En matemáticas, un dominio de Siegel o dominio de Piatetski-Shapiro es un subconjunto abierto especial del espacio afín complejo que generaliza el semiplano superior de Siegel estudiado por Siegel (1939). Fueron introducidos por Piatetski-Shapiro (1959, 1969) en su estudio de dominios homogéneos acotados.
Un dominio de Siegel de primera clase (o primer tipo, o género 1) es el subconjunto abierto de C m de elementos z tal que
donde V es un cono convexo abierto en R m . Estos son casos especiales de dominios de tubo . Un ejemplo es el semiplano superior de Siegel , donde V ⊂ R k ( k + 1)/2 es el cono de formas cuadráticas definidas positivas en R k y m = k ( k + 1)/2 .
Un dominio de Siegel de segundo tipo (o segundo tipo, o género 2), también llamado dominio de Piatetski-Shapiro, es el subconjunto abierto de C m × C n de elementos ( z , w ) tales que
donde V es un cono convexo abierto en R m y F es una forma hermítica de valor V en C n . Si n = 0, este es un dominio de Siegel del primer tipo.
Un dominio de Siegel de tercer tipo (o tercer tipo, o género 3) es el subconjunto abierto de C m × C n × C k de elementos ( z , w , t ) tales que
donde V es un cono convexo abierto en R m y L t es una forma semihermítica de valor V en C n .
Un dominio acotado es un subconjunto acotado, abierto y conexo de un espacio afín complejo. Se denomina homogéneo si su grupo de automorfismos actúa transitivamente, y se denomina simétrico si para cada punto hay un automorfismo que actúa como –1 en el espacio tangente. Los dominios simétricos acotados son homogéneos.
Élie Cartan clasificó los dominios homogéneos acotados en dimensión como máximo 3 (salvo isomorfismo), mostrando que todos ellos son espacios simétricos hermíticos . Hay 1 en dimensión 1 (la bola unidad), dos en dimensión 2 (el producto de dos bolas complejas unidimensionales o una bola compleja bidimensional). Preguntó si todos los dominios homogéneos acotados son simétricos. Piatetski-Shapiro (1959, 1959b) respondió a la pregunta de Cartan encontrando un dominio de Siegel de tipo 2 en 4 dimensiones que es homogéneo y biholomorfo a un dominio acotado pero no simétrico. En dimensiones al menos 7 hay infinitas familias de dominios homogéneos acotados que no son simétricos.
E. B. Vinberg, SG Gindikin y II Piatetski-Shapiro (1963) demostraron que cada dominio homogéneo acotado es biholomorfo a un dominio de Siegel de tipo 1 o 2.
Wilhelm Kaup, Yozô Matsushima y Takushiro Ochiai (1970) describieron los isomorfismos de los dominios de Siegel de los tipos 1 y 2 y el álgebra de Lie de los automorfismos de un dominio de Siegel. En particular, dos dominios de Siegel son isomorfos si y solo si son isomorfos por una transformación afín.
Supóngase que G es el álgebra de Lie de un grupo transitivo conexo de automorfismos analíticos de un dominio homogéneo acotado X , y sea K la subálgebra que fija un punto x . Entonces la estructura casi compleja j sobre X induce un endomorfismo de espacio vectorial j de G tal que
Una j -álgebra es un álgebra de Lie G con un subálgebra K y una aplicación lineal j que satisface las propiedades anteriores.
El álgebra de Lie de un grupo de Lie conexo que actúa transitivamente sobre un dominio homogéneo acotado es una j -álgebra, lo que no sorprende, ya que las j -álgebras se definen con las propiedades obvias de tales álgebras de Lie. La inversa también es cierta: cualquier j -álgebra es el álgebra de Lie de algún grupo transitivo de automorfismos de un dominio homogéneo acotado. Esto no da una correspondencia 1:1 entre dominios homogéneos acotados y j -álgebras, porque un dominio homogéneo acotado puede tener varios grupos de Lie diferentes que actúen transitivamente sobre él.
