Espacio simétrico hermitiano

Colector con simetría de inversión.

En matemáticas , un espacio simétrico hermitiano es una variedad hermitiana que en cada punto tiene una simetría de inversión que preserva la estructura hermitiana. Estudiados por primera vez por Élie Cartan , forman una generalización natural de la noción de espacio simétrico riemanniano desde variedades reales hasta variedades complejas .

Cada espacio simétrico hermitiano es un espacio homogéneo para su grupo de isometría y tiene una descomposición única como producto de espacios irreducibles y un espacio euclidiano. Los espacios irreductibles surgen en pares como un espacio no compacto que, como mostró Borel , puede integrarse como un subespacio abierto de su espacio dual compacto. Harish Chandra demostró que cada espacio no compacto puede realizarse como un dominio simétrico acotado en un espacio vectorial complejo. El caso más simple involucra a los grupos SU(2), SU(1,1) y su complejización común SL(2, C ). En este caso el espacio no compacto es el disco unitario , un espacio homogéneo para SU(1,1). Es un dominio acotado en el plano complejo C. La compactación de un punto de C , la esfera de Riemann , es el espacio dual, un espacio homogéneo para SU(2) y SL(2, C ).

Los espacios simétricos hermitianos compactos irreducibles son exactamente los espacios homogéneos de grupos de Lie compactos simples por subgrupos conectados cerrados máximos que contienen un toro máximo y tienen un centro isomorfo al grupo circular. Existe una clasificación completa de los espacios irreducibles, con cuatro series clásicas, estudiadas por Cartan, y dos casos excepcionales; la clasificación se puede deducir de la teoría de Borel-de Siebenthal , que clasifica subgrupos conectados cerrados que contienen un toro máximo. Los espacios simétricos hermitianos aparecen en la teoría de los sistemas triples de Jordan , varias variables complejas , geometría compleja , formas automórficas y representaciones de grupos , permitiendo en particular la construcción de representaciones holomorfas en series discretas de grupos de Lie semisimples. ^[1]

Espacios simétricos hermitianos de tipo compacto.

Definición

Sea H un grupo de Lie semisimple compacto conectado, σ un automorfismo de H de orden 2 y H ^σ el subgrupo de punto fijo de σ. Sea K un subgrupo cerrado de H que se encuentra entre H ^σ y su componente identidad . El espacio compacto homogéneo H / K se denomina espacio simétrico de tipo compacto . El álgebra de Lie admite una descomposición ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}}$

donde , el álgebra de Lie de K , es el espacio propio +1 de σ y el espacio propio –1. Si no contiene una suma simple de , el par ( , σ) se llama álgebra de Lie simétrica ortogonal de tipo compacto . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Cualquier producto interno en , invariante bajo la representación adjunta y σ, induce una estructura riemanniana en H / K , con H actuando por isometrías. Un ejemplo canónico lo da menos la forma Killing . Bajo tal producto interno, y son ortogonales. H / K es entonces un espacio simétrico riemanniano de tipo compacto. ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El espacio simétrico H / K se denomina espacio simétrico hermitiano si tiene una estructura casi compleja que conserva la métrica de Riemann. Esto equivale a la existencia de una aplicación lineal J con J ² = − I sobre la cual se conserva el producto interno y conmuta con la acción de K . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Subgrupo de simetría y centro de isotropía.

Si ( ,σ ) es hermitiano, K tiene centro no trivial y la simetría σ es interna, implementada por un elemento del centro de K . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

De hecho, J se encuentra en y exp tJ forma un grupo de un parámetro en el centro de K. Esto se deduce porque si A , B , C , D se encuentran en , entonces por la invariancia del producto interno en ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

Reemplazando A y B por JA y JB , se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

Defina un mapa lineal δ extendiendo J para que sea 0 en . La última relación muestra que δ es una derivación de . Como es semisimple, δ debe ser una derivación interna, de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}}$

con T en y A en . Tomando X en , se deduce que A = 0 y T se encuentra en el centro de y por tanto que K no es semisimple. La simetría σ se implementa mediante z = exp π T y la estructura casi compleja mediante exp π/2 T . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

La interioridad de σ implica que K contiene un toro máximo de H , por lo que tiene rango máximo. Por otro lado, el centralizador del subgrupo generado por el toro S de elementos exp tT es conexo, ya que si x es cualquier elemento en K existe un toro máximo que contiene x y S , que se encuentra en el centralizador. Por otro lado, contiene K ya que S es central en K y está contenido en K ya que z se encuentra en S. Entonces K es el centralizador de S y, por tanto, conexo. En particular , K contiene el centro de H. ^[2]

Descomposición irreductible

Se dice que el espacio simétrico o el par ( , σ ) es irreducible si la acción adjunta de (o equivalentemente el componente identidad de H ^σ o K ) es irreducible en . Esto es equivalente a la maximalidad de como subálgebra. ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

