En el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , el grupo de monstruos M (también conocido como monstruo de Fischer-Griess o el gigante amigable ) es el grupo simple esporádico más grande , con orden
2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000
≈ 8 × 1053 .
Los grupos finitos simples han sido completamente clasificados . Cada uno de estos grupos pertenece a una de las 18 familias infinitas contables o es uno de los 26 grupos esporádicos que no siguen un patrón tan sistemático. El grupo de monstruos contiene 20 grupos esporádicos (incluido él mismo) como subcocientes . Robert Griess , que demostró la existencia del monstruo en 1982, calificó a esos 20 grupos de familia feliz , y a las seis excepciones restantes, de parias .
Es difícil dar una buena definición constructiva del monstruo debido a su complejidad. Martin Gardner escribió un relato popular del grupo de monstruos en su columna Mathematical Games de junio de 1980 en Scientific American . [1]
El monstruo fue predicho por Bernd Fischer (inédito, alrededor de 1973) y Robert Griess [2] como un grupo simple que contenía una doble portada del grupo de monstruos bebés de Fischer como centralizador de una involución . En unos pocos meses, Griess encontró el orden de M utilizando la fórmula del orden de Thompson , y Fischer, Conway , Norton y Thompson descubrieron otros grupos como subcocientes, incluidos muchos de los grupos esporádicos conocidos, y dos nuevos: el grupo Thompson y el grupo Harada-Norton . La tabla de caracteres del monstruo, una matriz de 194 por 194, fue calculada en 1979 por Fischer y Donald Livingstone utilizando programas informáticos escritos por Michael Thorne. En la década de 1970 no estaba claro si el monstruo realmente existía. Griess [3] construyó M como el grupo de automorfismos del álgebra de Griess , un álgebra conmutativa no asociativa de 196.884 dimensiones sobre los números reales; Anunció su construcción por primera vez en Ann Arbor el 14 de enero de 1980. En su artículo de 1982, se refirió al monstruo como el Gigante Amistoso, pero este nombre no ha sido adoptado en general. John Conway [4] y Jacques Tetas [5] [6] simplificaron posteriormente esta construcción.
La construcción de Griess demostró que el monstruo existe. Thompson [7] demostró que su unicidad (como un grupo simple que satisface ciertas condiciones provenientes de la clasificación de grupos finitos simples) se derivaría de la existencia de una representación fiel de 196,883 dimensiones . Norton [8] anunció una prueba de la existencia de tal representación , aunque nunca publicó los detalles. Griess, Meierfrankenfeld y Segev dieron la primera prueba completa publicada de la unicidad del monstruo (más precisamente, demostraron que un grupo con los mismos centralizadores de involuciones que el monstruo es isomorfo al monstruo). [9]
El monstruo fue la culminación del desarrollo de grupos simples esporádicos y puede construirse a partir de dos de tres subcocientes: el grupo Fischer Fi 24 , el bebé monstruo y el grupo Conway Co 1 .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismo externo del monstruo son ambos triviales .
El grado mínimo de una representación compleja fiel es 47 × 59 × 71 = 196,883, por lo tanto, es el producto de los tres divisores primos más grandes del orden de M. La representación lineal fiel más pequeña sobre cualquier campo tiene dimensión 196,882 sobre el campo con dos elementos. , sólo uno menos que la dimensión de la representación compleja fiel más pequeña.
La representación de permutación fiel más pequeña del monstruo está en 2 4 · 3 7 · 5 3 · 7 4 · 11 · 13 2 · 29 · 41 · 59 · 71 (aproximadamente 10 20 ) puntos.
El monstruo puede representarse como un grupo de Galois sobre los números racionales [ 10] y como un grupo de Hurwitz . [11]
El monstruo es inusual entre los grupos simples porque no se conoce una manera fácil de representar sus elementos. Esto no se debe tanto a su tamaño como a la ausencia de representaciones "pequeñas". Por ejemplo, los grupos simples A 100 y SL 20 (2) son mucho más grandes pero fáciles de calcular ya que tienen permutaciones "pequeñas" o representaciones lineales. Los grupos alternos , como A 100 , tienen representaciones de permutación que son "pequeñas" en comparación con el tamaño del grupo, y todos los grupos finitos simples de tipo Lie , como SL 20 (2), tienen representaciones lineales que son "pequeñas" en comparación. al tamaño del grupo. Todos los grupos esporádicos distintos del monstruo también tienen representaciones lineales lo suficientemente pequeñas como para que sea fácil trabajar con ellos en una computadora (el siguiente caso más difícil después del monstruo es el monstruo bebé, con una representación de dimensión 4370).
