La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias y los métodos constructivos de objetos geométricos discretos . La mayoría de las preguntas de geometría discreta involucran conjuntos finitos o discretos de objetos geométricos básicos, como puntos , líneas , planos , círculos , esferas , polígonos , etc. El tema se centra en las propiedades combinatorias de estos objetos, como cómo se cruzan entre sí o cómo pueden disponerse para cubrir un objeto más grande.
La geometría discreta tiene una gran superposición con la geometría convexa y la geometría computacional , y está estrechamente relacionada con temas como la geometría finita , la optimización combinatoria , la geometría digital , la geometría diferencial discreta , la teoría de grafos geométricos , la geometría tórica y la topología combinatoria .
Aunque los poliedros y los teselados habían sido estudiados durante muchos años por personas como Kepler y Cauchy , la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros temas estudiados fueron: la densidad de los empaquetamientos circulares de Thue , las configuraciones proyectivas de Reye y Steinitz , la geometría de los números de Minkowski y la coloración de mapas de Tait, Heawood y Hadwiger .
László Fejes Tóth , HSM Coxeter y Paul Erdős sentaron las bases de la geometría discreta . [1] [2] [3]
Un politopo es un objeto geométrico con lados planos, que existe en cualquier número general de dimensiones. Un polígono es un politopo en dos dimensiones, un poliedro en tres dimensiones, y así sucesivamente en dimensiones superiores (como un politopo de 4 dimensiones en cuatro dimensiones). Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como politopos ilimitados ( apeirotopos y teselaciones ) y politopos abstractos .
Los siguientes son algunos de los aspectos de los politopos estudiados en geometría discreta:
Los embalajes, revestimientos y mosaicos son formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas o mosaicos) de forma regular sobre una superficie o variedad .
Un empaquetamiento de esferas es una disposición de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas del mismo tamaño y el espacio suele ser un espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacio euclidiano de n dimensiones (donde el problema se convierte en empaquetamiento de círculos en dos dimensiones o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .
Un mosaico de una superficie plana es el mosaico de un plano utilizando una o más formas geométricas, llamadas mosaicos, sin superposiciones ni espacios. En matemáticas , las teselaciones se pueden generalizar a dimensiones superiores.
Los temas específicos en esta área incluyen:
La rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por vínculos o bisagras flexibles .
Los temas en esta área incluyen:
Las estructuras de incidencia generalizan planos (como los planos afines , proyectivos y de Möbius ) como puede verse en sus definiciones axiomáticas. Las estructuras de incidencia también generalizan los análogos de dimensiones superiores y las estructuras finitas a veces se denominan geometrías finitas .
Formalmente, una estructura de incidencia es una triple
donde P es un conjunto de "puntos", L es un conjunto de "líneas" y es la relación de incidencia . Los elementos de se llaman banderas. Si
decimos que el punto p "se encuentra en" la recta .
Los temas en esta área incluyen:
Una matroide orientada es una estructura matemática que abstrae las propiedades de gráficos dirigidos y de disposiciones de vectores en un espacio vectorial sobre un campo ordenado (particularmente para espacios vectoriales parcialmente ordenados ). [4] En comparación, una matroide ordinaria (es decir, no orientada) abstrae las propiedades de dependencia que son comunes tanto a los gráficos , que no están necesariamente dirigidos , como a las disposiciones de vectores sobre campos , que no están necesariamente ordenados . [5] [6]
Un gráfico geométrico es un gráfico en el que los vértices o aristas están asociados con objetos geométricos . Los ejemplos incluyen gráficos euclidianos, el 1- esqueleto de un poliedro o politopo , gráficos de discos unitarios y gráficos de visibilidad .
Los temas en esta área incluyen:
Un complejo simplicial es un espacio topológico de cierto tipo, construido "pegando" puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes de n dimensiones (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Véase también complejos geométricos aleatorios .
La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en topología y, a principios del siglo XX, esto se convirtió en el campo de la topología algebraica .
En 1978, la situación se invirtió (se utilizaron métodos de topología algebraica para resolver un problema en combinatoria ) cuando László Lovász demostró la conjetura de Kneser , iniciando así el nuevo estudio de la combinatoria topológica . La demostración de Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam y este teorema conserva un papel destacado en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones equivalentes y análogos y se ha utilizado en el estudio de problemas de división equitativa .
Los temas en esta área incluyen:
Un grupo discreto es un grupo G equipado con topología discreta . Con esta topología, G se convierte en un grupo topológico . Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H cuya topología relativa es discreta. Por ejemplo, los números enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no.
Una red en un grupo topológico localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio cociente tiene medida invariante finita . En el caso especial de subgrupos de R n , esto equivale a la noción geométrica habitual de una red , y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría de la totalidad de todas las redes se comprenden relativamente bien. Los profundos resultados de Borel , Harish-Chandra , Mostow , Tamagawa , MS Raghunathan , Margulis y Zimmer obtenidos entre los años 1950 y 1970 proporcionaron ejemplos y generalizaron gran parte de la teoría al establecimiento de grupos de Lie nilpotentes y grupos algebraicos semisimples en un campo local . En la década de 1990, Bass y Lubotzky iniciaron el estudio de las celosías de los árboles , que sigue siendo un área de investigación activa.
Los temas en esta área incluyen:
La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (normalmente conjuntos de puntos discretos ) considerados modelos o imágenes digitalizadas de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .
En pocas palabras, digitalizar es reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, en la visualización rasterizada de una computadora o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .
Sus principales áreas de aplicación son la infografía y el análisis de imágenes . [7]
La geometría diferencial discreta es el estudio de contrapartes discretas de nociones en geometría diferencial . En lugar de curvas y superficies suaves, hay polígonos , mallas y complejos simpliciales . Se utiliza en el estudio de infografías y combinatoria topológica .
Los temas en esta área incluyen:
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