De hecho, existe una correspondencia uno uno entre subálgebras intermedias y K -subespacios invariantes de dado por ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {m}}_{1}={\mathfrak {l}}\cap {\mathfrak {m}}.}}$

Cualquier álgebra simétrica ortogonal ( , σ) de tipo hermitiano se puede descomponer como una suma directa (ortogonal) de álgebras simétricas ortogonales irreducibles de tipo hermitiano. ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

De hecho, se puede escribir como una suma directa de álgebras simples. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {h}}_{i},}}$

cada uno de los cuales queda invariante por el automorfismo σ y la estructura compleja J , ya que ambos son internos. La descomposición en el espacio propio de coincide con sus intersecciones con y . Entonces la restricción de σ a es irreducible. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$

Esta descomposición del álgebra de Lie simétrica ortogonal produce una descomposición en producto directo del correspondiente espacio simétrico compacto H / K cuando H es simplemente conexo. En este caso el subgrupo de punto fijo H ^σ se conecta automáticamente. Para H simplemente conexo , el espacio simétrico H / K es el producto directo de H _i / K _i con H _i simplemente conexo y simple. En el caso irreducible, K es un subgrupo conectado máximo de H. Dado que K actúa irreduciblemente (considerado como un espacio complejo para la estructura compleja definida por J ), el centro de K es un toro unidimensional T , dado por los operadores exp tT . Dado que cada H es simplemente conexo y K conexo, el cociente H / K es simplemente conexo. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Estructura compleja

si H / K es irreducible con K no semisimple, el grupo compacto H debe ser simple y K de rango máximo. De la teoría de Borel-de Siebenthal , la involución σ es interna y K es el centralizador de su centro, que es isomorfo a T. En particular K es conexo. Se deduce que H / K es simplemente conexo y hay un subgrupo parabólico P en la complejización G de H tal que H / K = G / P . En particular existe una estructura compleja sobre H / K y la acción de H es holomorfa. Dado que cualquier espacio simétrico hermitiano es producto de espacios irreducibles, lo mismo ocurre en general.

A nivel de álgebra de Lie , existe una descomposición simétrica.

${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}$

donde es un espacio vectorial real con estructura compleja J , cuya dimensión compleja se da en la tabla. En consecuencia, existe una descomposición gradual del álgebra de Lie. ${\displaystyle ({\mathfrak {m}},J)}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}\oplus {\mathfrak {m}}_{-}}$

¿Dónde está la descomposición en espacios propios + i y − i de J y ? El álgebra de Lie de P es el producto semidirecto . Las álgebras de Lie complejas son abelianas. De hecho, si U y V se encuentran en , [ U , V ] = J [ U , V ] = [ JU , JV ] = [± iU ,± iV ] = –[ U , V ], entonces el corchete de Lie debe desaparecer. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {m}}_{-}\oplus {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{+}\oplus {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$

Los subespacios complejos de son irreductibles para la acción de K , ya que J conmuta con K de modo que cada uno es isomorfo con estructura compleja ± J . De manera equivalente, el centro T de K actúa sobre la representación de identidad y sobre su conjugado. ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

La realización de H / K como una variedad de bandera generalizada G / P se obtiene tomando G como en la tabla (la complejización de H ) y P como el subgrupo parabólico igual al producto semidirecto de L , la complejización de K , con el complejo subgrupo abeliano exp . (En el lenguaje de los grupos algebraicos , L es el factor de Levi de P. ) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

Clasificación

Cualquier espacio simétrico hermitiano de tipo compacto es simplemente conexo y puede escribirse como un producto directo de espacios simétricos hermitianos irreducibles H _i / K _i con H _i simple, K _i conexo de rango máximo con centro T . Los irreductibles son, por tanto, exactamente los casos no semisimples clasificados por la teoría de Borel-de Siebenthal . ^[2]

En consecuencia, los espacios simétricos hermitianos compactos irreducibles H / K se clasifican de la siguiente manera.

En términos de la clasificación de espacios simétricos compactos de Riemann, los espacios simétricos hermitianos son las cuatro series infinitas AIII, DIII, CI y BDI con p = 2 o q = 2, y dos espacios excepcionales, a saber, EIII y EVII.

Ejemplos clásicos

Los espacios simétricos hermitianos irreductibles de tipo compacto están todos simplemente conectados. La simetría correspondiente σ del grupo de Lie compacto simple simplemente conexo es interna, dada por la conjugación por el elemento único S en Z ( K ) / Z ( H ) del período 2. Para los grupos clásicos, como en la tabla anterior, estas simetrías son los siguientes: ^[10]

• AIII: en S(U( p )×U( q )), donde α ^{p + q} =(−1) ^p . ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}-\alpha I_{p}&0\\0&\alpha I_{q}\end{pmatrix}}}$
• DIII: S = iI en U( n ) ⊂ SO(2 n ); esta elección equivale a . ${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}}$
• CI: S = iI en U( n ) ⊂ Sp( n ) = Sp( n , C ) ∩ U(2 n ); esta elección es equivalente a J _n .
• BDI: en SO( p )×SO(2). ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}}$

El subgrupo parabólico máximo P se puede describir explícitamente en estos casos clásicos. Para todo III

${\displaystyle \displaystyle {P(p,q)={\begin{pmatrix}A_{pp}&B_{pq}\\0&D_{qq}\end{pmatrix}}}}$

en SL( p + q , C ). P ( p , q ) es el estabilizador de un subespacio de dimensión p en C ^{p + q} .

