Bekenstein obligado

Límite superior de entropía en física

Según la cota de Bekenstein, la entropía de un agujero negro es proporcional al número de áreas de Planck que se necesitarían para cubrir el horizonte de sucesos del agujero negro .

En física , el límite de Bekenstein (llamado así por Jacob Bekenstein ) es un límite superior de la entropía termodinámica S , o entropía de Shannon H , que puede estar contenida dentro de una región finita dada del espacio que tiene una cantidad finita de energía, o por el contrario, la Cantidad máxima de información requerida para describir perfectamente un sistema físico dado hasta el nivel cuántico. ^[1] Implica que la información de un sistema físico, o la información necesaria para describir perfectamente ese sistema, debe ser finita si la región del espacio y la energía son finitas. En informática, esto implica que los modelos no finitos, como las máquinas de Turing, no son realizables como dispositivos finitos.

Ecuaciones

La forma universal de la cota fue encontrada originalmente por Jacob Bekenstein en 1981 como la desigualdad ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$$

Sentropíakconstante de BoltzmannRradioesferaE es la masa-energíamasas en reposoħconstante de Planck reducidacvelocidad. de luzconstante gravitacional Gla teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo

La entropía del límite Bekenstein-Hawking de los agujeros negros tridimensionales satura exactamente el límite. El radio de Schwarzschild está dado por

$${\displaystyle r_{\rm {s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$$

$${\displaystyle A=4\pi r_{\rm {s}}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$$

longitud de Planck

$${\displaystyle l_{\rm {P}}^{2}=\hbar G/c^{3},}$$

$${\displaystyle S={\frac {kA}{4\ l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}}.}$$

Una interpretación del límite hace uso de la fórmula microcanónica de la entropía,

$${\displaystyle S=k\log \Omega ,}$$

estados propiosespacio de Hilbert^{[4] [5]} ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=\exp \left({\frac {2\pi RE}{\hbar c}}\right).}$$

El límite está estrechamente asociado con la termodinámica de los agujeros negros , el principio holográfico y el límite de entropía covariante de la gravedad cuántica, y puede derivarse de una forma fuerte conjeturada de este último. ^[4]

Orígenes

Bekenstein derivó el límite a partir de argumentos heurísticos que involucran agujeros negros . Si existe un sistema que viola el límite, es decir, que tiene demasiada entropía, Bekenstein argumentó que sería posible violar la segunda ley de la termodinámica sumergiéndolo en un agujero negro. En 1995, Ted Jacobson demostró que las ecuaciones de campo de Einstein (es decir, la relatividad general ) pueden derivarse suponiendo que el límite de Bekenstein y las leyes de la termodinámica son verdaderas. ^{[6] [7]} Sin embargo, si bien se idearon una serie de argumentos que muestran que debe existir alguna forma de límite para que las leyes de la termodinámica y la relatividad general sean mutuamente consistentes, la formulación precisa del límite era una cuestión de debate hasta el trabajo de Casini en 2008. ^{[2] [3] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]}

La siguiente es una derivación heurística que muestra alguna constante . Demostrar eso requiere un análisis más técnico. ${\displaystyle S\leq K{\frac {kRE}{\hbar c}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=2\pi }$

Supongamos que tenemos un agujero negro de masa , entonces el radio de Schwarzschild del agujero negro es y la entropía de Bekenstein-Hawking del agujero negro es . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R_{bh}\sim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle \sim {\frac {kc^{3}R_{bh}^{2}}{\hbar G}}\sim {\frac {kGM^{2}}{\hbar c}}}$

Ahora tome una caja de energía , entropía y longitud de lado . Si arrojamos la caja al agujero negro, la masa del agujero negro aumenta a y la entropía aumenta a . Como la entropía no disminuye, . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M+{\frac {E}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}\gtrsim S}$

Para que la caja encaje dentro del agujero negro, . Si los dos son comparables, entonces hemos obtenido el límite de BH: . ${\displaystyle R\lesssim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle R\sim {\frac {GM}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle S\lesssim {\frac {kRE}{\hbar c}}}$

Prueba en la teoría cuántica de campos.

Casini demostró en 2008 la vinculación de Bekenstein en el marco de la teoría cuántica de campos . ^[17] Una de las ideas cruciales de la prueba fue encontrar una interpretación adecuada de las cantidades que aparecen en ambos lados del límite.

