En matemáticas , un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo. Un grupo que no es simple se puede dividir en dos grupos más pequeños, es decir, un subgrupo normal no trivial y el grupo cociente correspondiente . Este proceso se puede repetir y, para grupos finitos, se llega finalmente a grupos simples determinados de forma única, mediante el teorema de Jordan-Hölder .
La clasificación completa de grupos finitos simples , completada en 2004, es un hito importante en la historia de las matemáticas.
El grupo cíclico de clases de congruencia módulo 3 (ver aritmética modular ) es simple. Si es un subgrupo de este grupo, su orden (el número de elementos) debe ser un divisor de orden 3. Como 3 es primo, sus únicos divisores son 1 y 3, por lo que o bien es , o bien es el grupo trivial. Por otro lado, el grupo no es simple. El conjunto de clases de congruencia de 0, 4 y 8 módulo 12 es un subgrupo de orden 3, y es un subgrupo normal ya que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal. De manera similar, el grupo aditivo de los números enteros no es simple; el conjunto de los números enteros pares es un subgrupo normal propio no trivial. [1]
Se puede utilizar el mismo tipo de razonamiento para cualquier grupo abeliano, para deducir que los únicos grupos abelianos simples son los grupos cíclicos de orden primo . La clasificación de los grupos simples no abelianos es mucho menos trivial. El grupo simple no abeliano más pequeño es el grupo alternado de orden 60, y todo grupo simple de orden 60 es isomorfo a . [2] El segundo grupo simple no abeliano más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) de orden 168, y todo grupo simple de orden 168 es isomorfo a PSL(2,7). [3] [4]
El grupo alterno infinito , es decir, el grupo de permutaciones de los números enteros con soporte finito par, es simple. Este grupo se puede escribir como la unión creciente de los grupos simples finitos con respecto a las incrustaciones estándar . Otra familia de ejemplos de grupos simples infinitos viene dada por , donde es un cuerpo infinito y .
Es mucho más difícil construir grupos simples infinitos finitamente generados . El primer resultado de existencia no es explícito; se debe a Graham Higman y consiste en cocientes simples del grupo de Higman . [5] Los ejemplos explícitos, que resultan ser finitamente presentados, incluyen los grupos de Thompson infinitos y . Burger y Mozes construyeron grupos simples infinitos libres de torsión finitamente presentados. [6]
Hasta el momento no se conoce ninguna clasificación para los grupos simples generales (infinitos), y no se espera que exista tal clasificación. Una razón para ello es la existencia de grupos monstruosos de Tarski de un número continuo para cada característica prima suficientemente grande, cada uno simple y teniendo solo el grupo cíclico de esa característica como sus subgrupos. [7]
Los grupos finitos simples son importantes porque en cierto sentido son los "bloques básicos" de todos los grupos finitos, de forma similar a como los números primos son los bloques básicos de los números enteros . Esto se expresa mediante el teorema de Jordan-Hölder que establece que dos series de composición cualesquiera de un grupo dado tienen la misma longitud y los mismos factores, salvo permutación e isomorfismo . En un enorme esfuerzo colaborativo, la clasificación de los grupos finitos simples fue declarada completada en 1983 por Daniel Gorenstein , aunque surgieron algunos problemas (específicamente en la clasificación de los grupos cuasitinos , que se solucionaron en 2004).
Brevemente, los grupos simples finitos se clasifican como pertenecientes a una de 18 familias o como una de 26 excepciones:
El famoso teorema de Feit y Thompson establece que todo grupo de orden impar es resoluble . Por lo tanto, todo grupo finito simple tiene orden par a menos que sea cíclico de orden primo.
La conjetura de Schreier afirma que el grupo de automorfismos externos de cada grupo finito simple es resoluble. Esto se puede demostrar mediante el teorema de clasificación .
Hay dos hilos en la historia de los grupos simples finitos: el descubrimiento y la construcción de grupos y familias simples específicos, que tuvo lugar desde el trabajo de Galois en la década de 1820 hasta la construcción del Monstruo en 1981; y la prueba de que esta lista estaba completa, que comenzó en el siglo XIX, tuvo lugar de manera más significativa entre 1955 y 1983 (cuando se declaró inicialmente la victoria), pero solo se acordó en general que estuviera terminada en 2004. Para 2018, su publicación se imaginó como una serie de 12 monografías , [8] la décima de las cuales se publicó en 2023. [9] Véase (Silvestri 1979) para la historia de los grupos simples del siglo XIX.
