Geometría conforme

Estudio de transformaciones que preservan el ángulo de un espacio geométrico

En matemáticas , la geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones que preservan los ángulos ( conformes ) en un espacio.

En un espacio bidimensional real, la geometría conforme es precisamente la geometría de las superficies de Riemann . En espacios superiores a dos dimensiones, la geometría conforme puede referirse tanto al estudio de las transformaciones conformes de los llamados "espacios planos" (como los espacios euclidianos o las esferas ), como al estudio de las variedades conformes que son variedades riemannianas o pseudoriemannianas con una clase de métricas que se definen a escala. El estudio de las estructuras planas se denomina a veces geometría de Möbius y es un tipo de geometría de Klein .

Variedades conformes

Una variedad conforme es una variedad pseudoriemanniana equipada con una clase de equivalencia de tensores métricos , en la que dos métricas g y h son equivalentes si y solo si

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

donde λ es una función suave de valor real definida en la variedad y se denomina factor conforme . Una clase de equivalencia de tales métricas se conoce como métrica conforme o clase conforme . Por lo tanto, una métrica conforme puede considerarse como una métrica que solo se define "a escala". A menudo, las métricas conformes se tratan seleccionando una métrica en la clase conforme y aplicando solo construcciones "invariantes conformes" a la métrica elegida.

Una métrica conforme es conformemente plana si hay una métrica que la representa que es plana, en el sentido usual de que el tensor de curvatura de Riemann se desvanece. Puede que solo sea posible encontrar una métrica en la clase conforme que sea plana en un entorno abierto de cada punto. Cuando es necesario distinguir estos casos, el último se llama localmente conformemente plana , aunque a menudo en la literatura no se mantiene ninguna distinción. La n -esfera es una variedad localmente conformemente plana que no es globalmente conformemente plana en este sentido, mientras que un espacio euclidiano, un toro o cualquier variedad conforme que esté cubierta por un subconjunto abierto del espacio euclidiano es (globalmente) conformemente plana en este sentido. Una variedad localmente conformemente plana es localmente conforme a una geometría de Möbius , lo que significa que existe un ángulo que preserva el difeomorfismo local de la variedad en una geometría de Möbius. En dos dimensiones, cada métrica conforme es localmente conformemente plana. En la dimensión n > 3, una métrica conforme es localmente conformemente plana si y solo si su tensor de Weyl se desvanece; en la dimensión n = 3 , si y solo si el tensor de Cotton se desvanece.

La geometría conforme tiene una serie de características que la distinguen de la geometría (pseudo)riemanniana. La primera es que, aunque en la geometría (pseudo)riemanniana se tiene una métrica bien definida en cada punto, en la geometría conforme sólo se tiene una clase de métricas. Así, la longitud de un vector tangente no se puede definir, pero sí el ángulo entre dos vectores. Otra característica es que no hay conexión de Levi-Civita porque si g y λ ² g son dos representantes de la estructura conforme, entonces los símbolos de Christoffel de g y λ ² g no coincidirían. Los asociados con λ ² g implicarían derivadas de la función λ, mientras que los asociados con g no.

A pesar de estas diferencias, la geometría conforme sigue siendo manejable. La conexión de Levi-Civita y el tensor de curvatura , aunque solo se definen una vez que se ha señalado un representante particular de la estructura conforme, satisfacen ciertas leyes de transformación que involucran a λ y sus derivadas cuando se elige un representante diferente. En particular, (en dimensión mayor que 3) el tensor de Weyl resulta no depender de λ , y por lo tanto es un invariante conforme . Además, aunque no hay una conexión de Levi-Civita en una variedad conforme, se puede trabajar con una conexión conforme , que se puede manejar como un tipo de conexión de Cartan modelada en la geometría de Möbius asociada, o como una conexión de Weyl . Esto permite definir la curvatura conforme y otros invariantes de la estructura conforme.

