Superficie de velocidad cero

Constante de Jacobi, una superficie y curva de velocidad cero (también curva de Hill) ^[1]

Una superficie de velocidad cero es un concepto que se relaciona con el problema de la gravedad de N cuerpos . Representa una superficie que un cuerpo de determinada energía no puede cruzar, ya que tendría velocidad cero en la superficie. Fue introducido por primera vez por George William Hill . ^[2] La superficie de velocidad cero es particularmente significativa cuando se trabaja con interacciones gravitacionales débiles entre cuerpos en órbita .

problema de tres cuerpos

Una trayectoria (roja) en el problema circular plano restringido de 3 cuerpos que orbita el cuerpo más pesado varias veces antes de escapar a una órbita alrededor del cuerpo más ligero. Los contornos denotan valores de la integral de Jacobi. Se supone que la región azul oscuro es la región excluida de la trayectoria, rodeada por una superficie de velocidad cero que no se puede cruzar. Sin embargo, esta cifra es incorrecta porque dondequiera que la trayectoria toque la superficie de velocidad cero debe ser perpendicular a ella.

En el problema circular restringido de tres cuerpos, dos masas pesadas orbitan entre sí a una distancia radial y velocidad angular constantes, y una partícula de masa insignificante se ve afectada por su gravedad. Al cambiar a un sistema de coordenadas giratorio donde las masas están estacionarias, se introduce una fuerza centrífuga. La energía y el impulso no se conservan por separado en este sistema de coordenadas, pero la integral de Jacobi permanece constante:

${\displaystyle C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

¿Dónde está la velocidad de rotación, la ubicación de la partícula en el sistema de coordenadas giratorias, las distancias a los cuerpos y sus masas multiplicadas por la constante gravitacional? ^[3] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$

Para un valor dado de , puntos en la superficie ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)}$

exigir eso . Es decir, la partícula no podrá atravesar esta superficie (ya que la velocidad al cuadrado tendría que volverse negativa). Esta es la superficie de velocidad cero del problema. ^[4] ${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=0}$

Tenga en cuenta que esto significa velocidad cero en el sistema giratorio: en un sistema no giratorio, se considera que la partícula gira con los otros cuerpos. La superficie también solo predice en qué regiones no se puede ingresar, no la forma de la trayectoria dentro de la superficie. ^[3]

Generalizaciones

El concepto se puede generalizar a problemas más complejos, por ejemplo con masas en órbitas elípticas, ^[5] el problema general plano de tres cuerpos, ^[6] el problema de cuatro cuerpos con arrastre del viento solar, ^[7] o en anillos. ^[8]

puntos de Lagrange

La superficie de velocidad cero también es un parámetro importante para encontrar puntos de Lagrange . Estos puntos corresponden a ubicaciones donde el potencial aparente en el sistema de coordenadas giratorio es extremo. Esto corresponde a lugares donde las superficies de velocidad cero pellizcan y desarrollan agujeros a medida que cambia. ^[9] Dado que las trayectorias están confinadas por las superficies, una trayectoria que busca escapar (o entrar) en una región con energía mínima normalmente pasará cerca del punto de Lagrange, que se utiliza en la planificación de trayectorias de transferencia de baja energía . ${\displaystyle C}$

Cúmulos de galaxias

Dado un grupo de galaxias que interactúan gravitacionalmente, la superficie de velocidad cero se utiliza para determinar qué objetos están unidos gravitacionalmente (es decir, no superados por la expansión de Hubble ) y, por lo tanto, forman parte de un cúmulo de galaxias , como el grupo local . ^[10]

Ver también

• Esfera de colina
• Transferencia de baja energía
• Mecánica orbital

Referencias

1. Szebehely, VG (1963). "Curvas y órbitas de velocidad cero en el problema restringido de tres cuerpos". Revista Astronómica . 68 : 147 . Consultado el 11 de noviembre de 2023 .
2. Colina, GW (1878). "Investigaciones en la teoría lunar". Soy. J. Matemáticas . 1 (5): 5–26. doi :10.2307/2369430. JSTOR  2369430.
3. Junkins, John L .; Schaub, Hanspeter (2000). "Problema restringido de tres cuerpos". Mecánica analítica de sistemas aeroespaciales .
4. "Superficies de velocidad cero". farside.ph.utexas.edu .
5. Szenkovits, ZMF; Csillik, I. (2004). "Representación polinómica de las superficies de velocidad cero en el problema de tres cuerpos restringido a la elíptica espacial". Matemática Pura y Aplicación . 15 (2–3): 323–322.
6. Bozis, G. (1976). "Superficies de velocidad cero para el problema general plano de tres cuerpos". Astrofísica y Ciencias Espaciales . 43 (2): 355–368. doi :10.1007/BF00640013. S2CID  124131665.
7. Kumari, R.; Kushvah, BS (2013). "Puntos de equilibrio y superficies de velocidad cero en el problema restringido de cuatro cuerpos con arrastre del viento solar". Astrofísica y Ciencias Espaciales . 344 (2): 347–359. arXiv : 1212.2368 . doi :10.1007/s10509-012-1340-y. S2CID  254265370.
8. Kalvoridis, TJ (2001). "Superficies de velocidad cero en el problema de los anillos tridimensionales de N + 1 cuerpos". Mecánica celeste y astronomía dinámica . 80 (2): 133-144. doi :10.1023/A:1011919508410. S2CID  122886855.
9. "Puntos pseudopotenciales y de Lagrange CRTBP". LagrangePointsPub.m . 13 de octubre de 2013.
10. "Las galaxias y el universo: grupos y cúmulos de galaxias". páginas.astronomy.ua.edu .