En matemáticas , particularmente en análisis funcional y teoría de anillos , una identidad aproximada es una red en un álgebra o anillo de Banach (generalmente sin identidad) que actúa como sustituto de un elemento identidad .
Una identidad aproximada derecha en un álgebra de Banach A es una red tal que para cada elemento a de A , De manera similar, una identidad aproximada izquierda en un álgebra de Banach A es una red tal que para cada elemento a de A , Una identidad aproximada es una red que es a la vez una identidad aproximada derecha y una identidad aproximada izquierda.
Para las C*-álgebras , una identidad aproximada derecha (o izquierda) que consiste en elementos autoadjuntos es lo mismo que una identidad aproximada. La red de todos los elementos positivos en A de norma ≤ 1 con su orden natural es una identidad aproximada para cualquier C*-álgebra. Esto se llama la identidad aproximada canónica de una C*-álgebra. Las identidades aproximadas no son únicas. Por ejemplo, para operadores compactos que actúan en un espacio de Hilbert , la red que consiste en proyecciones de rango finito sería otra identidad aproximada.
Si una identidad aproximada es una secuencia , la llamamos identidad aproximada secuencial y una C*-álgebra con una identidad aproximada secuencial se llama σ-unital . Toda C*-álgebra separable es σ-unital, aunque el recíproco es falso. Una C*-álgebra conmutativa es σ-unital si y solo si su espectro es σ-compacto . En general, una C*-álgebra A es σ-unital si y solo si A contiene un elemento estrictamente positivo, es decir , existe h en A + tal que la C*-subálgebra hereditaria generada por h es A.
A veces se consideran identidades aproximadas que consisten en tipos específicos de elementos. Por ejemplo, una C*-álgebra tiene rango real cero si y solo si cada C*-subálgebra hereditaria tiene una identidad aproximada que consiste en proyecciones. Esto se conocía como propiedad (HP) en la literatura anterior.
Una identidad aproximada en un álgebra de convolución cumple la misma función que una secuencia de aproximaciones de funciones a la función delta de Dirac (que es el elemento identidad de la convolución). Por ejemplo, los núcleos de Fejér de la teoría de series de Fourier dan lugar a una identidad aproximada.
En la teoría de anillos, una identidad aproximada se define de manera similar, excepto que al anillo se le da la topología discreta de modo que a = ae λ para algún λ.
Un módulo sobre un anillo con identidad aproximada se llama no degenerado si para cada m en el módulo hay algún λ con m = me λ .
