Esfera de colina

Región en la que un cuerpo astronómico domina la atracción de satélites

En vista seccional/lateral, una representación bidimensional del concepto tridimensional de la esfera de Hill, que aquí muestra el "pozo de gravedad" de la Tierra (potencial gravitacional de la Tierra, línea azul), lo mismo para la Luna (línea roja) y su potencial combinado (línea negra gruesa). El punto P es el punto libre de fuerzas, donde las fuerzas gravitacionales de la Tierra y la Luna se cancelan. Los tamaños de la Tierra y la Luna están en proporción, pero las distancias y las energías no están a escala.

La esfera de Hill es un modelo común para el cálculo de una esfera de influencia gravitacional . Es el modelo más comúnmente utilizado para calcular la extensión espacial de la influencia gravitacional de un cuerpo astronómico ( m ) en el que domina sobre la influencia gravitacional de otros cuerpos, particularmente un primario ( M ). ^[1] Se confunde en ocasiones con otros modelos de influencia gravitacional, como la esfera de Laplace ^[1] o se la denomina esfera de Roche , provocando confusión esta última con el límite de Roche . ^{[2] [3]} Fue definido por el astrónomo estadounidense George William Hill , basándose en el trabajo del astrónomo francés Édouard Roche . ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Para ser retenido por un objeto astrofísico con mayor atracción gravitacional (un planeta por una estrella más masiva, una luna por un planeta más masivo), el cuerpo menos masivo debe tener una órbita que se encuentre dentro del potencial gravitacional representado por la esfera de Hill del cuerpo más masivo. ^{[ no verificado en el cuerpo ]} Esa luna, a su vez, tendría una esfera Hill propia, y cualquier objeto dentro de esa distancia tendería a convertirse en un satélite de la luna, en lugar de del planeta mismo. ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Un gráfico de contorno del potencial gravitacional efectivo de un sistema de dos cuerpos, aquí, el Sol y la Tierra, que indica los cinco puntos de Lagrange . ^{[ se necesita aclaración ] [ se necesita cita ]}

Una visión sencilla de la extensión del Sistema Solar es que está limitado por la esfera Hill del Sol (generada por la interacción del Sol con el núcleo galáctico u otras estrellas más masivas). ^{[4] [ se necesita verificación ]} Un ejemplo más complejo es el de la derecha, la esfera Hill de la Tierra, que se extiende entre los puntos de Lagrange L 1 y L 2 , ^{[ se necesita aclaración ]} que se encuentran a lo largo de la línea de centros de la Tierra y el Sol más masivo. ^{[ no verificado en el cuerpo ]} La influencia gravitacional del cuerpo menos masivo es menor en esa dirección, por lo que actúa como factor limitante para el tamaño de la esfera de Hill; ^{[ se necesita aclaración ]} más allá de esa distancia, un tercer objeto en órbita alrededor de la Tierra pasaría al menos parte de su órbita fuera de la esfera de Hill, y sería progresivamente perturbado por las fuerzas de marea del cuerpo más masivo, el Sol, y eventualmente terminaría orbitando este último. ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Para dos cuerpos masivos con potenciales gravitacionales y cualquier energía dada de un tercer objeto de masa insignificante que interactúa con ellos, se puede definir una superficie de velocidad cero en el espacio que no se puede atravesar, el contorno de la integral de Jacobi . ^{[ no verificado en el cuerpo ]} Cuando la energía del objeto es baja, la superficie de velocidad cero rodea completamente el cuerpo menos masivo (de este sistema restringido de tres cuerpos ), lo que significa que el tercer objeto no puede escapar; a mayor energía, habrá uno o más espacios o cuellos de botella por los cuales el tercer objeto podrá escapar del cuerpo menos masivo y entrar en órbita alrededor del más masivo. ^{[ no verificado en el cuerpo ]} Si la energía está en el límite entre estos dos casos, entonces el tercer objeto no puede escapar, pero la superficie de velocidad cero que lo confina toca una superficie más grande de velocidad cero alrededor del cuerpo menos masivo ^{[ verificación necesaria ]} en uno de los puntos de Lagrange cercanos, formando allí un punto en forma de cono. ^{[ aclaración necesaria ] [ no verificado en el cuerpo ]} En el lado opuesto del cuerpo menos masivo, la superficie de velocidad cero se acerca al otro punto de Lagrange. ^{[ no verificado en el cuerpo ]} Esta superficie limitante de velocidad cero alrededor del cuerpo menos masivo es su "esfera" de Hill. ^{[¿ según quién? ] [ ¿ investigacion original? ]}

