Existen dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar . El primero establece que, en condiciones de equilibrio económico , un conjunto de mercados completos , con información completa y en competencia perfecta , será óptimo en términos de Pareto (en el sentido de que ningún otro intercambio mejoraría la situación de una persona sin empeorar la de otra). Los requisitos para que se produzca una competencia perfecta son los siguientes: [1]
El teorema se considera a veces como una confirmación analítica del principio de la " mano invisible " de Adam Smith , es decir, que los mercados competitivos garantizan una asignación eficiente de los recursos . Sin embargo, no hay garantía de que el resultado del mercado óptimo de Pareto sea equitativo , ya que existen muchas asignaciones de recursos eficientes de Pareto posibles que difieren en su deseabilidad (por ejemplo, una persona puede poseer todo y todos los demás nada). [2]
El segundo teorema establece que cualquier óptimo de Pareto puede considerarse un equilibrio competitivo para un conjunto inicial de dotaciones. La implicación es que cualquier resultado óptimo de Pareto deseado puede considerarse compatible; la eficiencia de Pareto puede lograrse con cualquier redistribución de la riqueza inicial. Sin embargo, los intentos de corregir la distribución pueden introducir distorsiones, por lo que la optimización total puede no ser alcanzable con la redistribución. [3]
Los teoremas se pueden visualizar gráficamente para una economía de intercambio puro simple mediante el diagrama de caja de Edgeworth .
En un debate sobre los aranceles de importación, Adam Smith escribió que:
Cada individuo trabaja necesariamente para que los ingresos anuales de la sociedad sean lo más elevados que pueda... En esto, como en muchas otras formas, es conducido por una mano invisible a promover un fin que no formaba parte de su intención... Al perseguir su propio interés, con frecuencia promueve el de la sociedad con mayor eficacia que cuando realmente tiene la intención de promoverlo. [4]
Cabe señalar que las ideas de Smith no estaban dirigidas específicamente a la economía del bienestar, ya que este campo de la economía aún no se había creado en ese momento. Sin embargo, sus argumentos se han atribuido a la creación de la rama, así como de las teorías fundamentales de la economía del bienestar. [5]
Walras escribió que "el intercambio bajo libre competencia es una operación mediante la cual todas las partes obtienen la máxima satisfacción sujetas a la compra y venta a un precio uniforme". [6]
Edgeworth dio un paso hacia el primer teorema fundamental en su obra 'Psíquica matemática', al analizar una economía de intercambio puro sin producción. Incluyó la competencia imperfecta en su análisis. [7] Su definición de equilibrio es casi la misma que la definición posterior de Pareto de optimalidad: es un punto tal que...
En cualquier dirección en la que demos un paso infinitamente pequeño, P y Π [las utilidades del comprador y del vendedor] no aumentan juntas, sino que, mientras una aumenta, la otra disminuye. [8]
En lugar de concluir que el equilibrio era óptimo en términos de Pareto, Edgeworth concluyó que el equilibrio maximiza la suma de utilidades de las partes, lo que es un caso especial de eficiencia de Pareto:
Parece seguirse de los principios dinámicos generales aplicados a este caso especial que el equilibrio se alcanza cuando la energía total de placer de los contratistas es máxima en relación con , o está sujeta a, condiciones... [9]
Pareto enunció el primer teorema fundamental en su Manuale (1906) y con más rigor en su revisión francesa ( Manuel , 1909). [10] Fue el primero en afirmar la optimalidad bajo su propio criterio o en sustentar su afirmación con argumentos convincentes. [ cita requerida ]
Define el equilibrio de forma más abstracta que Edgeworth como un estado que se mantendría indefinidamente en ausencia de presiones externas [11] y muestra que en una economía de intercambio es el punto en el que una tangente común a las curvas de indiferencia de las partes pasa a través de la dotación. [12]
Su definición de optimalidad se da en el Capítulo VI:
Diremos que los miembros de una colectividad disfrutan de un máximo de ofelimidad [es decir, de utilidad] en una determinada posición cuando es imposible moverse un pequeño paso más allá de modo que la ofelimidad disfrutada por cada individuo en la colectividad aumente, o de modo que disminuya. [Anteriormente ha definido un aumento en la ofelimidad individual como un movimiento hacia una curva de indiferencia más alta.] Es decir, cualquier pequeño paso está destinado a aumentar la ofelimidad de algunos individuos mientras disminuye la de otros. [13]
El siguiente párrafo nos da un teorema:
En los fenómenos de tipo I [es decir, competencia perfecta], cuando el equilibrio tiene lugar en un punto de tangencia de las curvas de indiferencia, los miembros de la colectividad gozan de un máximo de ofelimidad.
