La gravedad conforme se refiere a las teorías de gravedad que son invariantes bajo transformaciones conformes en el sentido de la geometría de Riemann ; más precisamente, son invariantes bajo las transformaciones de Weyl, donde es el tensor métrico y es una función del espacio-tiempo .
La teoría más simple en esta categoría tiene el cuadrado del tensor de Weyl como el Lagrangiano.
donde es el tensor de Weyl. Esto debe contrastarse con la acción habitual de Einstein-Hilbert donde el lagrangiano es simplemente el escalar de Ricci . La ecuación de movimiento al variar la métrica se llama tensor de Bach .
donde es el tensor de Ricci . Las métricas planas conformes son soluciones de esta ecuación.
Como estas teorías conducen a ecuaciones de cuarto orden para las fluctuaciones en torno a un fondo fijo, no son manifiestamente unitarias. Por lo tanto, se ha creído en general que no se las podía cuantificar de manera consistente. Esto es algo que ahora se discute. [1]
La gravedad conforme es un ejemplo de una teoría de 4 derivadas . Esto significa que cada término de la ecuación de onda puede contener hasta cuatro derivadas. Las teorías de 4 derivadas tienen ventajas y desventajas. Las ventajas son que la versión cuantificada de la teoría es más convergente y renormalizable . Las desventajas son que puede haber problemas con la causalidad . Un ejemplo más simple de una ecuación de onda de 4 derivadas es la ecuación de onda escalar de 4 derivadas:
La solución para esto en un campo de fuerza central es:
Los dos primeros términos son los mismos que en una ecuación de onda normal. Debido a que esta ecuación es una aproximación más simple a la gravedad conforme, m corresponde a la masa de la fuente central. Los dos últimos términos son exclusivos de las ecuaciones de onda de 4 derivadas. Se ha sugerido que se les asignen valores pequeños para tener en cuenta la constante de aceleración galáctica (también conocida como materia oscura ) y la constante de energía oscura . [2] La solución equivalente a la solución de Schwarzschild en relatividad general para una fuente esférica para gravedad conforme tiene una métrica con:
Para mostrar la diferencia entre la relatividad general, 6bc es muy pequeño, por lo que se puede ignorar. El problema es que ahora c es la masa-energía total de la fuente, y b es la integral de la densidad, multiplicada por la distancia a la fuente, al cuadrado. Por lo tanto, se trata de un potencial completamente diferente de la relatividad general y no solo una pequeña modificación.
El problema principal con las teorías de gravedad conforme, así como con cualquier teoría con derivadas superiores, es la presencia típica de fantasmas , que apuntan a inestabilidades de la versión cuántica de la teoría, aunque podría haber una solución al problema de los fantasmas. [3]
Un enfoque alternativo es considerar la constante gravitacional como un campo escalar de simetría rota , en cuyo caso se consideraría una pequeña corrección a la gravedad newtoniana como esta (donde consideramos que hay una pequeña corrección):
En cuyo caso la solución general es la misma que el caso newtoniano excepto que puede haber un término adicional:
donde hay un componente adicional que varía sinusoidalmente en el espacio. La longitud de onda de esta variación podría ser bastante grande, como el ancho atómico. Por lo tanto, parece haber varios potenciales estables alrededor de una fuerza gravitacional en este modelo.
Al añadir un término gravitacional adecuado a la acción del Modelo Estándar en el espacio-tiempo curvo , la teoría desarrolla una invariancia conforme local (Weyl). El indicador conforme se fija eligiendo una escala de masa de referencia basada en la constante gravitacional. Este enfoque genera las masas de los bosones vectoriales y los campos de materia de manera similar al mecanismo de Higgs sin la ruptura de simetría espontánea tradicional. [4]