Los otros grupos surgen como puntos fijos de involuciones. Sea J la matriz n × n con 1 en la antidiagonal y 0 en el resto y establezca

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

Entonces Sp( n , C ) es el subgrupo de punto fijo de la involución θ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ de SL(2 n , C ). SO( n , C ) se puede realizar como los puntos fijos de ψ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹ en SL( n , C ) donde B = J . Estas involuciones dejan invariante P ( n , n ) en los casos DIII y CI y P ( p ,2) en el caso BDI. Los correspondientes subgrupos parabólicos P se obtienen tomando los puntos fijos. El grupo compacto H actúa transitivamente sobre G / P , de modo que G / P = H / K .

Espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto

Definición

Como ocurre con los espacios simétricos en general, cada espacio simétrico hermitiano compacto H / K tiene un dual no compacto H ^* / K obtenido reemplazando H con el subgrupo de Lie real cerrado H ^* del complejo grupo de Lie G con álgebra de Lie.

${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {g}}.}$

Incrustación de Borel

Mientras que el mapa natural de H / K a G / P es un isomorfismo, el mapa natural de H ^* / K a G / P es solo una inclusión en un subconjunto abierto. Esta inclusión se llama incrustación de Borel en honor a Armand Borel . De hecho P ∩ H = K = P ∩ H *. Las imágenes de H y H * tienen la misma dimensión por lo que son abiertas. Como la imagen de H es compacta, por lo tanto cerrada, se deduce que H / K = G / P . ^[11]

Descomposición de Cartan

La descomposición polar en el grupo lineal complejo G implica la descomposición de Cartan H * = K ⋅ exp en H *. ^[12] ${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

Además, dada una subálgebra abeliana máxima en t, A = exp es un subgrupo toral tal que σ( a ) = a ⁻¹ en A ; y dos de ellos están conjugados por un elemento de K . Una afirmación similar es válida para . Además, si A * = exp , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}=i{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=KA^{*}K.}}$

Estos resultados son casos especiales de la descomposición de Cartan en cualquier espacio simétrico de Riemann y su dual. Las geodésicas que emanan del origen en los espacios homogéneos se pueden identificar con un grupo de parámetros con generadores en o . Resultados similares se aplican en el caso compacto: H = K ⋅ exp y H = KAK . ^[8] ${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

Las propiedades del subespacio A totalmente geodésico se pueden mostrar directamente. A está cerrado porque el cierre de A es un subgrupo toral que satisface σ( a ) = a ⁻¹ , por lo que su álgebra de Lie se encuentra en la maximalidad y, por tanto, es igual a ella . A puede generarse topológicamente mediante un solo elemento exp X , al igual que el centralizador de X in . En la órbita K de cualquier elemento de hay un elemento Y tal que (X,Ad k Y) se minimiza en k = 1. Si establece k = exp tT con T in , se deduce que ( X ,[ T , Y ] ) = 0 y por tanto [ X , Y ] = 0, por lo que Y debe estar en . Así es la unión de los conjugados de . En particular, algún conjugado de X reside en cualquier otra elección de , que centralice ese conjugado; entonces, por maximalidad, las únicas posibilidades son los conjugados de . ^[13] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

las descomposiciones

${\displaystyle \displaystyle {H=KAK,\,\,\,H=K\cdot \exp {\mathfrak {m}}}}$

se puede demostrar directamente aplicando el teorema de la rebanada para grupos de transformación compactos a la acción de K sobre H / K . ^[14] De hecho el espacio H / K se puede identificar con

${\displaystyle \displaystyle {M=\{\sigma (g)g^{-1}:g\in H\},}}$

una subvariedad cerrada de H , y la descomposición de Cartan sigue mostrando que M es la unión de kAk ⁻¹ para k en K . Dado que esta unión es la imagen continua de K × A , es compacta y conexa. Por tanto, basta con demostrar que la unión es abierta en M y para ello basta con demostrar que cada a en A tiene una vecindad abierta en esta unión. Ahora, al calcular las derivadas en 0, la unión contiene una vecindad abierta de 1. Si a es central, la unión es invariante bajo la multiplicación por a , por lo que contiene una vecindad abierta de a . Si a no es central, escribe a = b ² con b en A . Entonces τ = Ad b − Ad b ⁻¹ es un operador adjunto sesgado en anticonmutación con σ, que puede considerarse como un operador de calificación Z ₂ σ en . Por un argumento característico de Euler-Poincaré se deduce que la superdimensión de coincide con la superdimensión del núcleo de τ. En otras palabras, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}_{a}=\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}_{a},}}$

donde y son los subespacios fijados por Ad a . Sea el complemento ortogonal de in . Al calcular las derivadas, se deduce que Ad e ^X ( a e ^Y ), donde X se encuentra en e Y en , es una vecindad abierta de a en la unión. Aquí los términos a e ^Y se encuentran en la unión por el argumento de a central : de hecho a está en el centro del componente de identidad del centralizador de a que es invariante bajo σ y contiene A. ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$