Geometría de Möbius

La geometría de Möbius es el estudio de un « espacio euclidiano con un punto añadido en el infinito», o un « espacio de Minkowski (o pseudo-euclidiano) con un cono nulo añadido en el infinito». Es decir, la configuración es una compactificación de un espacio familiar; la geometría se ocupa de las implicaciones de preservar los ángulos.

En un nivel abstracto, los espacios euclidianos y pseudoeuclidianos pueden manejarse de manera muy similar, excepto en el caso de la dimensión dos. El plano de Minkowski bidimensional compactificado exhibe una simetría conforme extensa . Formalmente, su grupo de transformaciones conformes es de dimensión infinita. Por el contrario, el grupo de transformaciones conformes del plano euclidiano compactificado es solo de dimensión hexadecimal.

Dos dimensiones

Avión de Minkowski

El grupo conforme para la forma cuadrática de Minkowski q ( x , y ) = 2 xy en el plano es el grupo de Lie abeliano

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

con álgebra de Lie cso (1, 1) que consta de todas las matrices diagonales reales de 2 × 2 .

Consideremos ahora el avión Minkowski, equipado con el sistema métrico. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Un grupo de transformaciones conformes de un parámetro da lugar a un campo vectorial X con la propiedad de que la derivada de Lie de g a lo largo de X es proporcional a g . Simbólicamente,

L _X g = λg   para algún λ .

En particular, utilizando la descripción anterior del álgebra de Lie cso (1, 1) , esto implica que

1. L _X   dx = a ( x ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

para algunas funciones de valor real a y b que dependen, respectivamente, de x e y .

Por el contrario, dado cualquier par de funciones de valor real, existe un campo vectorial X que satisface 1 y 2. Por lo tanto, el álgebra de Lie de simetrías infinitesimales de la estructura conforme, el álgebra de Witt , es de dimensión infinita .

La compactificación conforme del plano de Minkowski es un producto cartesiano de dos círculos S ¹ × S ¹ . En la cubierta universal , no hay ningún obstáculo para integrar las simetrías infinitesimales, por lo que el grupo de transformaciones conformes es el grupo de Lie de dimensión infinita.

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

donde Diff( S ¹ ) es el grupo de difeomorfismos del círculo. ^[1]

El grupo conforme CSO(1, 1) y su álgebra de Lie son de interés actual en la teoría de campos conforme bidimensional .

Espacio euclidiano

Una cuadrícula de coordenadas antes de una transformación de Möbius

La misma cuadrícula después de una transformación de Möbius

El grupo de simetrías conformes de la forma cuadrática

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

es el grupo GL ₁ ( C ) = C ^× , el grupo multiplicativo de los números complejos. Su álgebra de Lie es gl ₁ ( C ) = C .

Consideremos el plano complejo (euclidiano) equipado con la métrica

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Las simetrías conformes infinitesimales satisfacen

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

donde f satisface la ecuación de Cauchy-Riemann y, por lo tanto, es holomorfa en su dominio. (Véase Álgebra de Witt ).

Las isometrías conformes de un dominio consisten, por tanto, en automapas holomorfos. En particular, en la compactificación conforme –la esfera de Riemann– las transformaciones conformes vienen dadas por las transformaciones de Möbius.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde ad − bc es distinto de cero.

Dimensiones superiores

En dos dimensiones, el grupo de automorfismos conformes de un espacio puede ser bastante grande (como en el caso de la firma lorentziana) o variable (como en el caso de la firma euclidiana). La relativa falta de rigidez del caso bidimensional con respecto al de dimensiones superiores se debe al hecho analítico de que los desarrollos asintóticos de los automorfismos infinitesimales de la estructura son relativamente libres. En la firma lorentziana, la libertad está en un par de funciones con valores reales. En la firma euclidiana, la libertad está en una única función holomorfa.