Los grupos simples han sido estudiados al menos desde la teoría de Galois temprana , donde Évariste Galois se dio cuenta de que el hecho de que los grupos alternados en cinco o más puntos son simples (y por lo tanto no resolubles), lo que demostró en 1831, era la razón por la que no se podía resolver la ecuación de quinto grado en radicales. Galois también construyó el grupo lineal especial proyectivo de un plano sobre un cuerpo finito primo, PSL(2, p ) , y remarcó que eran simples para p no 2 o 3. Esto está contenido en su última carta a Chevalier, [10] y son el siguiente ejemplo de grupos simples finitos. [11]
Los siguientes descubrimientos fueron realizados por Camille Jordan en 1870. [12] Jordan había encontrado 4 familias de grupos matriciales simples sobre campos finitos de orden primo, que ahora se conocen como grupos clásicos .
Casi al mismo tiempo, se demostró que una familia de cinco grupos, llamados grupos de Mathieu y descritos por primera vez por Émile Léonard Mathieu en 1861 y 1873, también eran simples. Como estos cinco grupos se construyeron mediante métodos que no ofrecían infinitas posibilidades, William Burnside los denominó " esporádicos " en su libro de texto de 1897.
Más tarde, los resultados de Jordan sobre los grupos clásicos fueron generalizados a cuerpos finitos arbitrarios por Leonard Dickson , siguiendo la clasificación de álgebras de Lie simples complejas de Wilhelm Killing . Dickson también construyó grupos de excepción de tipo G 2 y E 6 , pero no de tipos F 4 , E 7 o E 8 (Wilson 2009, p. 2). En la década de 1950, el trabajo sobre grupos de tipo Lie continuó, con Claude Chevalley dando una construcción uniforme de los grupos clásicos y los grupos de tipo excepcional en un artículo de 1955. Esto omitió ciertos grupos conocidos (los grupos unitarios proyectivos), que se obtuvieron "torciendo" la construcción de Chevalley. Los grupos restantes de tipo Lie fueron producidos por Steinberg, Tits y Herzig (quienes produjeron 3 D 4 ( q ) y 2 E 6 ( q )) y por Suzuki y Ree (los grupos de Suzuki-Ree ).
Se creía que estos grupos (los grupos de tipo Lie, junto con los grupos cíclicos, los grupos alternantes y los cinco grupos excepcionales de Mathieu) constituían una lista completa, pero tras una pausa de casi un siglo desde el trabajo de Mathieu, en 1964 se descubrió el primer grupo de Janko , y los 20 grupos esporádicos restantes se descubrieron o se conjeturaron entre 1965 y 1975, culminando en 1981, cuando Robert Griess anunció que había construido el " grupo Monstruo " de Bernd Fischer . El Monstruo es el grupo simple esporádico más grande, con un orden de 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000. El Monstruo tiene una representación fiel de 196.883 dimensiones en el álgebra de Griess de 196.884 dimensiones , lo que significa que cada elemento del Monstruo puede expresarse como una matriz de 196.883 por 196.883.
En general, se acepta que la clasificación completa comienza con el teorema de Feit-Thompson de 1962-63 y dura en gran medida hasta 1983, aunque recién se finalizó en 2004.
Poco después de la construcción del Monstruo en 1981, se proporcionó una prueba, con un total de más de 10.000 páginas, de que los teóricos de grupos habían enumerado con éxito todos los grupos simples finitos , con victoria declarada en 1983 por Daniel Gorenstein. Esto fue prematuro: más tarde se descubrieron algunas lagunas, en particular en la clasificación de los grupos cuasíticos , que finalmente fueron reemplazados en 2004 por una clasificación de 1.300 páginas de grupos cuasíticos, que ahora se acepta generalmente como completa.
Prueba de Sylow : Sea n un entero positivo que no sea primo y sea p un divisor primo de n . Si 1 es el único divisor de n congruente con 1 módulo p , entonces no existe un grupo simple de orden n .
Demostración: Si n es una potencia prima, entonces un grupo de orden n tiene un centro no trivial [13] y, por lo tanto, no es simple. Si n no es una potencia prima, entonces cada subgrupo de Sylow es propio y, por el Tercer Teorema de Sylow , sabemos que el número de p -subgrupos de Sylow de un grupo de orden n es igual a 1 módulo p y divide a n . Como 1 es el único número de este tipo, el p -subgrupo de Sylow es único y, por lo tanto, es normal. Como es un subgrupo propio, no identidad, el grupo no es simple.
Burnside : Un grupo finito simple no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos. Esto se desprende del teorema de Burnside .
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