La dimensión de se llama rango del espacio simétrico hermitiano. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Raíces fuertemente ortogonales

En el caso de los espacios simétricos hermitianos, Harish-Chandra dio una opción canónica para . Esta elección se determina tomando un toro máximo T de H en K con álgebra de Lie . Dado que la simetría σ se implementa mediante un elemento de T que se encuentra en el centro de H , los espacios de raíces en quedan invariantes por σ. Actúa como la identidad de los contenidos en y menos la identidad de los de . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$

Las raíces con espacios de raíces se llaman raíces compactas y aquellas con espacios de raíces se llaman raíces no compactas . (Esta terminología se origina en el espacio simétrico de tipo no compacto.) Si H es simple, el generador Z del centro de K puede usarse para definir un conjunto de raíces positivas, según el signo de α( Z ). Con esta elección de raíces y son la suma directa de los espacios de raíces sobre raíces no compactas positivas y negativas α. Los vectores raíz E _α se pueden elegir de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

${\displaystyle \displaystyle {X_{\alpha }=E_{\alpha }+E_{-\alpha },\,\,\,Y_{\alpha }=i(E_{\alpha }-E_{-\alpha })}}$

quedarse en cama . Las raíces simples α ₁ , ...., α _n son las raíces positivas indescomponibles. Estos se pueden numerar de modo que α _i desaparezca en el centro de for i , mientras que α ₁ no. Por tanto, α ₁ es la única raíz simple no compacta y las otras raíces simples son compactas. Cualquier raíz positiva no compacta tiene entonces la forma β = α ₁ + c ₂ α ₂ + ⋅⋅⋅ + c _n α _n con coeficientes no negativos c _i . Estos coeficientes conducen a un orden lexicográfico en raíces positivas. El coeficiente de α ₁ es siempre uno porque es irreducible para K, por lo que está abarcado por vectores obtenidos aplicando sucesivamente los operadores reductores E _–α para raíces compactas simples α. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

Se dice que dos raíces α y β son fuertemente ortogonales si ±α ±β no son raíces o cero, escrito α ≐ β. La raíz positiva más alta ψ ₁ no es compacta. Tome ψ ₂ como la raíz positiva no compacta más alta fuertemente ortogonal a ψ ₁ (para el orden lexicográfico). Luego continúe de esta manera tomando ψ _{i + 1} como la raíz positiva no compacta más alta fuertemente ortogonal a ψ ₁ , ..., ψ _i hasta que termine el proceso. Los vectores correspondientes

${\displaystyle \displaystyle {X_{i}=E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}}}$

Acuéstese y conmute por una fuerte ortogonalidad. Su alcance es la subálgebra abeliana máxima canónica de Harish-Chandra. ^[15] (Como demostró más tarde Sugiura, habiendo fijado T , el conjunto de raíces fuertemente ortogonales está determinado de forma única hasta la aplicación de un elemento en el grupo Weyl de K . ^[16] ) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

La maximalidad se puede verificar demostrando que si

${\displaystyle \displaystyle {[\sum c_{\alpha }E_{\alpha }+{\overline {c_{\alpha }}}E_{-\alpha },E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}]=0}}$

para todo i , entonces c _α = 0 para todas las raíces positivas no compactas α diferentes de las ψ _j . Esto se sigue mostrando inductivamente que si c _α ≠ 0, entonces α es fuertemente ortogonal a ψ ₁ , ψ ₂ , ... una contradicción. De hecho, la relación anterior muestra que ψ _i + α no puede ser una raíz; y que si ψ _i – α es una raíz, entonces necesariamente tendría la forma β – ψ _i . Si ψ _i – α fuera negativo, entonces α sería una raíz positiva mayor que ψ _i , fuertemente ortogonal a ψ _j con j < i , lo cual no es posible; de manera similar si β – ψ _i fuera positivo.