Las definiciones ingenuas de entropía y densidad de energía en la teoría cuántica de campos sufren de divergencias ultravioleta . En el caso del límite de Bekenstein, las divergencias ultravioleta se pueden evitar tomando diferencias entre cantidades calculadas en un estado excitado y las mismas cantidades calculadas en el estado de vacío . Por ejemplo, dada una región espacial , Casini define la entropía en el lado izquierdo del límite de Bekenstein como ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$$

entropía de Von Neumannmatriz de densidad reducida ${\displaystyle S(\rho _{V})}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho _{V}^{0})}$ ${\displaystyle \rho ^{0}}$

En el lado derecho del límite de Bekenstein, un punto difícil es dar una interpretación rigurosa de la cantidad , donde es una escala de longitud característica del sistema y es una energía característica. Este producto tiene las mismas unidades que el generador de un impulso de Lorentz , y el análogo natural de un impulso en esta situación es el hamiltoniano modular del estado de vacío . Casini define el lado derecho del límite de Bekenstein como la diferencia entre el valor esperado del hamiltoniano modular en el estado excitado y el estado de vacío, ${\displaystyle 2\pi RE}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K=-\log \rho _{V}^{0}}$

$${\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).}$$

Con estas definiciones, el encuadernado dice

$${\displaystyle S_{V}\leq K_{V},}$$

$${\displaystyle \mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.}$$

Esta es simplemente la afirmación de la positividad de la entropía relativa cuántica , que demuestra el límite de Bekenstein.

Sin embargo, el hamiltoniano modular sólo puede interpretarse como una forma ponderada de energía para teorías de campos conformes , y cuando V es una esfera.

Esta construcción nos permite entender el efecto Casimir ^[4] donde la densidad de energía localizada es menor que la del vacío, es decir, una energía localizada negativa . La entropía localizada del vacío es distinta de cero, por lo que el efecto Casimir es posible para estados con una entropía localizada menor que la del vacío. La radiación de Hawking se puede explicar arrojando energía negativa localizada en un agujero negro.

Ver también

• Teorema de Margolus-Levitin
• principio de landauer
• El límite de Bremermann
• Complejidad de Kolmogorov
• Más allá de los agujeros negros
• Física digital
• Límites de cálculo
• Límite de Chandrasekhar

