Integración numérica

Métodos de cálculo de integrales definidas

La integración numérica se utiliza para calcular una aproximación numérica para el valor , el área bajo la curva definida por . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)}$

En análisis , la integración numérica comprende una amplia familia de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida . El término cuadratura numérica (a menudo abreviado como cuadratura ) es más o menos un sinónimo de "integración numérica", especialmente cuando se aplica a integrales unidimensionales. Algunos autores se refieren a la integración numérica en más de una dimensión como cubatura ; ^[1] otros toman "cuadratura" para incluir la integración de dimensiones superiores.

El problema básico en la integración numérica es calcular una solución aproximada para una integral definida.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

con un grado dado de precisión. Si f ( x ) es una función suave integrada en un pequeño número de dimensiones y el dominio de integración está acotado, existen muchos métodos para aproximar la integral a la precisión deseada.

La integración numérica tiene sus raíces en el problema geométrico de hallar un cuadrado con la misma área que una figura plana dada ( cuadratura o cuadratura ), como en la cuadratura del círculo . El término también se utiliza a veces para describir la solución numérica de ecuaciones diferenciales .

Motivación y necesidad

Hay varias razones para realizar la integración numérica, en lugar de la integración analítica mediante la búsqueda de la antiderivada :

1. El integrando f ( x ) puede conocerse solo en ciertos puntos, como los obtenidos mediante muestreo . Algunos sistemas integrados y otras aplicaciones informáticas pueden necesitar integración numérica por este motivo.
2. Se puede conocer una fórmula para el integrando, pero puede ser difícil o imposible encontrar una antiderivada que sea una función elemental . Un ejemplo de un integrando de este tipo es f ( x ) = exp(− x ² ) , cuya antiderivada (la función de error , multiplicada por una constante) no se puede escribir en forma elemental .
3. Puede ser posible hallar una antiderivada simbólicamente, pero puede ser más fácil calcular una aproximación numérica que calcular la antiderivada. Ese puede ser el caso si la antiderivada se da como una serie o producto infinito, o si su evaluación requiere una función especial que no está disponible.

Historia

El término "integración numérica" ​​aparece por primera vez en 1915 en la publicación Un curso de interpolación e integración numérica para el laboratorio matemático de David Gibb . ^[2]

"Cuadratura" es un término matemático histórico que significa cálculo de área. Los problemas de cuadratura han servido como una de las principales fuentes del análisis matemático . Los matemáticos de la Antigua Grecia , según la doctrina pitagórica , entendían el cálculo de área como el proceso de construir geométricamente un cuadrado que tenga la misma área ( cuadratura ). Por eso el proceso se denominó "cuadratura". Por ejemplo, la cuadratura del círculo , la Luna de Hipócrates , la cuadratura de la parábola . Esta construcción debe realizarse únicamente por medio de compás y regla .

Los antiguos babilonios utilizaron la regla trapezoidal para integrar el movimiento de Júpiter a lo largo de la eclíptica . ^[3]

Método antiguo para hallar la media geométrica

Para la cuadratura de un rectángulo de lados a y b es necesario construir un cuadrado de lado ( media geométrica de a y b ). Para ello se puede utilizar el siguiente hecho: si dibujamos un círculo cuyo diámetro es la suma de a y b , entonces la altura BH (desde el punto de unión hasta el punto de intersección con el círculo) es igual a su media geométrica. La construcción geométrica similar resuelve el problema de la cuadratura de un paralelogramo y un triángulo. ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$

El área de un segmento de una parábola

Los problemas de cuadratura de figuras curvilíneas son mucho más difíciles. En el siglo XIX se demostró que la cuadratura del círculo con regla y compás era imposible. Sin embargo, para algunas figuras (por ejemplo, la Luna de Hipócrates ) se puede realizar una cuadratura. Las cuadraturas de una superficie esférica y de un segmento de parábola realizadas por Arquímedes se convirtieron en el logro más alto del análisis antiguo.

• El área de la superficie de una esfera es igual al cuádruple del área de un círculo máximo de esta esfera.
• El área de un segmento de la parábola cortado por una línea recta es 4/3 del área del triángulo inscrito en este segmento.

Para la prueba de los resultados Arquímedes utilizó el método de agotamiento de Eudoxo .