Teorema de la poliesfera y el polidisco

La elección canónica de Harish-Chandra conduce a un teorema de polidisco y poliesfera en H */ K y H / K . Este resultado reduce la geometría a productos del ejemplo prototípico que involucra SL(2, C ), SU(1,1) y SU(2), es decir, el disco unitario dentro de la esfera de Riemann. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

En el caso de H = SU(2) la simetría σ viene dada por la conjugación de la matriz diagonal con entradas ± i de modo que

${\displaystyle \displaystyle {\sigma {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}}$

El subgrupo de puntos fijos es el toro máximo T , las matrices diagonales con entradas e ^{± it} . SU(2) actúa sobre la esfera de Riemann transitivamente mediante transformaciones de Möbius y T es el estabilizador de 0. SL(2, C ), la complejización de SU(2), también actúa mediante transformaciones de Möbius y el estabilizador de 0 es el subgrupo B de matrices triangulares inferiores. El subgrupo no compacto SU(1,1) actúa exactamente con tres órbitas: el disco unitario abierto | z | < 1; el círculo unitario z = 1; y su exterior | z | > 1. Así ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {SU} (1,1)/\mathbf {T} =\{z:|z|<1\}\,\,\,\subset \,\,\,B_{+}/\mathbf {T} _{\mathbb {C} }=\mathbb {C} \,\,\,\subset \,\,\,\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )/B=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}}$

donde B ₊ y T _C denotan los subgrupos de matrices triangulares y diagonales superiores en SL(2, C ). El término medio es la órbita de 0 bajo las matrices unitarias superiores.

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}}.}}$

Ahora, para cada raíz ψ _i hay un homomorfismo de π _i de SU(2) en H que es compatible con las simetrías. Se extiende únicamente a un homomorfismo de SL(2, C ) en G . Las imágenes de las álgebras de Lie para diferentes ψ _i conmutan ya que son fuertemente ortogonales. Por tanto, existe un homomorfismo π del producto directo SU(2) ^r en H compatible con las simetrías. Se extiende a un homomorfismo de SL(2, C ) ^r en G . El núcleo de π está contenido en el centro (±1) ^r de SU(2) ^r que está fijado puntualmente por la simetría. Entonces la imagen del centro bajo π está en K . Por lo tanto, hay una incrustación de la poliesfera (SU(2)/T) ^r en H / K = G / P y la poliesfera contiene el polidisco (SU(1,1)/T) ^r . La poliesfera y el polidisco son el producto directo de r copias de la esfera de Riemann y el disco unitario. Por las descomposiciones de Cartan en SU(2) y SU(1,1), la poliesfera es la órbita de T _r A en H / K y el polidisco es la órbita de T _r A *, donde T _r = π( T ^r ) ⊆ K . Por otro lado, H = KAK y H * = K A * K .

Por tanto, cada elemento en el espacio simétrico hermitiano compacto H / K está en la órbita K de un punto de la poliesfera; y cada elemento de la imagen bajo la incrustación de Borel del espacio simétrico hermitiano no compacto H * / K está en la órbita K de un punto del polidisco. ^[17]

Incrustación de Harish-Chandra

H * / K , el espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto, se encuentra en la imagen de , un subconjunto abierto denso de H / K biholomórfico a . El dominio correspondiente está acotado. Esta es la incorporación de Harish-Chandra que lleva el nombre de Harish-Chandra . ${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

De hecho, Harish-Chandra mostró las siguientes propiedades del espacio : ${\displaystyle \mathbf {X} =\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot K_{\mathbb {C} }\cdot \exp({\mathfrak {m}}_{-})=\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot P}$

1. Como espacio, X es el producto directo de los tres factores.
2. X está abierto en G .
3. X es denso en G .
4. X contiene H *.
5. La clausura de H */ K en X / P = es compacta. ${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$

De hecho, son grupos abelianos complejos normalizados por K _C . Es más, desde . ${\displaystyle M_{\pm }=\exp {\mathfrak {m}}_{\pm }}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{+},{\mathfrak {m}}_{-}]\subset {\mathfrak {k}}_{\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {k}}}$

Esto implica P ∩ M ₊ = {1}. Porque si x = e ^X con X in se encuentra en P , debe normalizar M ₋ y por tanto . Pero si Y está en , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {Y=\mathrm {Ad} (X)\cdot Y=Y+[X,Y]+{1 \over 2}[X,[X,Y]]\in {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}_{-},}}$

de modo que X conmuta con . Pero si X conmuta con cada espacio raíz no compacto, debe ser 0, entonces x = 1. Se deduce que el mapa de multiplicación μ en M ₊ × P es inyectivo, por lo que se sigue (1). De manera similar, la derivada de μ en ( x , p ) es ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(X,Y)=\mathrm {Ad} (p^{-1})X+Y=\mathrm {Ad} (p^{-1})(X\oplus \mathrm {Ad} (p)Y),}}$

que es inyectivo, por lo que sigue (2). Para el caso especial H = SU(2), H * = SU(1,1) y G = SL(2, C ), las afirmaciones restantes son consecuencias de la identificación con la esfera de Riemann, C y el disco unitario. Se pueden aplicar a los grupos definidos para cada raíz ψ _i . Según el teorema de la poliesfera y el polidisco, H */ K , X / P y H / K son la unión de los K -traducidos del polidisco, C ^r y la poliesfera. Entonces H * está en X , la clausura de H */ K es compacta en X / P , que a su vez es densa en H / K .