Referencias

1. Bekenstein, Jacob D. (1981). "Límite superior universal de la relación entropía-energía para sistemas acotados" (PDF) . Revisión física D. 23 (2): 287–298. Código bibliográfico : 1981PhRvD..23..287B. doi : 10.1103/PhysRevD.23.287. S2CID  120643289.
2. Bekenstein, Jacob D. (2005). "¿Cómo funciona el límite de entropía/información?". Fundamentos de la Física . 35 (11): 1805–1823. arXiv : quant-ph/0404042 . Código bibliográfico : 2005FoPh...35.1805B. doi :10.1007/s10701-005-7350-7. S2CID  118942877.
3. Bekenstein, Jacob (2008). "Bekenstein obligado". Scholarpedia . 3 (10): 7374. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.7374B. doi : 10.4249/scholarpedia.7374 .
4. Bousso, Rafael (12 de febrero de 2004). "Estados vinculados y Bekenstein vinculados". Revista de Física de Altas Energías . 2004 (2): 025. arXiv : hep-th/0310148 . Código Bib : 2004JHEP...02..025B. doi :10.1088/1126-6708/2004/02/025. ISSN  1029-8479. S2CID  17662307.
5. 't Hooft, G. (19 de octubre de 1993). "Reducción dimensional de la gravedad cuántica". arXiv : gr-qc/9310026 .
6. Jacobson, Ted (1995). "Termodinámica del espacio-tiempo: la ecuación de estado de Einstein" (PDF) . Cartas de revisión física . 75 (7): 1260-1263. arXiv : gr-qc/9504004 . Código bibliográfico : 1995PhRvL..75.1260J. CiteSeerX 10.1.1.54.6675 . doi :10.1103/PhysRevLett.75.1260. PMID  10060248. S2CID  13223728. Archivado desde el original (PDF) el 1 de octubre de 2011 . Consultado el 23 de mayo de 2010 . 
7. Lee Smolin , Three Roads to Quantum Gravity (Nueva York, NY: Basic Books , 2002), págs. 173 y 175, ISBN 0-465-07836-2 , LCCN  2007-310371. 
8. Bousso, Rafael (1999). "Holografía en el espacio-tiempo general". Revista de Física de Altas Energías . 1999 (6): 028. arXiv : hep-th/9906022 . Código Bib : 1999JHEP...06..028B. doi :10.1088/1126-6708/1999/06/028. S2CID  119518763.
9. Bousso, Rafael (1999). "Una conjetura de entropía covariante". Revista de Física de Altas Energías . 1999 (7): 004. arXiv : hep-th/9905177 . Código Bib : 1999JHEP...07..004B. doi :10.1088/1126-6708/1999/07/004. S2CID  9545752.
10. Bousso, Rafael (2000). "El principio holográfico para fondos generales". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5): 997–1005. arXiv : hep-th/9911002 . Código Bib : 2000CQGra..17..997B. doi :10.1088/0264-9381/17/5/309. S2CID  14741276.
11. Bekenstein, Jacob D. (2000). "Límite holográfico de la segunda ley de la termodinámica". Letras de Física B. 481 (2–4): 339–345. arXiv : hep-th/0003058 . Código Bib : 2000PhLB..481..339B. doi :10.1016/S0370-2693(00)00450-0. S2CID  119427264.
12. Bousso, Rafael (2002). «El principio holográfico» (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 74 (3): 825–874. arXiv : hep-th/0203101 . Código Bib : 2002RvMP...74..825B. doi :10.1103/RevModPhys.74.825. S2CID  55096624. Archivado desde el original (PDF) el 12 de agosto de 2011 . Consultado el 23 de mayo de 2010 .
13. Jacob D. Bekenstein, "Información en el universo holográfico: resultados teóricos sobre los agujeros negros sugieren que el universo podría ser como un holograma gigantesco", Scientific American , vol. 289, núm. 2 (agosto de 2003), págs. 58-65. Enlace espejo.
14. Bousso, Rafael; Flanagan, Éanna É.; Marolf, Donald (2003). "Condiciones suficientes simples para el límite de entropía covariante generalizada". Revisión física D. 68 (6): 064001. arXiv : hep-th/0305149 . Código bibliográfico : 2003PhRvD..68f4001B. doi : 10.1103/PhysRevD.68.064001. S2CID  119049155.
15. Bekenstein, Jacob D. (2004). "Agujeros negros y teoría de la información". Física Contemporánea . 45 (1): 31–43. arXiv : quant-ph/0311049 . Código Bib : 2004ConPh..45...31B. doi :10.1080/00107510310001632523. S2CID  118970250.
16. Tipler, FJ (2005). «La estructura del mundo a partir de números puros» (PDF) . Informes sobre los avances en física . 68 (4): 897–964. arXiv : 0704.3276 . Código Bib : 2005RPPh...68..897T. doi :10.1088/0034-4885/68/4/R04. S2CID  119620977.. Tipler ofrece una serie de argumentos para sostener que la formulación original de la cota de Bekenstein es la forma correcta. Véase en particular el párrafo que comienza con "Algunos puntos..." en la pág. 903 del Rep. Prog. Física. artículo (o página 9 de la versión arXiv ), y las discusiones sobre el límite de Bekenstein que siguen a lo largo del artículo.
17. Casini, Horacio (2008). "Entropía relativa y el límite de Bekenstein". Gravedad clásica y cuántica . 25 (20): 205021. arXiv : 0804.2182 . Código Bib : 2008CQGra..25t5021C. doi :10.1088/0264-9381/25/20/205021. S2CID  14456556.

enlaces externos

• Jacob D. Bekenstein, "Entropía de Bekenstein-Hawking", Scholarpedia , vol. 3, núm. 10 (2008), pág. 7375, doi : 10.4249/scholarpedia.7375.
• Sitio web de Jacob D. Bekenstein en el Instituto de Física Racah de la Universidad Hebrea de Jerusalén , que contiene varios artículos sobre la encuadernación de Bekenstein.
• O'Dowd, Matt (12 de septiembre de 2018). "¿Cuánta información hay en el universo?". PBS Espacio Tiempo . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021, a través de YouTube .