En la Europa medieval, la cuadratura significaba el cálculo del área por cualquier método. Más a menudo se utilizaba el método de los indivisibles ; era menos riguroso, pero más simple y poderoso. Con su ayuda, Galileo Galilei y Gilles de Roberval hallaron el área de un arco cicloidal , Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola ( Opus Geometricum , 1647), y Alphonse Antonio de Sarasa , alumno y comentarista de Saint-Vincent, observó la relación de esta área con los logaritmos .

John Wallis algebrizó este método: escribió en su serie Arithmetica Infinitorum (1656) lo que ahora llamamos integral definida y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory hicieron más progresos: cuadraturas para algunas curvas y espirales algebraicas . Christiaan Huygens realizó con éxito una cuadratura de algunos sólidos de revolución .

La cuadratura de la hipérbola de Saint-Vincent y de Sarasa proporcionó una nueva función , el logaritmo natural , de importancia crítica.

Con la invención del cálculo integral se creó un método universal para el cálculo de áreas. En respuesta, el término "cuadratura" se ha vuelto tradicional y, en su lugar, es más común la frase moderna " cálculo de una integral definida univariante ".

Métodos para integrales unidimensionales

Una regla de cuadratura es una aproximación de la integral definida de una función , generalmente expresada como una suma ponderada de valores de función en puntos específicos dentro del dominio de integración.

Los métodos de integración numérica pueden describirse generalmente como una combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. El integrando se evalúa en un conjunto finito de puntos llamados puntos de integración y se utiliza una suma ponderada de estos valores para aproximar la integral. Los puntos de integración y los pesos dependen del método específico utilizado y de la precisión requerida de la aproximación.

Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación en función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones suele considerarse superior. Al reducir el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas y, por lo tanto, se reduce el error total. Además, cada evaluación lleva tiempo y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.

Reglas de cuadratura basadas en funciones escalonadas

Se puede realizar una integración numérica de tipo "fuerza bruta", si el integrando se comporta razonablemente bien (es decir, es continuo por partes y de variación limitada ), evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

Ilustración de la regla del rectángulo.

Este método más simple aproxima la función mediante una función escalonada (una función constante por partes o un polinomio segmentado de grado cero) que pasa por el punto . Esto se denomina regla del punto medio o regla del rectángulo. ${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

Reglas de cuadratura basadas en funciones de interpolación

Se puede derivar una amplia clase de reglas de cuadratura mediante la construcción de funciones de interpolación que sean fáciles de integrar. Por lo general, estas funciones de interpolación son polinomios . En la práctica, dado que los polinomios de grado muy alto tienden a oscilar de forma descontrolada , solo se utilizan polinomios de grado bajo, por lo general lineales y cuadráticos.

Ilustración de la regla trapezoidal.

La función de interpolación puede ser una línea recta (una función afín , es decir, un polinomio de grado 1) que pasa por los puntos y . Esto se llama regla del trapezoide . ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ ${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

Ilustración de la regla de Simpson.

Para cualquiera de estas reglas, podemos hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo en una cierta cantidad de subintervalos, calculando una aproximación para cada subintervalo y luego sumando todos los resultados. Esto se llama regla compuesta , regla extendida o regla iterada . Por ejemplo, la regla trapezoidal compuesta se puede expresar como ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

donde los subintervalos tienen la forma con y Aquí usamos subintervalos de la misma longitud pero también se podrían usar intervalos de longitud variable . ${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$ ${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$

La interpolación con polinomios evaluados en puntos igualmente espaciados en produce las fórmulas de Newton-Cotes , de las cuales la regla del rectángulo y la regla del trapezoide son ejemplos. La regla de Simpson , que se basa en un polinomio de orden 2, también es una fórmula de Newton-Cotes. ${\displaystyle [a,b]}$

Las reglas de cuadratura con puntos igualmente espaciados tienen la propiedad muy conveniente de anidamiento . La regla correspondiente con cada intervalo subdividido incluye todos los puntos actuales, por lo que esos valores de integrando se pueden reutilizar.

Si permitimos que varíen los intervalos entre los puntos de interpolación, encontramos otro grupo de fórmulas de cuadratura, como las fórmulas de cuadratura gaussiana . Una regla de cuadratura gaussiana suele ser más precisa que una regla de Newton-Cotes que utiliza el mismo número de evaluaciones de funciones, si el integrando es suave (es decir, si es suficientemente diferenciable). Otros métodos de cuadratura con intervalos variables incluyen los métodos de cuadratura de Clenshaw-Curtis (también llamados cuadratura de Fejér), que sí se anidan.

