Núcleo de Poisson

Concepto matemático

En matemáticas, y específicamente en teoría del potencial , el núcleo de Poisson es un núcleo integral , utilizado para resolver la ecuación de Laplace bidimensional , dadas las condiciones de contorno de Dirichlet en el disco unitario . El núcleo puede entenderse como la derivada de la función de Green para la ecuación de Laplace. Recibe su nombre de Siméon Poisson .

Los núcleos de Poisson suelen emplearse en la teoría de control y en problemas bidimensionales de electrostática . En la práctica, la definición de núcleos de Poisson suele extenderse a problemas n -dimensionales.

Núcleos de Poisson bidimensionales

En el disco de la unidad

En el plano complejo , el núcleo de Poisson para el disco unitario ^[1] está dado por $${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

Esto se puede considerar de dos maneras: como una función de r y θ , o como una familia de funciones de θ indexadas por r .

Si es el disco unitario abierto en C , T es el límite del disco y f una función en T que se encuentra en L ¹ ( T ), entonces la función u dada por es armónica en D y tiene un límite radial que concuerda con f en casi todas partes en el límite T del disco. ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$ $${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$

Que el valor límite de u es f se puede argumentar usando el hecho de que cuando r → 1 , las funciones P _r ( θ ) forman una unidad aproximada en el álgebra de convolución L ¹ ( T ). Como operadores lineales, tienden a la función delta de Dirac puntualmente en L ^p ( T ). Por el principio del máximo , u es la única función armónica de este tipo en D .

Las convoluciones con esta unidad aproximada dan un ejemplo de un núcleo de sumabilidad para la serie de Fourier de una función en L ¹ ( T ) (Katznelson 1976). Sea f ∈ L ¹ ( T ) tiene serie de Fourier { f _k }. Después de la transformada de Fourier , la convolución con P _r ( θ ) se convierte en la multiplicación por la secuencia { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ). ^{[ se necesita más explicación ]} Tomando la transformada de Fourier inversa del producto resultante { r ^|k| f _k } se obtienen las medias de Abel A _r f de f : $${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}$$

Reordenando esta serie absolutamente convergente se muestra que f es el valor límite de g + h , donde g (resp. h ) es una función holomorfa (resp. antiholomórfica ) en D .

Cuando también se pide que la extensión armónica sea holomorfa, entonces las soluciones son elementos de un espacio de Hardy . Esto es cierto cuando los coeficientes de Fourier negativos de f se anulan. En particular, el núcleo de Poisson se utiliza comúnmente para demostrar la equivalencia de los espacios de Hardy en el disco unitario y el círculo unitario.

El espacio de funciones que son los límites en T de funciones en H ^p ( z ) puede llamarse H ^p ( T ). Es un subespacio cerrado de L ^p ( T ) (al menos para p  ≥ 1). Como L ^p ( T ) es un espacio de Banach (para 1 ≤  p  ≤ ∞), también lo es H ^p ( T ).

En el semiplano superior

El disco unitario puede mapearse conformemente al semiplano superior por medio de ciertas transformaciones de Möbius . Dado que el mapa conforme de una función armónica también es armónico, el núcleo de Poisson se traslada al semiplano superior. En este caso, la ecuación integral de Poisson toma la forma $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

El núcleo en sí viene dado por $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

Dada una función , el espacio L p de funciones integrables en la recta real, u puede entenderse como una extensión armónica de f en el semiplano superior. En analogía con la situación del disco, cuando u es holomorfo en el semiplano superior, entonces u es un elemento del espacio de Hardy y, en particular, ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{p},}$ $${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

Así, de nuevo, el espacio de Hardy H ^p en el semiplano superior es un espacio de Banach y, en particular, su restricción al eje real es un subespacio cerrado de La situación sólo es análoga al caso del disco unitario; la medida de Lebesgue para el círculo unitario es finita, mientras que para la línea real no lo es. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

En la pelota

Para la bola de radio el núcleo de Poisson toma la forma donde (la superficie de ), y es el área de la superficie de la ( n  − 1)-esfera unitaria . ${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}}$$ ${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$

Entonces, si u ( x ) es una función continua definida en S , la integral de Poisson correspondiente es la función P [ u ]( x ) definida por $${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$$

Se puede demostrar que P [ u ]( x ) es armónico en la bola y que P [ u ]( x ) se extiende a una función continua en la bola cerrada de radio r , y la función límite coincide con la función original  u . ${\displaystyle B_{r}}$

En el medio espacio superior

También se puede obtener una expresión para el núcleo de Poisson de un semiespacio superior . Denotemos las coordenadas cartesianas estándar de por El semiespacio superior es el conjunto definido por El núcleo de Poisson para H ^{n +1} viene dado por donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ $${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$$ $${\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}$$ $${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}}$$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$$

El núcleo de Poisson para el semiplano superior aparece naturalmente como la transformada de Fourier de la transformada de Abel en la que t asume el papel de un parámetro auxiliar. Es decir, en particular, está claro a partir de las propiedades de la transformada de Fourier que, al menos formalmente, la convolución es una solución de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. También se puede demostrar que cuando t → 0 , P [ u ]( t , x ) → u ( x ) en un sentido adecuado. $${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$$ $${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$$

Véase también

• Fórmula integral de Schwarz

Referencias

1. "Análisis complejo: derivación de la fórmula integral de Poisson a partir de la fórmula integral de Cauchy". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 21 de agosto de 2022 .

• Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Conway, John B. (1978), Funciones de una variable compleja I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Axler, S .; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (1992), Teoría de la función armónica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• King, Frederick W. (2009), Transformadas de Hilbert, vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. "Núcleo de Poisson". MathWorld .
• Gilbarg, D. ; Trudinger, N. (12 de enero de 2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 3-540-41160-7.