Definición

El radio o esfera de Hill (este último definido por el radio anterior ^{[ cita necesaria ]} ) se ha descrito como "la región alrededor de un cuerpo planetario donde su propia gravedad (en comparación con la del Sol u otros cuerpos cercanos) es la fuerza dominante en atraer satélites", tanto naturales como artificiales. ^{[5] [ se necesita una mejor fuente ]}

Como lo describen De Pater y Lissauer, todos los cuerpos dentro de un sistema como el Sistema Solar del Sol "sienten la fuerza gravitacional del otro", y aunque los movimientos de sólo dos cuerpos que interactúan gravitacionalmente (lo que constituye un "problema de dos cuerpos") son "completamente integrable ([es decir]... existe una integral o restricción independiente por grado de libertad)" y, por lo tanto, una solución analítica exacta, las interacciones de tres (o más) de esos cuerpos "no se pueden deducir analíticamente", requiriendo en su lugar soluciones por integración numérica, cuando sea posible. ^{[6] : p.26} Este es el caso, a menos que la masa insignificante de uno de los tres cuerpos permita la aproximación del sistema como un problema de dos cuerpos, conocido formalmente como "problema restringido de tres cuerpos". ^{[6] : pág.26}

Para problemas de dos o tres cuerpos restringidos como sus ejemplos más simples (por ejemplo, un cuerpo astrofísico primario más masivo, masa de m1, y un cuerpo secundario menos masivo, masa de m2), el concepto de radio o esfera de Hill es del tipo límite aproximado de la "dominancia gravitacional" de la masa secundaria, ^[6] un límite definido por "la extensión" de su esfera de Hill, que se representa matemáticamente de la siguiente manera: ^{[6] : p.29  [7]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}}$,

donde, en esta representación, el eje mayor "a" puede entenderse como la "distancia heliocéntrica instantánea" entre las dos masas (abreviada en otros lugares r p ). ^{[6] : pág.29  [7]}

De manera más general, si el cuerpo menos masivo, , orbita alrededor de un cuerpo más masivo (m1, por ejemplo, como un planeta que orbita alrededor del Sol) y tiene un semieje mayor y una excentricidad de , entonces el radio o esfera de Hill, del El cuerpo menos masivo, calculado en el pericentro , es aproximadamente: ^{[8] [ se necesita fuente no primaria ] [ se necesita mejor fuente ]} ${\displaystyle m2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}.}$

Cuando la excentricidad es insignificante (el caso más favorable para la estabilidad orbital), esta expresión se reduce a la presentada anteriormente. ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplo y derivación

Una representación esquemática, sin escala, de las esferas de Hill (como radios 2D) y los límites de Roche de cada cuerpo del sistema Sol-Tierra-Luna. El radio de Hill real para el par Tierra-Luna es del orden de 60.000 km (es decir, se extiende a menos de un sexto de la distancia de los 378.000 km entre la Luna y la Tierra). ^[9]

En el ejemplo Tierra-Sol, la Tierra (5,97 × 10 ²⁴  kg ) orbita alrededor del Sol (1,99 × 10 ³⁰  kg ) a una distancia de 149,6 millones de kilómetros, o una unidad astronómica (UA). La esfera de Hill de la Tierra se extiende así hasta aproximadamente 1,5 millones de kilómetros (0,01 AU). La órbita de la Luna, a una distancia de 0,384 millones de kilómetros de la Tierra, se encuentra cómodamente dentro de la esfera de influencia gravitacional de la Tierra y, por lo tanto, no corre riesgo de ser arrastrada a una órbita independiente alrededor del Sol.