Las reglas de cuadratura gaussiana no se anidan, pero las fórmulas de cuadratura de Gauss-Kronrod relacionadas sí lo hacen.

Algoritmos adaptativos

La cuadratura adaptativa es un método de integración numérica en el que la integral de una función se aproxima utilizando reglas de cuadratura estática en subintervalos adaptados refinados de la región de integración. En general, los algoritmos adaptativos son tan eficientes y efectivos como los algoritmos tradicionales para los integrandos "de buen comportamiento", pero también son efectivos para los integrandos "de mal comportamiento" para los cuales los algoritmos tradicionales pueden fallar. ${\displaystyle f(x)}$

Métodos de extrapolación

La precisión de una regla de cuadratura del tipo Newton-Cotes es generalmente una función del número de puntos de evaluación. El resultado suele ser más preciso a medida que aumenta el número de puntos de evaluación o, equivalentemente, a medida que disminuye el ancho del tamaño del paso entre los puntos. Es natural preguntarse cuál sería el resultado si se permitiera que el tamaño del paso se acercara a cero. Esto se puede responder extrapolando el resultado a partir de dos o más tamaños de paso distintos de cero, utilizando métodos de aceleración en serie como la extrapolación de Richardson . La función de extrapolación puede ser una función polinómica o racional . Los métodos de extrapolación se describen con más detalle en Stoer y Bulirsch (Sección 3.4) y se implementan en muchas de las rutinas de la biblioteca QUADPACK .

Estimación de error conservadora (a priori)

Sea una primera derivada acotada sobre , es decir. El teorema del valor medio para donde da para algunos dependiendo de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle x\in [a,b),}$ $${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$ ${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$ ${\displaystyle x}$

Si integramos de a en ambos lados y tomamos los valores absolutos, obtenemos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

Podemos aproximar aún más la integral en el lado derecho incorporando el valor absoluto al integrando y reemplazando el término por un límite superior. ${\displaystyle f'}$

donde el supremo se utilizaba para aproximar.

Por lo tanto, si aproximamos la integral por la regla de cuadratura, nuestro error no es mayor que el lado derecho de 1. Podemos convertir esto en un análisis de error para la suma de Riemann , dando un límite superior de para el término de error de esa aproximación particular. (Obsérvese que este es precisamente el error que calculamos para el ejemplo ). Usando más derivadas y ajustando la cuadratura, podemos hacer un análisis de error similar usando una serie de Taylor (usando una suma parcial con término de resto) para f . Este análisis de error da un límite superior estricto para el error, si las derivadas de f están disponibles. ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle (b-a)f(a)}$ $${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$ ${\displaystyle f(x)=x}$

Este método de integración se puede combinar con aritmética de intervalos para producir pruebas de computadora y cálculos verificados .

Integrales sobre intervalos infinitos

Existen varios métodos para la integración aproximada en intervalos no acotados. La técnica estándar implica reglas de cuadratura derivadas especialmente, como la cuadratura de Gauss-Hermite para integrales en toda la línea real y la cuadratura de Gauss-Laguerre para integrales en los reales positivos. ^[4] También se pueden utilizar métodos de Monte Carlo, o un cambio de variables a un intervalo finito; por ejemplo, para toda la línea se podrían utilizar y para intervalos semi-infinitos se podrían utilizar como posibles transformaciones. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$

Integrales multidimensionales

Las reglas de cuadratura analizadas hasta ahora están diseñadas para calcular integrales unidimensionales. Para calcular integrales en múltiples dimensiones, un enfoque consiste en formular la integral múltiple como integrales unidimensionales repetidas aplicando el teorema de Fubini (la regla del producto tensorial). Este enfoque requiere que las evaluaciones de la función crezcan exponencialmente a medida que aumenta el número de dimensiones. Se conocen tres métodos para superar esta denominada maldición de la dimensionalidad .

En la monografía de Stroud se ofrecen muchas técnicas adicionales para formar reglas de integración de cubatura multidimensional para una variedad de funciones de ponderación. ^[5] La integración en la esfera ha sido revisada por Hesse et al. (2015). ^[6]

Montecarlo

Los métodos de Monte Carlo y los métodos cuasi-Monte Carlo son fáciles de aplicar a las integrales multidimensionales. Pueden producir una mayor precisión para la misma cantidad de evaluaciones de funciones que las integraciones repetidas que utilizan métodos unidimensionales. ^{[ cita requerida ]}

Una gran clase de métodos de Monte Carlo útiles son los llamados algoritmos de Monte Carlo de cadena de Markov , que incluyen el algoritmo Metropolis-Hastings y el muestreo de Gibbs .

