Límite de velocidad cuántica

Limitación del tiempo mínimo para que un sistema cuántico evolucione entre dos estados

En mecánica cuántica , un límite de velocidad cuántica ( QSL ) es una limitación en el tiempo mínimo para que un sistema cuántico evolucione entre dos estados distinguibles (ortogonales). ^[1] Los teoremas de QSL están estrechamente relacionados con las relaciones de incertidumbre tiempo-energía. En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre tiempo-energía que limita la velocidad de la evolución en términos de dispersión de energía. ^[2] Más de medio siglo después, Norman Margolus y Lev Levitin demostraron que la velocidad de la evolución no puede exceder la energía media, ^[3] un resultado conocido como teorema de Margolus-Levitin. Los sistemas físicos realistas en contacto con un entorno se conocen como sistemas cuánticos abiertos y su evolución también está sujeta a QSL. ^{[4] [5]} Sorprendentemente, se demostró que los efectos ambientales, como la dinámica no markoviana, pueden acelerar los procesos cuánticos, ^[6] lo cual se verificó en un experimento QED en cavidades. ^[7]

QSL se ha utilizado para explorar los límites de la computación ^{[8] [9]} y la complejidad. En 2017, se estudiaron las QSL en un oscilador cuántico a alta temperatura. ^[10] En 2018, se demostró que las QSL no están restringidas al dominio cuántico y que se aplican límites similares en los sistemas clásicos. ^{[11] [12]} En 2021, los límites QSL de Mandelstam-Tamm y Margolus-Levitin se probaron simultáneamente en un solo experimento ^[13] que indicó que hay "dos regímenes diferentes: uno en el que el límite de Mandelstam-Tamm limita la evolución en todo momento, y un segundo donde se produce un cruce al límite de Margolus-Levitin en tiempos más largos".

Definiciones preliminares

Los teoremas del límite de velocidad se pueden enunciar para estados puros y para estados mixtos ; toman una forma más simple para los estados puros. Un estado puro arbitrario se puede escribir como una combinación lineal de estados propios de energía:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|E_{n}\rangle .}$

La tarea es proporcionar un límite inferior para el intervalo de tiempo requerido para que el estado inicial evolucione a un estado ortogonal a . La evolución temporal de un estado puro viene dada por la ecuación de Schrödinger : ${\displaystyle t_{\perp }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .}$

La ortogonalidad se obtiene cuando

${\displaystyle \langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle =0}$

y el intervalo de tiempo mínimo requerido para lograr esta condición se denomina intervalo de ortogonalización ^[2] o tiempo de ortogonalización. ^[14] ${\displaystyle t=t_{\perp }}$

Límite de Mandelstam-Tamm

Para los estados puros, el teorema de Mandelstam-Tamm establece que el tiempo mínimo requerido para que un estado evolucione a un estado ortogonal está acotado a continuación: ${\displaystyle t_{\perp }}$

${\displaystyle t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}}$,

dónde

${\displaystyle (\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}}$,

es la varianza de la energía del sistema y es el operador hamiltoniano . La evolución cuántica es independiente del hamiltoniano particular utilizado para transportar el sistema cuántico a lo largo de una curva dada en el espacio proyectivo de Hilbert ; la distancia a lo largo de esta curva se mide mediante la métrica de Fubini-Study . ^[15] Esto a veces se llama ángulo cuántico , ya que puede entenderse como los arcocos del producto interno de los estados inicial y final. ${\displaystyle H}$

Para estados mixtos

El límite de Mandelstam-Tamm también se puede establecer para estados mixtos y para hamiltonianos que varían en el tiempo. En este caso, se debe emplear la métrica de Bures en lugar de la métrica de Fubini-Study. Un estado mixto puede entenderse como una suma de estados puros, ponderados por probabilidades clásicas ; Asimismo, la métrica de Bures es una suma ponderada de la métrica de Fubini-Study. Para una matriz hamiltoniana y de densidad variable en el tiempo, la varianza de la energía viene dada por ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle \rho _{t},}$

${\displaystyle \sigma _{H}^{2}(t)=|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t}^{2})|-|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|^{2}}$

El límite de Mandelstam-Tamm toma entonces la forma

${\displaystyle \int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}$,

¿Dónde está la distancia de Bures entre los estados inicial y final? La distancia de Bures es geodésica , dando la distancia más corta posible de cualquier curva continua que conecte dos puntos, entendiéndose como una longitud de camino infinitesimal a lo largo de una curva parametrizada por. De manera equivalente, el tiempo necesario para evolucionar de a está acotado como ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle \sigma _{H}(t)}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')}$

dónde

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{H}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}$

es la incertidumbre promediada en el tiempo en energía. Para un estado puro que evoluciona bajo un hamiltoniano variable en el tiempo, el tiempo necesario para evolucionar de un estado puro a otro estado puro ortogonal a él está acotado como ^[16] ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}{\frac {\pi }{2}}}$