Tenga en cuenta que (2) y (3) también son consecuencias del hecho de que la imagen de X en G / P es la de la celda grande B ₊ B en la descomposición de Gauss de G. ^[18]

Utilizando resultados sobre el sistema de raíces restringido de los espacios simétricos H / K y H */ K , Hermann demostró que la imagen de H */ K in es un disco unitario generalizado. De hecho, es el conjunto convexo de X para el cual la norma del operador de ad Im X es menor que uno. ^[19] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

Dominios simétricos acotados

Se dice que un dominio acotado Ω en un espacio vectorial complejo es un dominio simétrico acotado si para cada x en Ω , existe un biholomorfismo involutivo σ _x de Ω para el cual x es un punto fijo aislado. La incrustación de Harish-Chandra exhibe cada espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto H * / K como un dominio simétrico acotado. El grupo de biholomorfismo de H ^* / K es igual a su grupo de isometría H ^* .

Por el contrario, todo dominio simétrico acotado surge de esta manera. De hecho, dado un dominio simétrico acotado Ω , el núcleo de Bergman define una métrica en Ω , la métrica de Bergman , para la cual cada biholomorfismo es una isometría. Esto realiza Ω como un espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto. ^[20]

Clasificación

Los dominios simétricos acotados irreducibles se denominan dominios de Cartan y se clasifican de la siguiente manera.

Dominios clásicos

En los casos clásicos (I-IV), el grupo no compacto se puede realizar mediante matrices de bloques de 2 × 2 ^[21]

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}}$

actuando por transformaciones de Möbius generalizadas

${\displaystyle \displaystyle {g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}}$

El teorema del polidisco toma la siguiente forma concreta en los casos clásicos: ^[22]

• Tipo I _pq ( p ≤ q ): para cada matriz p × q M existen matrices unitarias tales que UMV es diagonal. De hecho, esto se desprende de la descomposición polar de matrices p × p .
• Tipo III _n : para cada matriz M n × n simétrica compleja existe una matriz unitaria U tal que UMU ^t es diagonal. Esto lo demuestra un argumento clásico de Siegel . Tome V unitario de modo que V * M * MV sea diagonal. Entonces V ^t MV es simétrico y sus partes real e imaginaria conmutan. Como son matrices simétricas reales, pueden ser diagonalizadas simultáneamente por una matriz ortogonal real W. Entonces UMU ^t es diagonal si U = WV ^t .
• Tipo II _n : para cada matriz M simétrica sesgada compleja de n × n existe una matriz unitaria tal que UMU ^t está formada por bloques diagonales y un cero si n es impar. Como en el argumento de Siegel, esto se puede reducir al caso en que las partes real e imaginaria de M conmutan. Cualquier matriz sesgada-simétrica real se puede reducir a la forma canónica dada mediante una matriz ortogonal y esto se puede hacer simultáneamente para conmutar matrices. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$
• Tipo IV _n : mediante una transformación en SO( n ) × SO(2) cualquier vector se puede transformar de modo que todas las coordenadas, excepto las dos primeras, sean distintas de cero.

Componentes de límites

El grupo no compacto H * actúa sobre el complejo espacio simétrico hermitiano H / K = G / P con solo un número finito de órbitas. La estructura de la órbita se describe en detalle en Wolf (1972). En particular, el cierre del dominio acotado H */ K tiene una órbita cerrada única, que es el límite de Shilov del dominio. En general las órbitas son uniones de espacios simétricos hermitianos de menor dimensión. La teoría de funciones complejas de los dominios, en particular el análogo de las fórmulas integrales de Cauchy , se describe para los dominios de Cartan en Hua (1979). El cierre del dominio acotado es la compactación de Baily-Borel de H */ K . ^[23]

La estructura de límites se puede describir utilizando transformadas de Cayley . Para cada copia de SU(2) definida por una de las raíces no compactas ψ _i , hay una transformada de Cayley ci _que , como transformación de Möbius, asigna el disco unitario al semiplano superior. Dado un subconjunto I de índices de la familia fuertemente ortogonal ψ ₁ , ..., ψ _r , la transformada parcial de Cayley c _I se define como el producto de los c _i con i en I en el producto de los grupos π _i . Sea G ( I ) el centralizador de este producto en G y H *( I ) = H * ∩ G ( I ). Dado que σ deja invariante a H *( I ), existe un espacio simétrico hermitiano correspondiente M _I H *( I )/ H *( I )∩ K ⊂ H */ K = M . El componente límite para el subconjunto I es la unión de los K -traducidos de c _I M _I . Cuando I es el conjunto de todos los índices, MI es un único punto y el componente límite es el límite de Shilov _. Además, M _I está en la clausura de M _J si y sólo si I ⊇ J . ^[24]