Cuadrículas dispersas

Las cuadrículas dispersas fueron desarrolladas originalmente por Smolyak para la cuadratura de funciones de alta dimensión. El método siempre se basa en una regla de cuadratura unidimensional, pero realiza una combinación más sofisticada de resultados univariados. Sin embargo, mientras que la regla del producto tensorial garantiza que los pesos de todos los puntos de cubatura serán positivos si los pesos de los puntos de cuadratura fueron positivos, la regla de Smolyak no garantiza que todos los pesos sean positivos.

Cuadratura bayesiana

La cuadratura bayesiana es un enfoque estadístico para el problema numérico de calcular integrales y se enmarca en el campo de la numeración probabilística . Puede proporcionar un manejo completo de la incertidumbre sobre la solución de la integral expresada como una varianza posterior del proceso gaussiano .

Conexión con ecuaciones diferenciales

El problema de evaluar la integral definida

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}$

se puede reducir a un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo . Al derivar ambos lados de lo anterior con respecto al argumento x , se ve que la función F satisface

${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}$

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , como los métodos de Runge-Kutta , se pueden aplicar al problema reformulado y, por lo tanto, se pueden utilizar para evaluar la integral. Por ejemplo, el método estándar de Runge-Kutta de cuarto orden aplicado a la ecuación diferencial produce la regla de Simpson anterior.

La ecuación diferencial tiene una forma especial: el lado derecho contiene solo la variable independiente (aquí ) y no la variable dependiente (aquí ). Esto simplifica considerablemente la teoría y los algoritmos. Por lo tanto, el problema de evaluar integrales se estudia mejor por sí mismo. ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Por el contrario, el término "cuadratura" también puede utilizarse para la solución de ecuaciones diferenciales: " resolver por cuadratura " o " reducción a cuadratura " significa expresar su solución en términos de integrales .

Véase también

• Error de truncamiento (integración numérica)
• Cuadratura de Clenshaw-Curtis
• Cuadratura de Gauss-Kronrod
• Suma de Riemann o integral de Riemann
• Regla trapezoidal
• El método de Romberg
• Cuadratura de Tanh-Sinh
• Integral no elemental

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cubatura". MathWorld .
2. "Usos más antiguos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (Q)". jeff560.tripod.com . Consultado el 31 de marzo de 2018 .
3. Mathieu Ossendrijver (29 de enero de 2016). "Los antiguos astrónomos babilónicos calcularon la posición de Júpiter a partir del área bajo un gráfico de velocidad-tiempo". Science . 351 (6272): 482–484. Bibcode :2016Sci...351..482O. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
4. Líder, Jeffery J. (2004). Análisis numérico y computación científica . Addison Wesley. ISBN 978-0-201-73499-7.
5. Stroud, AH (1971). Cálculo aproximado de integrales múltiples . Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc. ISBN 9780130438935.
6. Kerstin Hesse, Ian H. Sloan y Robert S. Womersley: Integración numérica en la esfera. En W. Freeden et al. (eds.), Handbook of Geomathematics, Springer: Berlín 2015, doi :10.1007/978-3-642-54551-1_40

• Philip J. Davis y Philip Rabinowitz , Métodos de integración numérica .
• George E. Forsythe , Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler , Computer Methods for Mathematical Computations . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1977. (Véase el capítulo 5.)
• Press, WH ; Teukolsky, SA ; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Capítulo 4. Integración de funciones", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer y Roland Bulirsch , Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Véase el capítulo 3.)
• Boyer, CB , Una historia de las matemáticas , 2.ª ed. rev. por Uta C. Merzbach , Nueva York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (edición de 1991 ISBN 0-471-54397-7 ).  
• Eves, Howard , Introducción a la historia de las matemáticas , Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 , 
• SLSobolev y VLVaskevich: La teoría de las fórmulas de cubatura , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4631-9 (1997).

Enlaces externos

• Integración: antecedentes, simulaciones, etc. en Holistic Numerical Methods Institute
• Cuadratura de Lobatto de Wolfram Mathworld
• Fórmula de cuadratura de Lobatto de la Enciclopedia de Matemáticas
• Implementaciones de muchas fórmulas de cuadratura y cubatura dentro de la biblioteca de componentes Tracker gratuita.
• Integrador en línea de SageMath