Esto se deduce que, en cuanto a un estado puro, se tiene la matriz de densidad. El ángulo cuántico (distancia de Fubini-Estudio) es entonces y por lo tanto se concluye cuando los estados inicial y final son ortogonales. ${\displaystyle \rho _{t}=|\psi _{t}\rangle \langle \psi _{t}|.}$ ${\displaystyle D_{B}(\rho _{0},\rho _{t})=\arccos |\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle |}$ ${\displaystyle D_{B}=\arccos 0=\pi /2}$

Límite de Margolus-Levitin

Para el caso de estado puro, Margolus y Levitin ^[3] obtienen un límite diferente, que

${\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},}$

¿Dónde está la energía promedio? ${\displaystyle \langle E\rangle }$

$${\displaystyle \langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.}$$

Para estados que varían en el tiempo

El teorema de Margolus-Levitin también se puede generalizar al caso en el que el hamiltoniano varía con el tiempo y el sistema se describe mediante un estado mixto . ^[16] De esta forma, viene dado por

${\displaystyle \int _{0}^{\tau }|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}$

con el estado fundamental definido de modo que tenga energía cero en todo momento.

Esto proporciona un resultado para estados que varían en el tiempo. Aunque también proporciona un límite para estados mixtos, el límite (para estados mixtos) puede ser tan impreciso que no resulte informativo. ^[17] El teorema de Margolus-Levitin aún no se ha establecido en sistemas cuánticos dependientes del tiempo, cuyos hamiltonianos están controlados por parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, excepto en el caso adiabático. ^[18] ${\displaystyle H_{t}}$

Límite de Levitin-Toffoli

Un resultado de 2009 de Lev B. Levitin y Tommaso Toffoli afirma que el límite preciso del teorema de Mandelstam-Tamm se alcanza sólo para un estado de qubit . ^[14] Este es un estado de dos niveles en una superposición igual

${\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)}$

para estados propios de energía y . Los estados y son únicos hasta la degeneración del nivel de energía y un factor de fase arbitrario . Este resultado es claro, ya que este estado también satisface el límite de Margolus-Levitin, en ese y así. Este resultado establece que los límites combinados son estrictos: ${\displaystyle E_{0}=0}$ ${\displaystyle E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t}$ ${\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle E_{\text{avg}}=\delta E}$ ${\displaystyle t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.}$

${\displaystyle t_{\perp }\geq \max \left({\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}\;,\;{\frac {\pi \hbar }{2\,E_{\text{avg}}}}\right)}$

Levitin y Toffoli también proporcionan un límite para la energía media en términos de máxima. Para cualquier estado puro, la energía promedio está limitada como ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ,}$

${\displaystyle {\frac {E_{\text{max}}}{4}}\leq E_{\text{avg}}\leq {\frac {E_{\text{max}}}{2}}}$

¿Dónde está el valor propio de energía máxima que aparece en (Este es el teorema de la esfera pellizcada en un cuarto disfrazado, transportado al espacio proyectivo complejo ?) Por lo tanto, uno tiene el límite ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle .}$

${\displaystyle {\frac {\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}\leq t_{\perp }\leq {\frac {2\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}}$

El límite inferior estricto se alcanza nuevamente para el estado de qubit con . ${\displaystyle E_{\text{max}}t_{\perp }=\pi \hbar }$ ${\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle }$ ${\displaystyle E_{\text{max}}=E_{1}}$

El límite de Bremermann

Los límites del límite de velocidad cuántica establecen un límite superior en el que se puede realizar el cálculo . La maquinaria computacional está construida a partir de materia física que sigue la mecánica cuántica, y cada operación, para que sea inequívoca, debe ser una transición del sistema de un estado a un estado ortogonal. Supongamos que la maquinaria informática es un sistema físico que evoluciona según el hamiltoniano y que no cambia con el tiempo. Entonces, según el teorema de Margolus-Levitin, el número de operaciones por unidad de tiempo por unidad de energía está acotado arriba por

${\displaystyle {\frac {2}{\hbar \pi }}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}}$