Martin Seysen ha implementado un paquete rápido de Python llamado mmgroup, que afirma ser la primera implementación del grupo monstruo donde se pueden realizar operaciones arbitrarias de manera efectiva. La documentación afirma que la multiplicación de elementos de grupo toma menos de 40 milisegundos en una PC moderna típica, lo cual es cinco órdenes de magnitud más rápido de lo estimado por Robert A. Wilson en 2013. [12] [13] [14] [15] El mmgroup Se ha utilizado un paquete de software para encontrar dos nuevos subgrupos máximos del grupo de monstruos. [dieciséis]
Anteriormente, Robert A. Wilson había encontrado explícitamente (con la ayuda de una computadora) dos matrices invertibles de 196.882 por 196.882 (con elementos en el campo de orden 2 ) que juntas generan el grupo de monstruos mediante multiplicación de matrices; esto es una dimensión menor que la representación de 196.883 dimensiones en la característica 0. Fue posible realizar cálculos con estas matrices, pero es demasiado costoso en términos de tiempo y espacio de almacenamiento para ser útil, ya que cada una de estas matrices ocupa más de cuatro y medio gigabytes. [17]
Wilson afirma que la mejor descripción del monstruo es decir: "Es el grupo de automorfismos del álgebra de vértices del monstruo ". Sin embargo, esto no es de mucha ayuda, porque nadie ha encontrado una "construcción realmente simple y natural del álgebra de vértices del monstruo". [18]
Wilson y sus colaboradores encontraron un método para realizar cálculos con el monstruo que era considerablemente más rápido, aunque ahora reemplazado por el trabajo de Seysen antes mencionado. Sea V un espacio vectorial de 196,882 dimensiones sobre el campo con 2 elementos. Se selecciona un subgrupo H grande (preferiblemente un subgrupo máximo) del Monster en el que sea fácil realizar cálculos. El subgrupo H elegido es el 3 1+12 .2.Suz.2, donde Suz es el grupo Suzuki . Los elementos del monstruo se almacenan como palabras en los elementos de H y en un generador adicional T. Es razonablemente rápido calcular la acción de una de estas palabras sobre un vector en V. Usando esta acción, es posible realizar cálculos (como el orden de un elemento del monstruo). Wilson ha exhibido vectores u y v cuyo estabilizador conjunto es el grupo trivial. Así (por ejemplo) se puede calcular el orden de un elemento g del monstruo encontrando el más pequeño i > 0 tal que g i u = u y g i v = v . Esta y otras construcciones similares (en diferentes características ) se utilizaron para encontrar algunos de los subgrupos máximos no locales del grupo de monstruos.
El grupo de monstruos es uno de los dos componentes principales de la monstruosa conjetura de la luz de la luna de Conway y Norton, [19] que relaciona las matemáticas discretas y no discretas y fue finalmente demostrada por Richard Borcherds en 1992.
En este entorno, el grupo de monstruos es visible como el grupo de automorfismos del módulo de monstruos , un álgebra de operador de vértice , un álgebra de dimensión infinita que contiene el álgebra de Griess, y actúa sobre el álgebra de Lie del monstruo , un álgebra de Kac-Moody generalizada .
Muchos matemáticos, incluido Conway, han visto al monstruo como un objeto hermoso y aún misterioso. [20] Conway dijo sobre el grupo de monstruos: "Nunca ha habido ningún tipo de explicación de por qué está allí, y obviamente no está allí solo por coincidencia. Tiene demasiadas propiedades intrigantes para que todo sea solo un accidente". [21] Se cita a Simon P. Norton , un experto en las propiedades del grupo de monstruos, diciendo: "Puedo explicar qué es Monstrous Moonshine en una frase: es la voz de Dios". [22]
También hay conexiones entre el monstruo y los diagramas Dynkin extendidos , específicamente entre los nodos del diagrama y ciertas clases de conjugación en el monstruo, conocida como observación E 8 de McKay . [23] [24] [25] Esto luego se extiende a una relación entre los diagramas extendidos y los grupos 3.Fi 24 ′, 2.B y M, donde estos son (extensiones centrales de 3/2/1 pliegues) del grupo Fischer , grupo de monstruos bebés y monstruo. Estos son los grupos esporádicos asociados con centralizadores de elementos de tipo 1A, 2A y 3A en el monstruo, y el orden de extensión corresponde a las simetrías del diagrama. Véase Clasificación ADE: trinidades para conexiones adicionales (del tipo de correspondencia de McKay ), incluido (para el monstruo) con el grupo simple bastante pequeño PSL (2,11) y con los 120 planos tritangentes de una curva sextica canónica de género 4 conocida como Bring's. curva .
El monstruo tiene 46 clases de conjugación de subgrupos máximos . [16] Los grupos simples no abelianos de unos 60 tipos de isomorfismos se encuentran como subgrupos o como cocientes de subgrupos. El grupo alterno más grande representado es A 12 . El monstruo contiene 20 de los 26 grupos esporádicos como subcocientes. Este diagrama, basado en uno del libro Symmetry and the Monster de Mark Ronan , muestra cómo encajan. [26] Las líneas significan la inclusión, como subcociente, del grupo inferior por el superior. Los símbolos encerrados en un círculo indican grupos que no participan en grupos esporádicos más grandes. En aras de la claridad, no se muestran inclusiones redundantes.
Las 46 clases de subgrupos máximos del monstruo se dan en la siguiente lista. Trabajo anterior inédito de Wilson et. al había pretendido descartar cualquier subgrupo casi simple con zócalos simples no abelianos de la forma U 3 (4), L 2 (8) y L 2 (16). [27] [28] [29] Sin embargo, Dietrich et al. contradijeron esto último, quienes encontraron un nuevo subgrupo máximo de la forma U 3 (4). Los mismos autores habían encontrado previamente un nuevo subgrupo máximo de la forma L 2 (13) y confirmaron que no existen subgrupos máximos con zócalo L 2 (8) o L 2 (16), completando así la clasificación en la literatura. [dieciséis]
Tenga en cuenta que a menudo se ha descubierto que las tablas de subgrupos máximos contienen errores sutiles y, en particular, al menos dos de los subgrupos de la lista siguiente se omitieron incorrectamente en algunas listas anteriores.