Añade que "no se puede dar una prueba rigurosa sin la ayuda de las matemáticas" y se refiere a su Apéndice. [14]
Wicksell , refiriéndose a su definición de optimalidad, comentó:
Con una definición como ésta es casi evidente que este llamado máximo se obtiene bajo libre competencia, porque si , después de efectuarse un intercambio, fuera posible, mediante una serie adicional de intercambios directos o indirectos, producir una satisfacción adicional de las necesidades de los participantes, entonces, en esa medida, sin duda se habría producido un intercambio continuado, y la posición original no podría ser una de equilibrio final. [15]
Pareto no lo encontró tan sencillo. En su texto ofrece un argumento diagramático, que se aplica únicamente al intercambio, [16] y un argumento matemático de 32 páginas en el Apéndice [17] que Samuelson consideró "difícil de seguir". [18] Pareto se vio obstaculizado por no tener un concepto de la frontera de posibilidades de producción , cuyo desarrollo se debió en parte a su colaborador Enrico Barone . [19] Sus propias "curvas de indiferencia para obstáculos" parecen haber sido un camino falso.
Poco después de enunciar el primer teorema fundamental, Pareto plantea una pregunta sobre la distribución:
Consideremos una sociedad colectivista que busca maximizar la ofelimidad de sus miembros. El problema se divide en dos partes. En primer lugar, tenemos un problema de distribución: ¿cómo deben compartirse los bienes dentro de una sociedad entre sus miembros? Y en segundo lugar, ¿cómo debe organizarse la producción para que, cuando los bienes se distribuyan de esa manera, los miembros de la sociedad obtengan la máxima ofelimidad?
Su respuesta es un precursor informal del segundo teorema:
Habiendo distribuido los bienes según la respuesta al primer problema, el Estado debería permitir a los miembros de la colectividad operar una segunda distribución, o realizarla él mismo, asegurándose en ambos casos de que se realice de conformidad con el funcionamiento de la libre competencia. [20]
Barone , un colaborador de Pareto, demostró una propiedad de optimalidad de la competencia perfecta, [21] a saber, que –asumiendo precios exógenos– maximiza el valor monetario del rendimiento de la actividad productiva, siendo este la suma de los valores del ocio, los ahorros y los bienes de consumo, todos tomados en las proporciones deseadas. [22] No argumenta que los precios elegidos por el mercado sean en sí mismos óptimos.
Su artículo no fue traducido al inglés hasta 1935. Recibió un resumen aprobatorio de Samuelson [23] pero no parece haber influido en el desarrollo de los teoremas del bienestar tal como están hoy.
En 1934, Lerner reiteró la condición de Edgeworth para el intercambio de que las curvas de indiferencia deberían encontrarse como tangentes, presentándola como una propiedad de optimalidad. Enunció una condición similar para la producción, a saber, que la frontera de posibilidades de producción ( FPP , a la que dio el nombre alternativo de "curva de indiferencia productiva") debería ser tangente a una curva de indiferencia para la comunidad. Fue uno de los creadores de la FPP, habiéndola utilizado en un artículo sobre comercio internacional en 1932. [24] Muestra que los dos argumentos pueden presentarse en los mismos términos, ya que la FPP juega el mismo papel que la curva de indiferencia de imagen especular en una caja de Edgeworth. También menciona que no hay necesidad de que las curvas sean diferenciables, ya que se obtiene el mismo resultado si se tocan en las esquinas puntiagudas.
Su definición de optimalidad era equivalente a la de Pareto:
Si... es posible mover a un individuo a una posición preferida sin mover a otro individuo a una posición peor... podemos decir que no se alcanza el óptimo relativo...