Propiedades geométricas

Todo espacio simétrico hermitiano es una variedad de Kähler . Pueden definirse de manera equivalente como espacios simétricos de Riemann con una estructura compleja paralela respecto de la cual la métrica de Riemann es hermitiana . La estructura compleja es preservada automáticamente por el grupo de isometría H de la métrica, por lo que cualquier espacio simétrico hermitiano M es una variedad compleja homogénea. Algunos ejemplos son los espacios vectoriales complejos y los espacios proyectivos complejos , con sus habituales métricas hermitianas y métricas de Fubini-Study , y las bolas unitarias complejas con métricas adecuadas para que se vuelvan completas y simétricas de Riemann. Los espacios simétricos hermitianos compactos son variedades proyectivas , y admiten un grupo de Lie G estrictamente mayor de biholomorfismos con respecto al cual son homogéneos: de hecho, son variedades bandera generalizadas , es decir, G es semisimple y el estabilizador de un punto es una parabólica. subgrupo P de G . Entre las variedades de banderas generalizadas (complejas) G / P , se caracterizan por ser aquellas en las que el radical nil del álgebra de Lie de P es abeliano. Por tanto, están contenidos dentro de la familia de espacios R simétricos que, a la inversa, comprende los espacios simétricos hermitianos y sus formas reales. Los espacios simétricos hermitianos no compactos se pueden realizar como dominios acotados en espacios vectoriales complejos.

Álgebras de Jordania

Aunque los espacios simétricos hermitianos clásicos se pueden construir mediante métodos ad hoc, los sistemas triples de Jordan , o equivalentemente pares de Jordan, proporcionan un medio algebraico uniforme para describir todas las propiedades básicas relacionadas con un espacio simétrico hermitiano de tipo compacto y su dual no compacto. Esta teoría se describe en detalle en Koecher (1969) y Loos (1977) y se resume en Satake (1981). El desarrollo es en orden inverso al que utiliza la teoría de la estructura de grupos compactos de Lie. Su punto de partida es el espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto realizado como un dominio simétrico acotado. Puede describirse en términos de un par de Jordan o un sistema triple de Jordan hermitiano . Esta estructura de álgebra de Jordan se puede utilizar para reconstruir el espacio simétrico hermitiano dual de tipo compacto, incluidas en particular todas las álgebras de Lie y grupos de Lie asociados.

La teoría es más fácil de describir cuando el espacio simétrico hermitiano compacto irreducible es de tipo tubular. En ese caso, el espacio está determinado por un álgebra de Lie real simple con forma Killing definida negativa. Debe admitir una acción de SU(2) que sólo actúa a través de la representación trivial y adjunta, ocurriendo ambos tipos. Como es simple, esta acción es interna, por lo que se implementa mediante la inclusión del álgebra de Lie de SU(2) en . La complejización de se descompone como una suma directa de tres espacios propios para las matrices diagonales en SU(2). Es un álgebra de Lie compleja de tres grados, en la que el elemento del grupo Weyl de SU(2) proporciona la involución. Cada uno de los espacios propios ±1 tiene la estructura de un álgebra de Jordan compleja unital que surge explícitamente como la complejización de un álgebra de Jordan euclidiana. Se puede identificar con el espacio de multiplicidad de la representación adjunta de SU(2) en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La descripción de espacios simétricos hermitianos irreducibles de tipo tubo parte de un álgebra euclidiana de Jordan simple E. Admite marcos de Jordan , es decir, conjuntos de idempotentes mínimos ortogonales e ₁ ,..., e _m . Dos cualesquiera están relacionados por un automorfismo de E , de modo que el número entero m es un invariante llamado rango de E. Además, si A es la complejización de E , tiene un grupo de estructura unitaria . Es un subgrupo de GL( A ) que preserva el producto interno complejo natural en A. Cualquier elemento a en A tiene una descomposición polar a = u Σ α _i a _i con α _i ≥ 0 . La norma espectral está definida por ||a|| = sup α _yo . El dominio simétrico acotado asociado es simplemente la bola unitaria abierta D en A. Hay un biholomorfismo entre D y el dominio del tubo T = E + iC donde C es el cono convexo autodual abierto de elementos en E de la forma a = u Σ α _i a _i con u un automorfismo de E y α _i > 0. Esto da dos descripciones del espacio simétrico hermitiano de tipo no compacto. Existe una forma natural de utilizar mutaciones del álgebra de Jordan A para compactar el espacio A. La compactificación X es una variedad compleja y el álgebra de Lie de dimensión finita de campos vectoriales holomórficos en X se puede determinar explícitamente. Se pueden definir grupos de parámetros de biholomorfismos de modo que los campos vectoriales holomórficos correspondientes abarquen . Esto incluye el grupo de todas las transformaciones complejas de Möbius correspondientes a matrices en SL(2, C ). El subgrupo SU(1,1) deja invariante la bola unitaria y su cierre. El subgrupo SL(2, R ) deja invariante el dominio del tubo y su cierre. La transformada de Cayley habitual y su inversa, que asigna el disco unitario en C al semiplano superior, establece aplicaciones análogas entre D y T. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. El polidisco corresponde a las subálgebras de Jordan reales y complejas generadas por un marco de Jordan fijo. Admite una acción transitiva de SU(2) ^m y esta acción se extiende hasta X . El grupo G generado por los grupos de biholomorfismos de un parámetro actúa fielmente sobre . El subgrupo generado por el componente de identidad K del grupo de estructura unitaria y los operadores en SU(2) ^m . Define un grupo de Lie compacto H que actúa transitivamente sobre X. Por tanto, H / K es el correspondiente espacio simétrico hermitiano de tipo compacto. El grupo G se puede identificar con la complejización de H. El subgrupo H * que deja invariante a D es una forma real no compacta de G. Actúa transitivamente sobre D de modo que H * / K es el espacio simétrico hermitiano dual de tipo no compacto. Las inclusiones D ⊂ A ⊂ X reproducen las incrustaciones de Borel y Harish-Chandra. La clasificación de los espacios simétricos hermitianos de tipo tubo se reduce a la de las álgebras euclidianas simples de Jordan. Estos fueron clasificados por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) en términos de álgebras euclidianas de Hurwitz , un tipo especial de álgebra de composición . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En general, un espacio simétrico hermitiano da lugar a un álgebra de Lie de 3 grados con un automorfismo lineal conjugado de período 2 que cambia las partes de grado ±1 y conserva la parte de grado 0. Esto da lugar a la estructura de un par de Jordan o sistema triple de Jordan hermitiano , al que Loos (1977) extendió la teoría de las álgebras de Jordan. Todos los espacios simétricos hermitianos irreductibles pueden construirse uniformemente dentro de este marco. Koecher (1969) construyó el espacio simétrico hermitiano irreducible de tipo no tubular a partir de un álgebra euclidiana de Jordan simple junto con un automorfismo de período 2. El espacio propio −1 del automorfismo tiene la estructura de un par de Jordan, que puede deducirse de la del álgebra de Jordan más grande. En el caso del tipo no tubular correspondiente a un dominio de Siegel de tipo II, no se distingue un subgrupo de transformaciones de Möbius reales o complejas. Para espacios simétricos hermitianos irreducibles, el tipo de tubo se caracteriza por que la dimensión real del límite de Shilov S es igual a la dimensión compleja de D.