En el caso de dimensiones superiores, los desarrollos asintóticos de simetrías infinitesimales son, como máximo, polinomios cuadráticos. ^[2] En particular, forman un álgebra de Lie de dimensión finita . Las simetrías conformes infinitesimales puntuales de una variedad pueden integrarse con precisión cuando la variedad es un cierto modelo de espacio conforme plano ( hasta tomar cobertores universales y cocientes de grupo discretos). ^[3]

La teoría general de la geometría conforme es similar, aunque con algunas diferencias, en los casos de la firma euclidiana y pseudo-euclidiana. ^[4] En cualquier caso, hay varias maneras de introducir el espacio modelo de la geometría conforme plana. A menos que el contexto indique lo contrario, este artículo trata el caso de la geometría conforme euclidiana con el entendimiento de que también se aplica, mutatis mutandis , a la situación pseudo-euclidiana.

El modelo inverso

El modelo inverso de la geometría conforme consiste en el grupo de transformaciones locales en el espacio euclidiano E ⁿ generado por inversión en esferas. Por el teorema de Liouville , cualquier transformación local (conforme) que preserve los ángulos es de esta forma. ^[5] Desde esta perspectiva, las propiedades de transformación del espacio conforme plano son las de la geometría inversa .

El modelo proyectivo

El modelo proyectivo identifica la esfera conforme con una determinada cuadrática en un espacio proyectivo . Sea q la forma cuadrática lorentziana en R ^{n +2} definida por

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

En el espacio proyectivo P ( R ^{n +2} ), sea S el lugar geométrico de q = 0 . Entonces S es el modelo proyectivo (o de Möbius) de la geometría conforme. Una transformación conforme en S es una transformación lineal proyectiva de P ( R ^{n +2} ) que deja la cuadrática invariante.

En una construcción relacionada, la cuádrica S se considera como la esfera celeste en el infinito del cono nulo en el espacio de Minkowski R ^{n +1,1} , que está equipado con la forma cuadrática q como se indicó anteriormente. El cono nulo se define por

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Este es el cono afín sobre la cuádrica proyectiva S . Sea N ⁺ la parte futura del cono nulo (con el origen eliminado). Entonces la proyección tautológica R ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} ) se restringe a una proyección N ⁺ → S . Esto le da a N ⁺ la estructura de un fibrado lineal sobre S . Las transformaciones conformes en S son inducidas por las transformaciones de Lorentz ortócronas de R ^{n +1,1} , ya que estas son transformaciones lineales homogéneas que preservan el futuro cono nulo.

La esfera euclidiana

Intuitivamente, la geometría conforme plana de una esfera es menos rígida que la geometría riemanniana de una esfera. Las simetrías conformes de una esfera se generan por la inversión en todas sus hiperesferas . Por otro lado, las isometrías riemannianas de una esfera se generan por inversiones en hiperesferas geodésicas (véase el teorema de Cartan-Dieudonné ). La esfera euclidiana se puede mapear a la esfera conforme de manera canónica, pero no viceversa.

La esfera unitaria euclidiana es el lugar geométrico en R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Esto se puede mapear al espacio de Minkowski R ^{n +1,1} dejando

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Se ve fácilmente que la imagen de la esfera bajo esta transformación es nula en el espacio de Minkowski, y por lo tanto se encuentra sobre el cono N ⁺ . En consecuencia, determina una sección transversal del fibrado lineal N ⁺ → S.

Sin embargo, hubo una elección arbitraria. Si κ ( x ) es cualquier función positiva de x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , entonces la asignación

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

También da una función en N ⁺ . La función κ es una elección arbitraria de escala conforme .

Métricas representativas

Una métrica riemanniana representativa de la esfera es una métrica que es proporcional a la métrica esférica estándar. Esto da una realización de la esfera como una variedad conforme. La métrica esférica estándar es la restricción de la métrica euclidiana en R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

A la esfera

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Un representante conforme de g es una métrica de la forma λ ² g , donde λ es una función positiva en la esfera. La clase conforme de g , denotada [ g ], es la colección de todos esos representantes:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Una incrustación de la esfera euclidiana en N ⁺ , como en la sección anterior, determina una escala conforme en S. A la inversa, cualquier escala conforme en S está dada por dicha incrustación. Así, el fibrado lineal N ⁺ → S se identifica con el fibrado de escalas conformes en S : dar una sección de este fibrado equivale a especificar una métrica en la clase conforme [ g ].