La condición de optimalidad para la producción es equivalente al par de requisitos de que (i) el precio debe ser igual al costo marginal y (ii) la producción debe maximizarse sujeta a (i). Lerner, por lo tanto, reduce la optimalidad a la tangencia tanto para la producción como para el intercambio, pero no dice por qué el punto implícito en la FPP debe ser la condición de equilibrio para un mercado libre. Tal vez consideró que ya estaba suficientemente bien establecida. [25]
Lerner atribuye a su colega de la LSE, Victor Edelberg, el mérito de haber sugerido el uso de las curvas de indiferencia. Samuelson supuso que Lerner obtuvo sus resultados independientemente del trabajo de Pareto. [26]
Hotelling propuso un nuevo argumento para demostrar que «las ventas a costes marginales son una condición de máximo bienestar general» (según la definición de Pareto). Aceptó que esta condición se satisfacía con la competencia perfecta, pero argumentó en consecuencia que la competencia perfecta no podía ser óptima ya que algunos proyectos beneficiosos no podrían recuperar sus costes fijos cobrando a esta tasa (por ejemplo, en un monopolio natural ). [27]
El artículo de Lange "Los fundamentos de la economía del bienestar" es la fuente de la ahora tradicional combinación de dos teoremas, uno que rige los mercados y el otro la distribución. Justificó la definición de Pareto de optimalidad para el primer teorema haciendo referencia al rechazo de Lionel Robbins a las comparaciones interpersonales de utilidad, [28] y sugirió varias formas de reintroducir las comparaciones interpersonales para el segundo teorema, como las decisiones de un Congreso elegido democráticamente. Lange creía que un congreso de ese tipo podría actuar de manera similar a un capitalista: mediante la fijación de vectores de precios, podría lograr cualquier plan de producción óptimo para lograr la eficiencia y la igualdad social. [29]
Su razonamiento es una traducción matemática (en multiplicadores de Lagrange ) del argumento gráfico de Lerner. El segundo teorema no adopta la forma que le resulta familiar, sino que simplemente demuestra que las condiciones de optimización para una función de utilidad social genuina son similares a las de la optimalidad de Pareto.
Samuelson (dando crédito a Abram Bergson por la esencia de sus ideas) llevó el segundo teorema de bienestar de Lange a aproximadamente su forma moderna. [30] Sigue a Lange al derivar un conjunto de ecuaciones que son necesarias para la optimalidad de Pareto, y luego considera qué restricciones adicionales surgen si se requiere que la economía satisfaga una función de bienestar social genuina, encontrando un conjunto adicional de ecuaciones de las cuales se sigue "que toda la acción necesaria para lograr un desiderátum ético dado puede tomar la forma de impuestos o recompensas a tanto alzado" . [31]
Los dos artículos de Arrow y Debreu [32] (escritos de forma independiente y publicados casi simultáneamente) intentaron mejorar el rigor del primer teorema de Lange. Sus explicaciones se refieren tanto a la producción (de corto plazo) como al intercambio, expresando las condiciones para ambos mediante funciones lineales.
El equilibrio de la producción se expresa mediante la restricción de que el valor de la producción neta de un fabricante, es decir, el producto escalar del vector de producción por el vector de precios, debe maximizarse en el conjunto de la producción del fabricante . Esto se interpreta como maximización de beneficios .
El equilibrio para el intercambio se interpreta en el sentido de que la utilidad del individuo debe maximizarse en las posiciones que puede obtener de la dotación mediante el intercambio, siendo estas las posiciones cuyo valor no es mayor que el valor de su dotación, donde el valor de una asignación es su producto escalar con el vector de precios.
Arrow motivó su artículo haciendo referencia a la necesidad de ampliar las demostraciones para cubrir los equilibrios en el borde del espacio, y Debreu, a la posibilidad de que las curvas de indiferencia no sean diferenciables. Los textos modernos siguen su estilo de demostración.
En su artículo de 1986, "Externalidades en economías con información imperfecta y mercados incompletos", Bruce Greenwald y Joseph Stiglitz demostraron que los teoremas fundamentales del bienestar no se cumplen si hay mercados incompletos o información imperfecta. [33] El artículo establece que un equilibrio competitivo de una economía con información asimétrica no es, en general, eficiente en el sentido de Pareto. Un gobierno que se enfrenta a las mismas limitaciones de información que los individuos privados de la economía puede, no obstante, encontrar intervenciones políticas que mejoren el sentido de Pareto. [34]
Greenwald y Stiglitz observaron varias situaciones relevantes, incluyendo cómo el riesgo moral puede hacer que una situación sea ineficiente (por ejemplo, un impuesto al alcohol puede mejorar en términos de Pareto ya que reduce los accidentes automovilísticos). [35]
En principio, existen dos versiones comunes de los teoremas fundamentales: una relacionada con una economía de intercambio en la que las dotaciones se dan de manera exógena y otra relacionada con una economía en la que se produce producción. La economía de producción es más general y entraña supuestos adicionales. Todos ellos se basan en los libros de texto estándar de microeconomía para graduados. [36]
Los teoremas fundamentales generalmente no aseguran la existencia ni la unicidad de los equilibrios.
El segundo teorema fundamental tiene condiciones más exigentes.
A continuación se presenta una lista no exhaustiva de fallos comunes de los supuestos que sustentan los teoremas fundamentales.