La fórmula anterior para ignorar la excentricidad se puede reformular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m2}{M}}}$, o , ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m2}{M}}}$

donde M es la suma de las masas que interactúan.

Derivación

La expresión del radio de Hill se puede encontrar equiparando las fuerzas gravitacionales y centrífugas que actúan sobre una partícula de prueba (de masa mucho menor que ) que orbita el cuerpo secundario. Suponga que la distancia entre masas y es , y que la partícula de prueba está orbitando a una distancia de la secundaria. Cuando la partícula de prueba está en la línea que conecta el cuerpo primario y el secundario, el equilibrio de fuerzas requiere que ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

donde es la constante gravitacional y es la velocidad angular ( kepleriana ) del secundario respecto del primario (suponiendo que ). La ecuación anterior también se puede escribir como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$ ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

que, mediante una expansión binomial al orden principal en , puede escribirse como ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

Por lo tanto, la relación mencionada anteriormente

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Si la órbita del secundario respecto del primario es elíptica, el radio de Hill es máximo en el apocentro , donde es mayor, y mínimo en el pericentro de la órbita. Por lo tanto, para fines de estabilidad de las partículas de prueba (por ejemplo, de satélites pequeños), es necesario considerar el radio de Hill a la distancia del pericentro. ${\displaystyle r}$

En orden principal , el radio de Hill de arriba también representa la distancia del punto lagrangiano L ₁ desde el secundario. ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

Regiones de estabilidad

La esfera de Hill es sólo una aproximación, y otras fuerzas (como la presión de radiación o el efecto Yarkovsky ) pueden eventualmente perturbar un objeto fuera de la esfera. ^{[ cita necesaria ]} Como se indicó, el satélite (tercera masa) debe ser lo suficientemente pequeño como para que su gravedad contribuya de manera insignificante. ^{[6] : p.26 y siguientes}

Cálculos numéricos detallados muestran que las órbitas en la esfera de Hill o justo dentro de ella no son estables a largo plazo; Parece que existen órbitas estables de satélites sólo dentro de 1/2 a 1/3 del radio de Hill. ^{[ cita necesaria ]}

La región de estabilidad de las órbitas retrógradas a gran distancia de la primaria es mayor que la región de las órbitas progradas a gran distancia de la primaria. Se pensaba que esto explicaba la preponderancia de lunas retrógradas alrededor de Júpiter; sin embargo, Saturno tiene una combinación más uniforme de lunas retrógradas y progradas, por lo que las razones son más complicadas. ^[10]

Más ejemplos

Es posible que una esfera de Hill sea tan pequeña que sea imposible mantener una órbita alrededor de un cuerpo. Por ejemplo, un astronauta no podría haber orbitado el transbordador espacial de 104 toneladas a una órbita de 300 km sobre la Tierra, porque un objeto de 104 toneladas a esa altitud tiene una esfera Hill de sólo 120 cm de radio, mucho más pequeña que un transbordador espacial. Una esfera de este tamaño y masa sería más densa que el plomo y, de hecho, en la órbita terrestre baja , un cuerpo esférico debe ser más denso que el plomo para caber dentro de su propia esfera de Hill, o de lo contrario será incapaz de soportar una órbita. . Sin embargo, los satélites más alejados en órbita geoestacionaria solo necesitarían tener más del 6% de la densidad del agua para caber dentro de su propia esfera Hill. ^{[ cita necesaria ]}

Dentro del Sistema Solar , el planeta con mayor radio de Hill es Neptuno , con 116 millones de km, o 0,775 au; su gran distancia del Sol compensa ampliamente su pequeña masa en relación con Júpiter (cuyo radio de Hill mide 53 millones de kilómetros). Un asteroide del cinturón de asteroides tendrá una esfera de Hill que puede alcanzar los 220.000 km (por 1 Ceres ), disminuyendo rápidamente al disminuir su masa. La esfera Hill de 66391 Moshup , un asteroide que cruza Mercurio y que tiene una luna (llamada Squannit), mide 22 km de radio. ^[11]