Ver también

• Cono convexo invariante

Notas

1. Knapp 1972
2. lobo 2010
3. Ver:
   • Helgason 1978
   • lobo 2010
4. Kobayashi y Nomizu 1996, págs. 149-150
5. Kobayashi y Nomizu 1996, págs. 261–262
6. Ver:
   • lobo 2010
   • Helgason 1978, pág. 378
7. Ver:
   • Helgason 1978, págs. 378–379
   • lobo 2010
8. Helgason 1978
9. Mok 1989
10. Helgason 1978, págs. 444–447, 451–455
11. Ver:
    • Borel 1952
    • Helgason 1978
12. Dieudonné 1977
13. Helgason 1978, pag. 248
14. Ver:
    • Duistermaat & Kolk 2000
    • Bourbaki 1981, págs. 35-36
    • Bourbaki 1982, págs. 8-9
15. Ver:
    • Helgason 1978, págs. 375–387
    • Lobo 1972
    • Mok 1989, págs. 88–94
16. Agaoka y Kaneda 2002
17. Ver:
    • Lobo 1972
    • Helgason 1978
    & Mok 1989, págs. 88–94
18. Ver:
    • Helgason 1978, págs. 382–396
    • Lobo 1972, pág. 281
    • Mok 1989
19. Ver:
    • Lobo 1972, págs. 284–286
    • Mok 1989, pág. 98
20. Ver:
    • Helgason 1978
    • Lobo 1972
    • Mok 1989
21. Ver:
    • Borel 1952
    • Lobo 1972, págs. 321–331
    • Mok 1989, págs. 61–80
22. Ver:
    • Siegel 1943, págs. 14-15
    • Mok 1989, págs. 61–80
23. Borel y Ji 2006, págs. 77–91
24. Lobo 1972, págs. 286-293

Referencias

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• Wolf, Joseph A. (2010), Espacios de curvatura constante , AMS Chelsea Publishing (6ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0821852828. El capítulo 8 contiene una descripción independiente de los espacios simétricos hermitianos de tipo compacto.
• Wolf, Joseph A. (1972), "Estructura fina de espacios simétricos hermitianos", en Boothby, William; Weiss, Guido (eds.), Espacios simétricos (Cursos cortos, Universidad de Washington) , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 8, Dekker, págs. 271–357. Contiene una descripción detallada de los espacios simétricos hermitianos de tipo no compacto.