Modelo métrico ambiental

Otra forma de obtener las métricas representativas es mediante un sistema de coordenadas especial en R ^{n +1, 1} . Supongamos que la n -esfera euclidiana S lleva un sistema de coordenadas estereográficas . Este consiste en la siguiente función de R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

En términos de estas coordenadas estereográficas, es posible dar un sistema de coordenadas en el cono nulo N ⁺ en el espacio de Minkowski. Utilizando la incrustación dada anteriormente, la sección métrica representativa del cono nulo es

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Introduzca una nueva variable t correspondiente a dilataciones hasta N ⁺ , de modo que el cono nulo esté coordinado por

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Finalmente, sea ρ la siguiente función definitoria de N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

En las coordenadas t , ρ , y en R ^{n +1,1} , la métrica de Minkowski toma la forma:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

donde g _ij es la métrica de la esfera.

En estos términos, una sección del fibrado N ⁺ consiste en una especificación del valor de la variable t = t ( y ⁱ ) en función de la y ⁱ a lo largo del cono nulo ρ = 0 . Esto produce el siguiente representante de la métrica conforme en S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

El modelo kleiniano

Consideremos primero el caso de la geometría conforme plana en la firma euclidiana. El modelo n -dimensional es la esfera celeste del espacio lorentziano ( n + 2) -dimensional R ^{n +1,1} . Aquí el modelo es una geometría de Klein : un espacio homogéneo G / H donde G = SO( n + 1, 1) actuando sobre el espacio lorentziano ( n + 2) -dimensional R ^{n +1,1} y H es el grupo de isotropía de un rayo nulo fijo en el cono de luz . Por lo tanto, los modelos conformemente planos son los espacios de geometría inversa . Para pseudo-euclidiano de firma métrica ( p , q ) , la geometría plana del modelo se define análogamente como el espacio homogéneo O( p + 1, q + 1)/ H , donde H se toma nuevamente como el estabilizador de una línea nula. Nótese que tanto el espacio del modelo euclidiano como el pseudo-euclidiano son compactos .

Las álgebras de Lie conformes

Para describir los grupos y álgebras involucradas en el espacio modelo plano, fije la siguiente forma en R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

donde J es una forma cuadrática de la signatura ( p , q ) . Entonces G = O( p + 1, q + 1) consta de matrices ( n + 2) × ( n + 2) que estabilizan Q  : ^t MQM = Q . El álgebra de Lie admite una descomposición de Cartan

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Alternativamente, esta descomposición concuerda con una estructura de álgebra de Lie natural definida en R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

El estabilizador del rayo nulo que apunta hacia el último vector de coordenadas está dado por la subálgebra de Borel.

h = g0 _⊕ g1 .​_​

Véase también

• Álgebra geométrica conforme
• Gravedad conforme
• Ecuación de Killing conforme
• Programa de Erlangen
• Plano de Möbius

Notas

1. Paul Ginsparg (1989), Teoría de campos conforme aplicada . arXiv : hep-th/9108028. Publicado en Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Campos, cuerdas y fenómenos críticos (Les Houches), ed. por E. Brézin y J. Zinn-Justin, Elsevier Science Publishers BV
2. Kobayashi (1972).
3. Debido a un teorema general de Sternberg (1962).
4. Eslovaco (1993).
5. SA Stepanov (2001) [1994], "Teoremas de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press. G. Monge (1850). " Extensión au case des trois dimensions de la question du tracé géographique, Nota VI (por J. Liouville)". Aplicación del análisis de geometría. Bachiller, París. págs. 609–615..

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Grupos de transformación en geometría diferencial (Primera edición). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Jan (1993). Operadores invariantes en variedades conformes. Apuntes de investigación, Universidad de Viena (tesis doctoral).
• Sternberg, Shlomo (1983). Lecciones sobre geometría diferencial . Nueva York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.

Enlaces externos

• GV Bushmanova (2001) [1994], "Geometría conforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm