Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales

La interacción física en la física postclásica

Los campos de fuerza estáticos son campos, como los campos eléctricos , magnéticos o gravitacionales simples , que existen sin excitaciones. El método de aproximación más común que utilizan los físicos para los cálculos de dispersión se puede interpretar como fuerzas estáticas que surgen de las interacciones entre dos cuerpos mediadas por partículas virtuales , partículas que existen solo por un corto tiempo determinado por el principio de incertidumbre . ^[1] Las partículas virtuales, también conocidas como portadores de fuerza , son bosones , con diferentes bosones asociados a cada fuerza. ^{[2] : 16–37}

La descripción de las fuerzas estáticas mediante partículas virtuales permite identificar la forma espacial de las fuerzas, como el comportamiento del cuadrado inverso en la ley de gravitación universal de Newton y en la ley de Coulomb . También permite predecir si las fuerzas son atractivas o repulsivas para cuerpos similares.

La formulación de la integral de trayectoria es el lenguaje natural para describir los portadores de fuerza. Este artículo utiliza la formulación de la integral de trayectoria para describir los portadores de fuerza para campos de espín 0, 1 y 2. Los piones , los fotones y los gravitones se incluyen en estas categorías respectivas.

La validez de la imagen de la partícula virtual tiene límites. La formulación de la partícula virtual se deriva de un método conocido como teoría de perturbaciones , que es una aproximación que supone que las interacciones no son demasiado fuertes, y fue pensada para problemas de dispersión, no para estados ligados como los átomos. Para la fuerza fuerte que une a los quarks en nucleones a bajas energías, la teoría de perturbaciones nunca ha demostrado que dé resultados acordes con los experimentos ^[3] , por lo que la validez de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" es cuestionable. De manera similar, para los estados ligados el método falla ^[4] . En estos casos, la interpretación física debe ser reexaminada. Como ejemplo, los cálculos de la estructura atómica en física atómica o de la estructura molecular en química cuántica no podrían repetirse fácilmente, si es que se pueden repetir, utilizando la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas". ^{[ cita requerida ]}

El uso de la imagen de la "partícula mediadora de fuerza" (FMPP) es innecesario en la mecánica cuántica no relativista , y la ley de Coulomb se utiliza tal como se da en la física atómica y la química cuántica para calcular estados ligados y de dispersión. Una teoría cuántica relativista no perturbativa , en la que se conserva la invariancia de Lorentz, se puede lograr evaluando la ley de Coulomb como una interacción de 4 espacios utilizando el vector de posición de 3 espacios de un electrón de referencia que obedece la ecuación de Dirac y la trayectoria cuántica de un segundo electrón que depende solo del tiempo escalado. La trayectoria cuántica de cada electrón en un conjunto se infiere de la corriente de Dirac para cada electrón al establecerla igual a un campo de velocidad por una densidad cuántica, calculando un campo de posición a partir de la integral de tiempo del campo de velocidad y, finalmente, calculando una trayectoria cuántica a partir del valor esperado del campo de posición. Las trayectorias cuánticas dependen, por supuesto, del espín, y la teoría se puede validar comprobando que se cumple el principio de exclusión de Pauli para una colección de fermiones .

Fuerzas clásicas

La fuerza ejercida por una masa sobre otra y la fuerza ejercida por una carga sobre otra son sorprendentemente similares. Ambas se reducen al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Ambas son proporcionales al producto de las propiedades de los cuerpos: la masa en el caso de la gravitación y la carga en el caso de la electrostática.

También tienen una diferencia sorprendente: dos masas se atraen, mientras que dos cargas iguales se repelen.

En ambos casos, los cuerpos parecen actuar entre sí a distancia. El concepto de campo se inventó para mediar la interacción entre los cuerpos, eliminando así la necesidad de acción a distancia . La fuerza gravitatoria está mediada por el campo gravitatorio y la fuerza de Coulomb está mediada por el campo electromagnético .

Fuerza gravitacional

La fuerza gravitacional sobre una masa ejercida por otra masa es donde G es la constante newtoniana de gravitación , r es la distancia entre las masas y es el vector unitario de masa a masa . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {mM}{r^{2}}}\,{\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$

La fuerza también se puede escribir donde es el campo gravitacional descrito por la ecuación de campo, donde es la densidad de masa en cada punto del espacio. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m},}$$ ${\displaystyle \rho _{m}}$

Fuerza de Coulomb

La fuerza electrostática de Coulomb sobre una carga ejercida por una carga es ( unidades SI ) donde es la permitividad del vacío , es la separación de las dos cargas y es un vector unitario en la dirección de carga a carga . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$

La fuerza de Coulomb también se puede escribir en términos de un campo electrostático : donde es la densidad de carga en cada punto del espacio. $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right),}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{q}}{\varepsilon _{0}}};}$$ ${\displaystyle \rho _{q}}$

Intercambio de partículas virtuales

En la teoría de perturbaciones, las fuerzas se generan mediante el intercambio de partículas virtuales . La mecánica del intercambio de partículas virtuales se describe mejor con la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica. Sin embargo, se pueden obtener algunas ideas sin entrar en el mecanismo de las integrales de trayectorias, como por ejemplo por qué las fuerzas gravitacionales y electrostáticas clásicas disminuyen como el cuadrado inverso de la distancia entre los cuerpos.

Formulación de la integral de trayectorias del intercambio de partículas virtuales

Una partícula virtual se crea por una perturbación del estado de vacío y se destruye cuando es absorbida nuevamente por el estado de vacío por otra perturbación. Se supone que las perturbaciones se deben a cuerpos que interactúan con el campo de la partícula virtual.

Amplitud de probabilidad

Usando unidades naturales , , la amplitud de probabilidad para la creación, propagación y destrucción de una partícula virtual se da, en la formulación de la integral de trayectoria por donde es el operador hamiltoniano , es el tiempo transcurrido, es el cambio de energía debido a la perturbación, es el cambio en la acción debido a la perturbación, es el campo de la partícula virtual, la integral es sobre todas las trayectorias, y la acción clásica está dada por donde es la densidad lagrangiana . ${\displaystyle \hbar =c=1}$ $${\displaystyle Z\equiv \langle 0|\exp \left(-i{\hat {H}}T\right)|0\rangle =\exp \left(-iET\right)=\int D\varphi \;\exp \left(i{\mathcal {S}}[\varphi ]\right)\;=\exp \left(iW\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle W=-ET}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\;{{\mathcal {L}}[\varphi (x)]\,}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]}$

Aquí, la métrica del espacio-tiempo viene dada por $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

La integral de trayectoria a menudo se puede convertir a la forma donde es un operador diferencial con y funciones del espacio-tiempo . El primer término del argumento representa la partícula libre y el segundo término representa la perturbación del campo proveniente de una fuente externa como una carga o una masa. $${\displaystyle Z=\int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {O}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle J}$

La integral se puede escribir (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integrales con operadores diferenciales en el argumento ) donde es el cambio en la acción debido a las perturbaciones y el propagador es la solución de $${\displaystyle Z\propto \exp \left(iW\left(J\right)\right)}$$ $${\displaystyle W\left(J\right)=-{\frac {1}{2}}\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J\left(x\right)D\left(x-y\right)J\left(y\right)}$$ ${\displaystyle D\left(x-y\right)}$ $${\displaystyle {\hat {O}}D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

Energía de interacción

Suponemos que hay dos perturbaciones puntuales que representan dos cuerpos y que las perturbaciones son inmóviles y constantes en el tiempo. Las perturbaciones se pueden escribir donde las funciones delta están en el espacio, las perturbaciones se ubican en y , y los coeficientes y son las intensidades de las perturbaciones. $${\displaystyle J(x)=\left(J_{1}+J_{2},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=a_{1}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)\\J_{2}&=a_{2}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{2}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Si descuidamos las autointeracciones de las perturbaciones, entonces W se convierte en $${\displaystyle W\left(J\right)=-\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J_{1}\left(x\right){\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right]J_{2}\left(y\right),}$$

que se puede escribir $${\displaystyle W\left(J\right)=-Ta_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Aquí está la transformada de Fourier de ${\displaystyle D\left(k\right)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right].}$$

Finalmente, el cambio de energía debido a las perturbaciones estáticas del vacío es $${\displaystyle E=-{\frac {W}{T}}=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Si esta cantidad es negativa, la fuerza es atractiva. Si es positiva, la fuerza es repulsiva.

Ejemplos de corrientes estáticas, inmóviles e interactuantes son el potencial de Yukawa, el potencial de Coulomb en el vacío y el potencial de Coulomb en un plasma simple o un gas de electrones.

La expresión de la energía de interacción se puede generalizar a la situación en la que las partículas puntuales se mueven, pero el movimiento es lento en comparación con la velocidad de la luz. Ejemplos de ello son la interacción de Darwin en el vacío y en un plasma.

Finalmente, la expresión para la energía de interacción puede generalizarse a situaciones en las que las perturbaciones no son partículas puntuales, sino posiblemente cargas lineales, tubos de cargas o vórtices de corriente. Algunos ejemplos incluyen: dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones, potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético y la interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma o gas de electrones simple. Como se ve en el ejemplo de interacción de Coulomb entre tubos de carga, que se muestra a continuación, estas geometrías más complicadas pueden conducir a fenómenos tan exóticos como los números cuánticos fraccionarios .

Ejemplos seleccionados

Potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico

Considere la densidad lagrangiana de espín -0 ^{[2] : 21–29} $${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right].}$$

La ecuación de movimiento para este lagrangiano es la ecuación de Klein-Gordon $${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +m^{2}\varphi =0.}$$

Si añadimos una perturbación la amplitud de probabilidad se convierte en $${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}\mathbf {x} \;\left[{\frac {1}{2}}\left(\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)+J\varphi \right]\right\}.}$$

Si integramos por partes y descuidamos los términos de contorno en el infinito, la amplitud de probabilidad se convierte en $${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}x\;\left[-{\frac {1}{2}}\varphi \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi +J\varphi \right]\right\}.}$$

Con la amplitud en esta forma se puede ver que el propagador es la solución de $${\displaystyle -\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

De esto se desprende que $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}.}$$

La energía debida a las perturbaciones estáticas se convierte en (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial de Yukawa: El potencial de Coulomb con masa ) con la que es atractiva y tiene un rango de $${\displaystyle E=-{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$ $${\displaystyle r^{2}=\left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{m}}.}$$

Yukawa propuso que este campo describe la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico, lo que le permitió predecir tanto el alcance como la masa de la partícula, ahora conocida como pión , asociada a este campo.

Electrostática

Potencial de Coulomb en el vacío

Consideremos el Proca Lagrangiano de espín -1 con una perturbación ^{[2] : 30–31}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }+A_{\mu }J^{\mu }}$$donde la carga se conserva y elegimos el calibre de Lorenz $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0,}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$

Además, suponemos que la perturbación solo tiene un componente temporal . En lenguaje corriente, esto significa que hay una carga en los puntos de perturbación, pero no hay corrientes eléctricas. ${\displaystyle J^{0}}$

Si seguimos el mismo procedimiento que hicimos con el potencial Yukawa encontramos lo que implica y $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{4}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&=-{\frac {1}{4}}\int d^{4}x\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A_{\nu }\left(\partial ^{2}A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A^{\mu }\left(\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}\right)A^{\nu },\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right)}$$ $${\displaystyle D_{\mu \nu }\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;\eta _{\mu \nu }{\frac {1}{-k^{2}+m^{2}}}.}$$

Esto da como resultado el propagador temporal que tiene el signo opuesto al caso de Yukawa. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=+{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$

En el límite de masa de fotón cero , el lagrangiano se reduce al lagrangiano para el electromagnetismo. $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}.}$$

Por lo tanto, la energía se reduce a la energía potencial de la fuerza de Coulomb y los coeficientes y son proporcionales a la carga eléctrica. A diferencia del caso de Yukawa, los cuerpos iguales, en este caso electrostático, se repelen entre sí. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones

Ondas de plasma

La relación de dispersión para las ondas de plasma es ^{[5] : 75–82} donde es la frecuencia angular de la onda, es la frecuencia del plasma , es la magnitud de la carga del electrón , es la masa del electrón , es la temperatura del electrón (la constante de Boltzmann igual a uno), y es un factor que varía con la frecuencia de uno a tres. A frecuencias altas, del orden de la frecuencia del plasma, la compresión del fluido electrónico es un proceso adiabático y es igual a tres. A frecuencias bajas, la compresión es un proceso isotérmico y es igual a uno. Los efectos de retardo se han descuidado al obtener la relación de dispersión de la onda de plasma. $${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{\text{e}}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$

Para frecuencias bajas, la relación de dispersión se convierte en donde es el número de Debye, que es el inverso de la longitud de Debye . Esto sugiere que el propagador es $${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{\text{D}}^{2}=0}$$ $${\displaystyle k_{\text{D}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{\text{D}}^{2}}}.}$$

De hecho, si no se descuidan los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es que efectivamente produce el propagador supuesto. Este propagador es el mismo que el propagador masivo de Coulomb con la masa igual a la longitud de Debye inversa. La energía de interacción es, por lo tanto, El potencial de Coulomb se apantalla en escalas de longitud de una longitud de Debye. $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{\text{D}}^{2}-{\frac {m}{T_{\text{e}}}}k_{0}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{D}}r\right).}$$

Plasmones

En un gas cuántico de electrones , las ondas de plasma se conocen como plasmones . El apantallamiento de Debye se reemplaza por el apantallamiento de Thomas-Fermi para obtener ^[6] donde la inversa de la longitud del apantallamiento de Thomas-Fermi es y es la energía de Fermi. $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{s}}r\right)}$$ $${\displaystyle k_{\text{s}}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{\text{F}}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson . El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y está dado por donde es el potencial eléctrico . Linealizando la energía de Fermi al primer orden en la fluctuación de densidad y combinándola con la ecuación de Poisson se obtiene la longitud de apantallamiento. El portador de fuerza es la versión cuántica de la onda de plasma . $${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{\text{F}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones

Consideramos una línea de carga con eje en la dirección z incrustada en un gas de electrones donde es la distancia en el plano xy desde la línea de carga, es el ancho del material en la dirección z. El superíndice 2 indica que la función delta de Dirac es bidimensional. El propagador es donde es la longitud de apantallamiento inversa de Debye-Hückel o la longitud de apantallamiento inversa de Thomas-Fermi . $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$ ${\displaystyle k_{Ds}}$

La energía de interacción es donde y son funciones de Bessel y es la distancia entre las dos cargas lineales. Para obtener la energía de interacción, utilizamos las integrales (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa ) y $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{0}(x)}$ ${\displaystyle r_{12}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

Para , tenemos ${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$ $${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente inmersos en un campo magnético

Energía de interacción para vórtices

Consideramos una densidad de carga en un tubo con eje a lo largo de un campo magnético incrustado en un gas de electrones donde es la distancia desde el centro guía , es el ancho del material en la dirección del campo magnético donde la frecuencia del ciclotrón es ( unidades gaussianas ) y es la velocidad de la partícula alrededor del campo magnético, y B es la magnitud del campo magnético. La fórmula de la velocidad proviene de establecer la energía cinética clásica igual al espaciamiento entre los niveles de Landau en el tratamiento cuántico de una partícula cargada en un campo magnético. $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$ $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$ $${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$

En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir donde es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción, utilizamos la integral $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad

El potencial químico cerca del equilibrio, está dado por donde es la energía potencial de un electrón en un potencial eléctrico y y son el número de partículas en el gas de electrones en ausencia y en presencia de un potencial electrostático, respectivamente. $${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$ ${\displaystyle -e\varphi }$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle N}$

La fluctuación de densidad es entonces donde es el área del material en el plano perpendicular al campo magnético. $${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}}$$ ${\displaystyle A_{\text{M}}}$

La ecuación de Poisson da como resultado donde $${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$ $${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}.}$$

El propagador es entonces y la energía de interacción se convierte en donde en la segunda igualdad ( unidades gaussianas ) asumimos que los vórtices tenían la misma energía y la carga del electrón. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$

En analogía con los plasmones , el portador de fuerza es la versión cuántica de la oscilación híbrida superior , que es una onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicularmente al campo magnético.

Corrientes con momento angular

Corrientes de función delta

Figura 1. Energía de interacción vs. r para estados de momento angular de valor uno. Las curvas son idénticas a estas para cualquier valor de . Las longitudes están en unidades de , y la energía está en unidades de . Aquí . Nótese que existen mínimos locales para valores grandes de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle r_{\ell }}$ ${\textstyle {\frac {e^{2}}{L_{B}}}}$ ${\displaystyle r=r_{12}}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Figura 2. Energía de interacción vs. r para estados de momento angular de valor uno y cinco.

Figura 3. Energía de interacción vs. r para varios valores de theta. La energía más baja es para o . La energía más alta representada gráficamente es para . Las longitudes están en unidades de . ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1}$ ${\textstyle \theta =0.90{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$

Figura 4. Energías del estado fundamental para valores pares e impares de momentos angulares. La energía se representa en el eje vertical y r en el horizontal. Cuando el momento angular total es par, el mínimo de energía se produce cuando o . Cuando el momento angular total es impar, no hay valores enteros de momentos angulares que se encuentren en el mínimo de energía. Por lo tanto, hay dos estados que se encuentran a ambos lados del mínimo. Debido a que , la energía total es mayor que en el caso cuando para un valor dado de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\textstyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \ell \neq \ell '}$ ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$

A diferencia de las corrientes clásicas, los bucles de corriente cuántica pueden tener varios valores del radio de Larmor para una energía dada. ^{[7] : 187–190} Los niveles de Landau , los estados de energía de una partícula cargada en presencia de un campo magnético, son degenerados múltiples . Los bucles de corriente corresponden a estados de momento angular de la partícula cargada que pueden tener la misma energía. Específicamente, la densidad de carga alcanza su pico alrededor de radios de donde es el número cuántico del momento angular . Cuando recuperamos la situación clásica en la que el electrón orbita el campo magnético en el radio de Larmor . Si las corrientes de dos momentos angulares y interactúan, y asumimos que las densidades de carga son funciones delta en el radio , entonces la energía de interacción es $${\displaystyle r_{\ell }={\sqrt {\ell }}\;r_{B}\;\;\;\ell =0,1,2,\ldots }$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \ell >0}$ ${\displaystyle \ell '\geq \ell }$ ${\displaystyle r_{\ell }}$ $${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell }^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {\frac {\ell '}{\ell }}}\;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell }}}\right).}$$

La energía de interacción para se muestra en la Figura 1 para varios valores de . La energía para dos valores diferentes se muestra en la Figura 2. ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle k_{B}r_{\ell }}$

Cuasipartículas

Para valores grandes de momento angular, la energía puede tener mínimos locales a distancias distintas de cero e infinito. Se puede verificar numéricamente que los mínimos ocurren en $${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}={\sqrt {\ell +\ell '}}\;r_{B}.}$$

Esto sugiere que el par de partículas que están unidas y separadas por una distancia actúan como una única cuasipartícula con momento angular . ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$ ${\displaystyle \ell +\ell '}$

Si escalamos las longitudes como , entonces la energía de interacción se convierte en donde ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$ $${\displaystyle E={\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell \ell '}^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\cos \theta \,k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}(\sin \theta \,k)\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell \ell '}}}\right)}}$$ $${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\frac {\ell }{\ell '}}}.}$$

El valor de la energía en el que es mínima, , es independiente de la relación . Sin embargo, el valor de la energía en el mínimo depende de la relación. El mínimo de energía más bajo ocurre cuando ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}}$ ${\textstyle \tan \theta ={\sqrt {{\ell }/{\ell '}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1.}$$

Cuando la relación es distinta de 1, el mínimo de energía es mayor (Figura 3). Por lo tanto, para valores pares de momento total, la energía más baja se produce cuando (Figura 4) o donde el momento angular total se escribe como $${\displaystyle \ell =\ell '=1}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \ell ^{*}=\ell +\ell '.}$$

Cuando el momento angular total es impar, los mínimos no pueden ocurrir para Los estados de energía más bajos para el momento angular total impar ocurren cuando o y que también aparecen como series para el factor de llenado en el efecto Hall cuántico fraccional . ${\displaystyle \ell =\ell '.}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}=\;{\frac {\ell ^{*}\pm 1}{2\ell ^{*}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

Densidad de carga distribuida a lo largo de una función de onda

La densidad de carga no está realmente concentrada en una función delta, sino que está distribuida en una función de onda. En ese caso, la densidad electrónica es ^{[7] : 189} $${\displaystyle {\frac {1}{\pi r_{B}^{2}L_{B}}}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {r}{r_{B}}}\right)^{2l}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{B}^{2}}}\right).}$$

La energía de interacción se convierte en donde es una función hipergeométrica confluente o función de Kummer . Para obtener la energía de interacción hemos utilizado la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración sobre una función de onda magnética ) $${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}\;M{\left(\ell +1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;M{\left(\ell '+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}}$$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\frac {2}{n!}}\int _{0}^{\infty }dr\;r^{2n+1}e^{-r^{2}}J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right).}$$

Al igual que con las cargas de función delta, el valor de en el que la energía es un mínimo local solo depende del momento angular total, no de los momentos angulares de las corrientes individuales. Además, al igual que con las cargas de función delta, la energía en el mínimo aumenta a medida que la relación de los momentos angulares varía de uno. Por lo tanto, las series y aparecen también en el caso de cargas distribuidas por la función de onda. ${\displaystyle r_{12}}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

La función de onda de Laughlin es un contrapunto de la función de onda de las cuasipartículas. Si se toma el valor esperado de la energía de interacción sobre una función de onda de Laughlin , estas series también se conservan.

Magnetostática

La interacción de Darwin en el vacío

Una partícula cargada en movimiento puede generar un campo magnético que afecta el movimiento de otra partícula cargada. La versión estática de este efecto se denomina interacción de Darwin . Para calcularla, considere las corrientes eléctricas en el espacio generadas por una carga en movimiento con una expresión comparable para . $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {x} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\delta ^{3}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)}}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

La transformada de Fourier de esta corriente es $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

La corriente se puede descomponer en una parte transversal y una longitudinal (véase descomposición de Helmholtz ). $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right)+a_{1}\left[{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

El sombrero indica un vector unitario . El último término desaparece porque resulta de la conservación de la carga. Aquí se desvanece porque estamos considerando fuerzas estáticas. $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} =-k_{0}J^{0}\to 0,}$$ ${\displaystyle k_{0}}$

Con la corriente en esta forma la energía de interacción se puede escribir $${\displaystyle E=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

La ecuación del propagador para el Proca Lagrangiano es $${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

La solución espacial es la cual produce donde . La integral se evalúa como (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial transversal con masa ) que se reduce a en el límite de m pequeño . La energía de interacción es el negativo del lagrangiano de interacción. Para dos partículas similares que viajan en la misma dirección, la interacción es atractiva, que es lo opuesto a la interacción de Coulomb. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}},}$$ $${\displaystyle E=-a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;{\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}{k^{2}+m^{2}}}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right),}$$ ${\textstyle k=|\mathbf {k} |}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}e^{-mr}\left\{{\frac {2}{\left(mr\right)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)-{\frac {2}{mr}}\right\}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$

Interacción de Darwin en el plasma

En un plasma, la relación de dispersión para una onda electromagnética es ^{[5] : 100–103} ( ) lo que implica ${\displaystyle c=1}$ $${\displaystyle k_{0}^{2}=\omega _{p}^{2}+k^{2},}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+\omega _{p}^{2}}}.}$$

Aquí está la frecuencia del plasma . Por lo tanto, la energía de interacción es ${\displaystyle \omega _{p}}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;e^{-\omega _{p}r}\left\{{\frac {2}{\left(\omega _{p}r\right)^{2}}}\left(e^{\omega _{p}r}-1\right)-{\frac {2}{\omega _{p}r}}\right\}.}$$

Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o un gas de electrones

Energía de interacción

Consideremos un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un plasma simple o gas de electrones. La corriente, que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético, se define como donde y es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Aquí indica la dimensión del material en la dirección del campo magnético. La corriente transversal, perpendicular al vector de onda , impulsa la onda transversal . $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$ $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle L_{B}}$

La energía de interacción es donde es la distancia entre los centros de los bucles de corriente y es una función de Bessel de primera especie. Para obtener la energía de interacción usamos las integrales y $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

Véase Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración angular en coordenadas cilíndricas .

Una corriente en un plasma confinada en el plano perpendicular al campo magnético genera una onda extraordinaria . ^{[5] : 110–112} Esta onda genera corrientes Hall que interactúan y modifican el campo electromagnético. La relación de dispersión para ondas extraordinarias es ^{[5] : 112} que da para el propagador donde en analogía con el propagador de Darwin. Aquí, la frecuencia híbrida superior está dada por la frecuencia del ciclotrón está dada por ( unidades gaussianas ) y la frecuencia del plasma ( unidades gaussianas ) $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$ $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$ $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

Aquí n es la densidad electrónica, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.

La energía de interacción se convierte, para corrientes similares, en: $${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

Límite de distancia pequeña entre bucles de corriente

En el límite en que la distancia entre los bucles de corriente es pequeña, donde y e I y K son funciones de Bessel modificadas, hemos asumido que las dos corrientes tienen la misma carga y velocidad. $${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$ $${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$ $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$

Hemos hecho uso de la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa ) $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

Para un mr pequeño la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

Para mr grande la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

Relación con el efecto Hall cuántico

El número de onda de apantallamiento se puede escribir ( unidades gaussianas ) donde es la constante de estructura fina y el factor de llenado es y N es el número de electrones en el material y A es el área del material perpendicular al campo magnético. Este parámetro es importante en el efecto Hall cuántico y el efecto Hall cuántico fraccional . El factor de llenado es la fracción de estados de Landau ocupados en la energía del estado fundamental. $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$

Para los casos de interés en el efecto Hall cuántico, es pequeño. En ese caso, la energía de interacción es donde ( unidades gaussianas ) es la energía de interacción para el factor de llenado cero. Hemos establecido la energía cinética clásica en la energía cuántica. ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$ $${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$

Gravitación

Una perturbación gravitatoria es generada por el tensor de tensión-energía ; en consecuencia, el lagrangiano para el campo gravitatorio es espín -2. Si las perturbaciones están en reposo, entonces el único componente del tensor de tensión-energía que persiste es el componente . Si usamos el mismo truco de darle al gravitón cierta masa y luego llevar la masa a cero al final del cálculo, el propagador se convierte en y que una vez más es atractivo en lugar de repulsivo. Los coeficientes son proporcionales a las masas de las perturbaciones. En el límite de pequeña masa del gravitón, recuperamos el comportamiento del cuadrado inverso de la Ley de Newton. ^{[2] : 32–37} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle 00}$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {4}{3}}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=-{\frac {4}{3}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right),}$$

Sin embargo, a diferencia del caso electrostático, tomar el límite de masa pequeña del bosón no arroja el resultado correcto. Un tratamiento más riguroso arroja un factor de uno en la energía en lugar de 4/3. ^{[2] : 35}

Referencias

1. Jaeger, Gregg (2019). "¿Son las partículas virtuales menos reales?". Entropy . 21 (2): 141. Bibcode :2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC  7514619 . PMID  33266857.
2. Zee, A. (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01019-6.
3. "Grupo de Física de Altas Energías - Física Hadrónica". Archivado desde el original el 17 de julio de 2011. Consultado el 31 de agosto de 2010 .
4. "Teoría de perturbación independiente del tiempo". virginia.edu .
5. Chen, Francis F. (1974). Introducción a la física del plasma . Plenum Press. ISBN 0-306-30755-3.
6. C. Kittel (1976). Introducción a la física del estado sólido (quinta edición). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-49024-5.págs. 296-299.
7. Ezewa, Zyun F. (2008). Efecto Hall cuántico: enfoque teórico de campo y temas relacionados (segunda edición). World Scientific. ISBN 978-981-270-032-2.