En álgebra , un sistema triple (o ternar ) es un espacio vectorial V sobre un cuerpo F junto con una función F -trilineal.
Los ejemplos más importantes son los sistemas triples de Lie y los sistemas triples de Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949 para estudiar subespacios de álgebras asociativas cerradas bajo conmutadores triples [[ u , v ], w ] y anticonmutadores triples { u , { v , w }}. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de espacios simétricos , particularmente espacios simétricos hermíticos y sus generalizaciones ( R-espacios simétricos y sus duales no compactos).
Sistemas triples de mentiras
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si la función trilineal, denotada , satisface las siguientes identidades:
Las dos primeras identidades abstraen la simetría oblicua y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que la función lineal L u , v : V → V , definida por L u , v ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del producto triple. La identidad también muestra que el espacio k = span {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador, por lo tanto, es un álgebra de Lie.
Escribiendo m en lugar de V , se deduce que
se puede convertir en un álgebra de Lie graduada, la incrustación estándar de m , con corchetes
La descomposición de g es claramente una descomposición simétrica para este corchete de Lie y, por lo tanto, si G es un grupo de Lie conexo con álgebra de Lie g y K es un subgrupo con álgebra de Lie k , entonces G / K es un espacio simétrico .
Por el contrario, dada un álgebra de Lie g con una descomposición simétrica (es decir, es el álgebra de Lie de un espacio simétrico), el triple corchete [[ u , v ], w ] convierte a m en un sistema triple de Lie.
Sistemas triples de Jordan
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Jordan si la función trilineal, denotada {.,.,.}, satisface las siguientes identidades:
La primera identidad abstrae la simetría del triple anticonmutador, mientras que la segunda identidad significa que si L u , v : V → V está definida por L u , v ( y ) = { u , v , y } entonces
de modo que el espacio de aplicaciones lineales abarca {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador, y por lo tanto es un álgebra de Lie g 0 .
Cualquier sistema triple de Jordan es un sistema triple de Lie con respecto al producto
Se dice que un sistema triple de Jordan es definido positivo (resp. no degenerado ) si la forma bilineal en V definida por la traza de L u , v es definida positiva (resp. no degenerada). En cualquier caso, hay una identificación de V con su espacio dual y una involución correspondiente en g 0 . Inducen una involución de
que en el caso definido positivo es una involución de Cartan. El espacio simétrico correspondiente es un R-espacio simétrico . Tiene un dual no compacto dado al reemplazar la involución de Cartan por su compuesto con la involución igual a +1 en g 0 y −1 en V y V * . Un caso especial de esta construcción surge cuando g 0 conserva una estructura compleja en V . En este caso obtenemos espacios simétricos hermíticos duales de tipo compacto y no compacto (siendo estos últimos dominios simétricos acotados ).
Par de jordania
Un par de Jordan es una generalización de un sistema triple de Jordan que involucra dos espacios vectoriales V + y V− . La función trilineal se reemplaza luego por un par de funciones trilineales .
que a menudo se consideran como aplicaciones cuadráticas V + → Hom( V − , V + ) y V − → Hom( V + , V − ). El otro axioma de Jordan (aparte de la simetría) también se reemplaza por dos axiomas, uno de los cuales es
y el otro es el análogo con los subíndices + y − intercambiados.
Como en el caso de los sistemas triples de Jordan, se puede definir, para u en V − y v en V + , una función lineal
y de manera similar L − . Los axiomas de Jordan (aparte de la simetría) pueden entonces escribirse
lo que implica que las imágenes de L + y L− están cerradas bajo corchetes conmutadores en End( V + ) y End( V− ). Juntas determinan una función lineal
cuya imagen es una subálgebra de Lie , y las identidades de Jordan se convierten en identidades de Jacobi para un soporte de Lie graduado en
De modo que, por el contrario, si
es un álgebra de Lie graduada, entonces el par es un par de Jordan, con corchetes
Los sistemas triples de Jordan son pares de Jordan con V + = V − y funciones trilineales iguales. Otro caso importante ocurre cuando V + y V − son duales entre sí, con funciones trilineales duales determinadas por un elemento de
Estos surgen en particular cuando lo anterior es semisimple, cuando la forma Killing proporciona una dualidad entre y .
Véase también
Referencias
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