Esto establece un límite superior estricto en la cantidad de cálculos que pueden realizarse con materia física. La velocidad de procesamiento de todas las formas de cálculo no puede ser superior a aproximadamente 6 × 10 ³³ operaciones por segundo por julio de energía. Esto incluye las computadoras "clásicas", ya que incluso las computadoras clásicas todavía están hechas de materia que sigue la mecánica cuántica. ^{[19] [20]}

Este límite no es simplemente un límite fantasioso: tiene ramificaciones prácticas para la criptografía resistente a los cuánticos . Imaginando una computadora funcionando a este límite, una búsqueda por fuerza bruta para descifrar una clave de cifrado de 128 bits requiere sólo recursos modestos. La fuerza bruta de una clave de 256 bits requiere computadoras a escala planetaria, mientras que una búsqueda de fuerza bruta de claves de 512 bits es efectivamente inalcanzable durante la vida del universo, incluso si se aplicaran al problema computadoras de tamaño galáctico.

El límite de Bekenstein limita la cantidad de información que se puede almacenar dentro de un volumen de espacio. La tasa máxima de cambio de información dentro de ese volumen de espacio está dada por el límite de velocidad cuántica. Este producto de límites a veces se denomina límite de Bremermann-Bekenstein ; está saturado por la radiación de Hawking . ^[1] Es decir, la radiación de Hawking se emite a la velocidad máxima permitida establecida por estos límites.

