 0 . ${\displaystyle \phi }$

Hasta un desplazamiento del campo B, que corresponde a multiplicar el espinor puro por el exponencial de una 2-forma real cerrada, las variedades simplécticas son las únicas variedades complejas generalizadas de tipo 0. Las variedades que son simplécticas hasta un desplazamiento del campo B a veces se denominan B-simplécticas .

Relación con las estructuras G

Algunas de las estructuras casi en la geometría compleja generalizada pueden reformularse en el lenguaje de las estructuras G. La palabra "casi" se elimina si la estructura es integrable.

El fibrado con el producto interno anterior es una estructura O(2 n , 2 n ) . Una estructura casi compleja generalizada es una reducción de esta estructura a una estructura U( n , n ) . Por lo tanto, el espacio de estructuras complejas generalizadas es la clase lateral. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

Una estructura casi de Kähler generalizada es un par de estructuras complejas generalizadas conmutativas tales que menos el producto de los tensores correspondientes es una métrica definida positiva en Las estructuras de Kähler generalizadas son reducciones del grupo de estructuras a Las variedades de Kähler generalizadas, y sus contrapartes retorcidas, son equivalentes a las variedades bihermíticas descubiertas por Sylvester James Gates , Chris Hull y Martin Roček en el contexto de las teorías cuánticas de campos supersimétricas bidimensionales en 1984. ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle U(n)\times U(n).}$

Finalmente, una estructura métrica casi generalizada de Calabi-Yau es una reducción adicional del grupo de estructura a ${\displaystyle SU(n)\times SU(n).}$

Métrica de Calabi versus Calabi-Yau

Obsérvese que una estructura métrica de Calabi generalizada, introducida por Marco Gualtieri, es una condición más fuerte que una estructura métrica de Calabi-Yau generalizada, introducida por Nigel Hitchin . En particular, una estructura métrica de Calabi-Yau generalizada implica la existencia de dos estructuras casi complejas generalizadas conmutativas.

Referencias

• Hitchin, Nigel (2003). "Variedades de Calabi-Yau generalizadas". Quarterly Journal of Mathematics . 54 (3): 281–308. doi :10.1093/qmath/hag025.
• Gualtieri, Marco (2004). Geometría compleja generalizada (Tesis doctoral). arXiv : math.DG/0401221 .
• Gualtieri, Marco (2011). "Geometría compleja generalizada". Anales de Matemáticas . (2). 174 (1): 75–123. arXiv : 0911.0993 . doi : 10.4007/annals.2011.174.1.3 .
• Graña, Mariana (2006). "Compactificaciones de flujo en teoría de cuerdas: una revisión exhaustiva". Phys. Rep . 423 (3): 91–158. arXiv : hep-th/0509003 . doi :10.1016/j.physrep.2005.10.008. S2CID  119508517.
• Dijkgraaf, Robbert ; Gukov, Sergei ; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). "Teoría M topológica como unificación de las teorías de la forma de la gravedad". Avances en física teórica y matemática . 9 (4): 603–665. arXiv : hep-th/0411073 . doi : 10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5 .