Un típico " Júpiter caliente " extrasolar , HD 209458 b , ^[12] tiene un radio de esfera Hill de 593.000 km, aproximadamente ocho veces su radio físico de aproximadamente 71.000 km. Incluso el planeta extrasolar cercano más pequeño, CoRoT-7b , ^[13] todavía tiene un radio de esfera de Hill (61.000 km), seis veces su radio físico (aproximadamente 10.000 km). Por tanto, estos planetas podrían tener pequeñas lunas cercanas, aunque no dentro de sus respectivos límites de Roche . ^{[ cita necesaria ]}

Esferas de colinas para el sistema solar.

La siguiente tabla y gráfico logarítmico muestran el radio de las esferas de Hill de algunos cuerpos del Sistema Solar calculado con la primera fórmula indicada anteriormente (incluida la excentricidad orbital), utilizando valores obtenidos de las efemérides del JPL DE405 y del sitio web de Exploración del Sistema Solar de la NASA. ^[14]

Gráfico logarítmico de los radios de Hill para los cuerpos del sistema solar.

Ver también

• Red de transporte interplanetario
• problema n -cuerpo
• Lóbulo de Roche
• Esfera de influencia (astrodinámica)
• Esfera de influencia (agujero negro)

Notas explicatorias

1. A una distancia promedio, visto desde el Sol. El tamaño angular visto desde la Tierra varía según la proximidad de la Tierra al objeto.

Referencias

1. Souami, D.; Cresson, J.; Biernacki, C.; Pierret, F. (2020). "Sobre las propiedades locales y globales de las esferas de influencia gravitacionales". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 496 (4): 4287–4297. arXiv : 2005.13059 . doi :10.1093/mnras/staa1520.
2. Williams, Matt (30 de diciembre de 2015). "¿Cuántas lunas tiene Mercurio?". Universo hoy . Consultado el 8 de noviembre de 2023 .
3. Hill, Roderick J. (2022). "Despeje gravitacional de las órbitas naturales de los satélites". Publicaciones de la Sociedad Astronómica de Australia . 39 . Prensa de la Universidad de Cambridge. Código Bib : 2022PASA...39....6H. doi :10.1017/pasa.2021.62. ISSN  1323-3580. S2CID  246637375.
4. Chebotarev, GA (marzo de 1965). "Sobre los límites dinámicos del sistema solar". Astronomía soviética . 8 : 787. Código bibliográfico : 1965SvA.....8..787C.
5. Lauretta, Dante y el personal de la misión de devolución de muestras del asteroide Osiris-Rex (2023). "Palabra de la semana: Hill Sphere". Misión de retorno de muestras del asteroide Osiris-Rex (AsteroidMission.org) . Tempe, AZ: Universidad de Arizona . Consultado el 22 de julio de 2023 .
6. de Pater, Imke y Lissauer, Jack (2015). "Dinámica (El problema de los tres cuerpos, perturbaciones y resonancias)". Ciencias Planetarias (2ª ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. págs.26, 28-30, 34. ISBN 9781316195697. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Higuchi1, A. e Ida, S. (abril de 2017). "Captura temporal de asteroides por un planeta excéntrico". La Revista Astronómica . 153 (4). Washington, DC: Sociedad Astronómica Estadounidense: 155. arXiv : 1702.07352 . Código Bib : 2017AJ....153..155H. doi : 10.3847/1538-3881/aa5daa . S2CID  119036212.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
8. Hamilton, DP y Burns, JA (marzo de 1992). "Zonas de estabilidad orbital sobre asteroides: II. Los efectos desestabilizadores de las órbitas excéntricas y de la radiación solar". Ícaro . 96 (1). Nueva York, NY: Academic Press: 43–64. Código Bib : 1992Icar...96...43H. doi : 10.1016/0019-1035(92)90005-R .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Véase también Hamilton, DP y Burns, JA (marzo de 1991). "Zonas de estabilidad orbital sobre asteroides" (PDF) . Ícaro . 92 (1). Nueva York, NY: Academic Press: 118–131. Código Bib : 1991Icar...92..118H. doi : 10.1016/0019-1035(91)90039-V . Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)citado en el mismo.
9. Sigue, Mike (4 de octubre de 2017). "Círculos cada vez menores". NewScientist.com . Consultado el 23 de julio de 2023 . La esfera Hill de la luna tiene un radio de 60.000 kilómetros, aproximadamente una sexta parte de la distancia entre ella y la Tierra.
10. Astajov, Sergey A.; Burbanks, Andrew D.; Wiggins, Stephen y Farrelly, David (2003). "Captura de lunas irregulares asistida por el caos". Naturaleza . 423 (6937): 264–267. Código Bib :2003Natur.423..264A. doi : 10.1038/naturaleza01622. PMID  12748635. S2CID  16382419.
11. Johnston, Robert (20 de octubre de 2019). "(66391) Moshup y Squannit". Archivo de Johnston . Consultado el 30 de marzo de 2017 .
12. "HD 209458b". Enciclopedia de planetas extrasolares . Archivado desde el original el 16 de enero de 2010 . Consultado el 16 de febrero de 2010 .
13. "Planeta CoRoT-7 b". Enciclopedia de planetas extrasolares .
14. "Exploración del sistema solar de la NASA". NASA . Consultado el 22 de diciembre de 2020 .

