Coordenadas isotérmicas

En matemáticas , específicamente en geometría diferencial , las coordenadas isotérmicas en una variedad de Riemann son coordenadas locales donde la métrica es conforme a la métrica euclidiana . Esto significa que en coordenadas isotérmicas, la métrica de Riemann localmente tiene la forma

${\displaystyle g=\varphi (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),}$

donde es una función suave positiva . (Si la variedad de Riemann está orientada, algunos autores insisten en que un sistema de coordenadas debe estar de acuerdo con esa orientación para ser isotérmico). ${\displaystyle \varphi }$

Las coordenadas isotérmicas en superficies fueron introducidas por primera vez por Gauss . Korn y Lichtenstein demostraron que existen coordenadas isotérmicas alrededor de cualquier punto en una variedad de Riemann bidimensional.

Por el contrario, la mayoría de las variedades de dimensiones superiores no admiten coordenadas isotérmicas en ninguna parte; es decir, no suelen ser localmente conformemente planas . En dimensión 3, una métrica de Riemann es localmente conformemente plana si y solo si su tensor de Cotton se anula. En dimensiones > 3, una métrica es localmente conformemente plana si y solo si su tensor de Weyl se anula.

Coordenadas isotérmicas en superficies

En 1822, Carl Friedrich Gauss demostró la existencia de coordenadas isotérmicas en una superficie arbitraria con una métrica riemanniana de análisis real , siguiendo resultados anteriores de Joseph Lagrange en el caso especial de superficies de revolución . ^[1] La construcción utilizada por Gauss hizo uso del teorema de Cauchy-Kowalevski , de modo que su método está fundamentalmente restringido al contexto de análisis real. ^{[2] Siguiendo las innovaciones en la teoría de} ecuaciones diferenciales parciales bidimensionales de Arthur Korn , Leon Lichtenstein encontró en 1916 la existencia general de coordenadas isotérmicas para métricas riemannianas de menor regularidad, incluidas las métricas suaves e incluso las métricas continuas de Hölder . ^[3]

Dada una métrica de Riemann en una variedad bidimensional, la función de transición entre los gráficos de coordenadas isotérmicas, que es un mapa entre subconjuntos abiertos de R ² , es necesariamente preservadora de ángulos. La propiedad de preservación de ángulos junto con la preservación de la orientación es una caracterización (entre muchas) de las funciones holomorfas , y por lo tanto un atlas de coordenadas orientadas que consiste en gráficos de coordenadas isotérmicas puede verse como un atlas de coordenadas holomorfas. Esto demuestra que una métrica de Riemann y una orientación en una variedad bidimensional se combinan para inducir la estructura de una superficie de Riemann (es decir, una variedad compleja unidimensional ). Además, dada una superficie orientada, dos métricas de Riemann inducen el mismo atlas holomorfas si y solo si son conformes entre sí. Por esta razón, el estudio de las superficies de Riemann es idéntico al estudio de las clases conformes de métricas de Riemann en superficies orientadas.

En la década de 1950, las exposiciones de las ideas de Korn y Lichtenstein fueron puestas en el lenguaje de las derivadas complejas y la ecuación de Beltrami por Lipman Bers y Shiing-shen Chern , entre otros. ^[4] En este contexto, es natural investigar la existencia de soluciones generalizadas, que satisfacen las ecuaciones diferenciales parciales relevantes pero que ya no son interpretables como gráficos de coordenadas de la manera habitual. Esto fue iniciado por Charles Morrey en su artículo seminal de 1938 sobre la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en dominios bidimensionales, que condujo más tarde al teorema de mapeo de Riemann medible de Lars Ahlfors y Bers. ^[5]

Ecuación de Beltrami

La existencia de coordenadas isotérmicas se puede demostrar ^[6] aplicando teoremas de existencia conocidos para la ecuación de Beltrami , que se basan en estimaciones de L ^{p para} operadores integrales singulares de Calderón y Zygmund . ^{[7] [8]} Adrien Douady ha dado un enfoque más simple a la ecuación de Beltrami más recientemente . ^[9]

Si la métrica de Riemann se da localmente como

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

Luego, en la coordenada compleja , toma la forma ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

donde y son suaves con y . De hecho ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}$

${\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.}$

En coordenadas isotérmicas la métrica debe tomar la forma ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}$

con ρ suave. La coordenada compleja satisface ${\displaystyle w=u+iv}$

${\displaystyle e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}$

de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas si se cumple la ecuación de Beltrami

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

tiene una solución difeomórfica. Se ha demostrado que dicha solución existe en cualquier entorno donde . ${\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}$

Existencia vía solubilidad local para ecuaciones diferenciales parciales elípticas

La existencia de coordenadas isotérmicas en una variedad riemanniana bidimensional lisa es un corolario del resultado de solubilidad local estándar en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . En el presente contexto, la ecuación elíptica relevante es la condición para que una función sea armónica en relación con la métrica riemanniana. La solubilidad local establece entonces que cualquier punto p tiene un entorno U en el que hay una función armónica u con derivada que no se anula en ningún punto. ^[10]

Las coordenadas isotérmicas se construyen a partir de dicha función de la siguiente manera. ^[11] La armonicidad de u es idéntica a la cerrazón de la 1-forma diferencial definida utilizando el operador de estrella de Hodge asociado a la métrica de Riemann. El lema de Poincaré implica, por tanto, la existencia de una función v en U con Por definición de la estrella de Hodge, y son ortogonales entre sí y, por tanto, linealmente independientes, y se sigue entonces del teorema de la función inversa que u y v forman un sistema de coordenadas en alguna vecindad de p . Este sistema de coordenadas es automáticamente isotérmico, ya que la ortogonalidad de y implica la diagonalidad de la métrica, y la propiedad de preservación de la norma de la estrella de Hodge implica la igualdad de los dos componentes diagonales. ${\displaystyle \star du,}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle dv=\star du.}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle dv}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle dv}$

Curvatura gaussiana

En las coordenadas isotérmicas , la curvatura gaussiana toma la forma más simple ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).}$

Véase también

• Mapa conforme
• Ecuación de Liouville
• Mapa cuasiconformal

Notas

1. Gauss 1825; Lagrange 1779.
2. Spivak 1999, Teorema 9.18.
3. Korn 1914; Lichtenstein 1916; Spivak 1999, Apéndice 1 al Capítulo 9; Taylor 2000, Proposición 3.9.3.
4. Bers 1958; Chern 1955; Ahlfors 2006, pág. 90.
5. Morrey 1938.
6. Imayoshi y Taniguchi 1992, págs. 20-21
7. Ahlfors 2006, págs. 85-115
8. Imayoshi y Taniguchi 1992, págs. 92-104
9. Douady y Buff 2000
10. Taylor 2011, págs. 440-441; Bers, John y Schechter 1979, págs. 228-230
11. DeTurck y Kazdan 1981

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1952), "Conformidad con respecto a las métricas de Riemann", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI , 206 : 1–22
• Ahlfors, Lars V. (2006). Lectures on quasiconformal mappings ( Conferencias sobre aplicaciones cuasiconformales ). Serie de conferencias universitarias. Vol. 38. Con capítulos complementarios de CJ Earle , I. Kra , M. Shishikura y JH Hubbard (segunda edición de la edición original de 1966). Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/ulect/038. ISBN. 0-8218-3644-7.Señor 2241787  .
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Enlaces externos

• "Coordenadas isotérmicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]