Referencias

1. Deffner, S.; Campbell, S. (10 de octubre de 2017). "Límites de velocidad cuántica: del principio de incertidumbre de Heisenberg al control cuántico óptimo". J. Física. R: Matemáticas. Teor. 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Código Bib : 2017JPhA...50S3001D. doi :10.1088/1751-8121/aa86c6. S2CID  3477317.
2. Mandelshtam, LI; Tamm, IE (1945). "La relación de incertidumbre entre energía y tiempo en la mecánica cuántica no relativista". J. Física. (URSS) . 9 : 249–254.Reimpreso como Mandelstam, L.; Tamm, Ig. (1991). "La relación de incertidumbre entre energía y tiempo en la mecánica cuántica no relativista". En Bolotovskii, Boris M.; Frenkel, Víctor Ya.; Peierls, Rudolf (eds.). Artículos seleccionados. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 115-123. doi :10.1007/978-3-642-74626-0_8. ISBN 978-3-642-74628-4. Consultado el 6 de abril de 2024 .
3. Margolus, normando; Levitin, Lev B. (septiembre de 1998). "La máxima velocidad de evolución dinámica". Physica D: Fenómenos no lineales . 120 (1–2): 188–195. arXiv : quant-ph/9710043 . Código bibliográfico : 1998PhyD..120..188M. doi :10.1016/S0167-2789(98)00054-2. S2CID  468290.
4. Taddei, MM; Escher, BM; Davidovich, L.; de Matos Filho, RL (30 de enero de 2013). "Límite de velocidad cuántica para procesos físicos". Cartas de revisión física . 110 (5): 050402. arXiv : 1209.0362 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.110e0402T. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050402. PMID  23414007. S2CID  38373815.
5. del Campo, A.; Egusquiza, Illinois; Plenio, MB; Huelga, SF (30 de enero de 2013). "Límites de velocidad cuántica en la dinámica de sistemas abiertos". Cartas de revisión física . 110 (5): 050403. arXiv : 1209.1737 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.110e0403D. doi :10.1103/PhysRevLett.110.050403. PMID  23414008. S2CID  8362503.
6. Deffner, S.; Lutz, E. (3 de julio de 2013). "Límite de velocidad cuántica para dinámicas no markovianas". Cartas de revisión física . 111 (1): 010402. arXiv : 1302.5069 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111a0402D. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.010402. PMID  23862985. S2CID  36711861.
7. Cimmarusti, ANUNCIO; Yan, Z.; Patterson, BD; Corcos, LP; Orozco, Luisiana; Deffner, S. (11 de junio de 2015). "Aceleración de la evolución del campo asistida por el medio ambiente en electrodinámica cuántica de cavidades". Cartas de revisión física . 114 (23): 233602. arXiv : 1503.02591 . Código Bib : 2015PhRvL.114w3602C. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.233602. PMID  26196802. S2CID  14904633.
8. Lloyd, Seth (31 de agosto de 2000). "Últimos límites físicos de la computación". Naturaleza . 406 (6799): 1047–1054. arXiv : quant-ph/9908043 . Código Bib : 2000Natur.406.1047L. doi :10.1038/35023282. ISSN  1476-4687. PMID  10984064. S2CID  75923.
9. Lloyd, Seth (24 de mayo de 2002). "Capacidad computacional del Universo". Cartas de revisión física . 88 (23): 237901. arXiv : quant-ph/0110141 . Código bibliográfico : 2002PhRvL..88w7901L. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.237901. PMID  12059399. S2CID  6341263.
10. Deffner, S. (20 de octubre de 2017). "Límites de velocidad cuántica geométrica: un caso para el espacio de fase de Wigner". Nueva Revista de Física . 19 (10): 103018. arXiv : 1704.03357 . Código Bib : 2017NJPh...19j3018D. doi : 10.1088/1367-2630/aa83dc . hdl : 11603/19409 .
11. Shanahan, B.; Chenú, A.; Margolus, N.; del Campo, A. (12 de febrero de 2018). "Límites de velocidad cuántica durante la transición cuántica a clásica". Cartas de revisión física . 120 (7): 070401. arXiv : 1710.07335 . Código Bib : 2018PhRvL.120g0401S. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070401 . PMID  29542956.
12. Okuyama, Manaka; Ohzeki, Masayuki (12 de febrero de 2018). "El límite de velocidad cuántica no es cuántico". Cartas de revisión física . 120 (7): 070402. arXiv : 1710.03498 . Código Bib : 2018PhRvL.120g0402O. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070402. PMID  29542975. S2CID  4027745.
13. Ness, chica; Lam, Manolo R.; Alt, Wolfgang; Meschede, Dieter; Sagi, Yoav; Alberti, Andrea (22 de diciembre de 2021). "Observación del cruce entre límites de velocidad cuántica". Avances científicos . 7 (52): eabj9119. doi : 10.1126/sciadv.abj9119 . PMC 8694601 . PMID  34936463. 
14. Lev B. Levitin; Tommaso Toffoli (2009), "Límite fundamental de la velocidad de la dinámica cuántica: el límite unificado es estrecho", Physical Review Letters , 103 (16): 160502, arXiv : 0905.3417 , Bibcode : 2009PhRvL.103p0502L, doi : 10.1103/PhysRevLett. 103.160502, ISSN  0031-9007, PMID  19905679, S2CID  36320152
15. Aharonov, Yakir; Anandan, Jeeva (1990). "Geometría de la evolución cuántica". Cartas de revisión física . 65 (14): 1697-1700. Código bibliográfico : 1990PhRvL..65.1697A. doi : 10.1103/PhysRevLett.65.1697. PMID  10042340.
16. Deffner, Sebastián; Lutz, Eric (23 de agosto de 2013). "Relación de incertidumbre energía-tiempo para sistemas cuánticos impulsados". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 46 (33): 335302. arXiv : 1104.5104 . Código Bib : 2013JPhA...46G5302D. doi :10.1088/1751-8113/46/33/335302. hdl :11603/19394. ISSN  1751-8113. S2CID  119313370.
17. Marvian, Imán; Spekkens, Robert W .; Zanardi, Paolo (24 de mayo de 2016). "Límites de velocidad cuántica, coherencia y asimetría". Revisión física A. 93 (5): 052331. arXiv : 1510.06474 . Código Bib : 2016PhRvA..93e2331M. doi : 10.1103/PhysRevA.93.052331. ISSN  2469-9926.
18. Okuyama, Manaka; Ohzeki, Masayuki (2018). "Comentario sobre 'Relación de incertidumbre energía-tiempo para sistemas cuánticos impulsados'". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 51 (31): 318001. arXiv : 1802.00995 . Código Bib : 2018JPhA...51E8001O. doi :10.1088/1751-8121/aacb90. ISSN  1751-8113.
19. Bremermann, HJ (1962) Optimización a través de la evolución y la recombinación En: Self-Organizing Systems 1962, editado por MC Yovits et al., Spartan Books, Washington, DC, págs. 93-106.
20. Bremermann, HJ (1965) Información y ruido cuántico. Quinto Simposio de Berkeley sobre Estadística Matemática y Probabilidad; Univ. de California Press, Berkeley, California.

Otras lecturas

• Jordania, Stephen P. (2017). "Computación cuántica rápida con energía arbitrariamente baja". Revisión física A. 95 (3): 032305. arXiv : 1701.01175 . Código Bib : 2017PhRvA..95c2305J. doi : 10.1103/PhysRevA.95.032305. S2CID  118953874.
• Sinitsyn, Nikolai A. (2018). "¿Existe un límite cuántico para la velocidad de cálculo?". Letras de Física A. 382 (7): 477–481. arXiv : 1701.05550 . Código bibliográfico : 2018PhLA..382..477S. doi :10.1016/j.physleta.2017.12.042. S2CID  55887738.