Otras lecturas

• de Pater, Imke y Lissauer, Jack (2015). "Dinámica (El problema de los tres cuerpos, perturbaciones y resonancias)". Ciencias Planetarias (2ª ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. págs. 28-30, 34. ISBN 9781316195697. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• de Pater, Imke y Lissauer, Jack (2015). "Formación de planetas (Formación de planetas gigantes, satélites de planetas y planetas menores)". Ciencias Planetarias (2ª ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. págs.539, 544. ISBN 9781316195697. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Gurzadyan, Grigor A. (2020). "La esfera de la atracción, la esfera de la acción y la esfera de Hill". Teoría de los vuelos interplanetarios. Boca Ratón, FL: CRC Press. págs. 258–263. ISBN 9781000116717. Consultado el 22 de julio de 2023 .
• Gurzadyan, Grigor A. (2020). "El límite de Roche". Teoría de los vuelos interplanetarios. Boca Ratón, FL: CRC Press. págs. 263 y sigs. ISBN 9781000116717. Consultado el 22 de julio de 2023 .
• Ida, S.; Kokubo, E. y Takeda, T. (2012). "Simulaciones de N-cuerpos de acreción lunar". En Marov, Mikhail Ya. Y Rickman, Hans (ed.). Procesos de Colisión en el Sistema Solar. Biblioteca de Astrofísica y Ciencias Espaciales. vol. 261. Berlín, Alemania: Springer Science & Business Media. págs.206, 209 y sigs. ISBN 9789401007122. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ip, W.-H. & Fernández, JA (2012). "Origen acrecional de los cepillos gigantes y sus consecuencias". En Marov, Mikhail Ya. Y Rickman, Hans (ed.). Procesos de Colisión en el Sistema Solar. Biblioteca de Astrofísica y Ciencias Espaciales. vol. 261. Berlín, Alemania: Springer Science & Business Media. págs. 173 y sigs. ISBN 9789401007122. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Aser, DJ; Bailey, ME y acero (2012). "El papel de las fuerzas no gravitacionales en el desacoplamiento de las órbitas de Júpiter". En Marov, Mikhail Ya. Y Rickman, Hans (ed.). Procesos de Colisión en el Sistema Solar. Biblioteca de Astrofísica y Ciencias Espaciales. vol. 261. Berlín, Alemania: Springer Science & Business Media. pag. 122.ISBN​ 9789401007122. Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• ¿Puede un astronauta orbitar el transbordador espacial?
• La luna que subió una colina, pero bajó un planeta Archivado el 30 de septiembre de 2008 en Wayback Machine.