Otro ejemplo en el que los teoremas del bienestar no se cumplen es el modelo canónico de generaciones superpuestas (OLG). Otro supuesto implícito en el enunciado del teorema es que el valor de las dotaciones totales en la economía (algunas de las cuales podrían transformarse en otros bienes mediante la producción) es finito. [37] En el modelo OLG, la finitud de las dotaciones falla, dando lugar a problemas similares a los descritos por la paradoja de Hilbert del Gran Hotel .
Si los supuestos que sustentan los teoremas fundamentales constituyen una descripción adecuada de los mercados es, al menos en parte, una cuestión empírica y puede diferir en cada caso.
El primer teorema fundamental se cumple en condiciones generales. [38] Una declaración formal es la siguiente: si las preferencias no se satisfacen localmente y si hay un equilibrio de precios con transferencias, entonces la asignación es óptima en términos de Pareto. Un equilibrio en este sentido se relaciona únicamente con una economía de intercambio o presupone que las empresas son eficientes en términos de asignación y producción, lo que se puede demostrar que se desprende de mercados de factores y de producción perfectamente competitivos. [38]
Dado un conjunto de tipos de bienes, trabajamos en el espacio vectorial real sobre , y usamos negrita para las variables con valores vectoriales. Por ejemplo, si entonces sería un espacio vectorial tridimensional y el vector representaría el conjunto de bienes que contiene 1 unidad de mantequilla, 2 unidades de galletas y 3 unidades de leche.
Supongamos que el consumidor i tiene una riqueza tal que donde es la dotación agregada de bienes (es decir, la suma de todas las dotaciones de consumidores y productores) y es la producción de la empresa j .
La maximización de la preferencia (de la definición de equilibrio de precios con transferencias) implica (usando para denotar la relación de preferencia por el consumidor i ):
En otras palabras, si un conjunto de bienes es estrictamente preferible a un precio determinado, debe ser inasequible . La insaciabilidad local implica además:
Para ver por qué, imaginemos que pero . Entonces, por insaciabilidad local, podríamos encontrar arbitrariamente cerca de (y por lo tanto aún asequible) pero que es estrictamente preferible a . Pero es el resultado de la maximización de la preferencia, por lo que esto es una contradicción.
Una asignación es un par donde y , es decir, es la 'matriz' (que permite filas/columnas potencialmente infinitas) cuya columna i es el conjunto de bienes asignados al consumidor i y es la 'matriz' cuya columna j es la producción de la empresa j . Restringimos nuestra atención a las asignaciones factibles, que son aquellas asignaciones en las que ningún consumidor vende ni ningún productor consume bienes de los que carece, es decir, para cada bien y cada consumidor, la dotación inicial de los consumidores más su demanda neta deben ser positivas, de manera similar para los productores.
Ahora consideremos una asignación que domina en el sentido de Pareto . Esto significa que para todos los i y para algunos i . Por lo anterior, sabemos que para todos los i y para algunos i . Sumando, encontramos:
Como maximiza las ganancias, sabemos que , por lo tanto . Pero los bienes deben conservarse, por lo que . Por lo tanto, no es factible. Dado que todas las asignaciones dominantes en el sentido de Pareto no son factibles, debe ser en sí misma óptima en el sentido de Pareto. [38]
Obsérvese que, si bien el hecho de que la maximización de las ganancias se supone simplemente en el enunciado del teorema, el resultado solo es útil/interesante en la medida en que sea posible dicha asignación de la producción que maximice las ganancias. Afortunadamente, para cualquier restricción de la asignación de la producción y el precio a un subconjunto cerrado en el que el precio marginal esté acotado lejos de 0, por ejemplo, cualquier elección razonable de funciones continuas para parametrizar las posibles producciones, existe dicho máximo. Esto se desprende del hecho de que el precio marginal mínimo y la riqueza finita limitan la producción máxima factible (0 limita el mínimo) y el teorema de Tichonoff garantiza que el producto de estos espacios compactos sea compacto, lo que nos garantiza que exista un máximo de cualquier función continua que deseemos.
El segundo teorema establece formalmente que, bajo los supuestos de que cada conjunto de producción es convexo y cada relación de preferencia es convexa y localmente no satisfecha , cualquier asignación Pareto-eficiente deseada puede ser sustentada como un cuasi -equilibrio de precios con transferencias. [38] Se necesitan más supuestos para probar esta afirmación para los equilibrios de precios con transferencias.
La prueba se desarrolla en dos pasos: primero, demostramos que cualquier asignación Pareto-eficiente puede sostenerse como un cuasi-equilibrio de precios con transferencias; luego, damos las condiciones bajo las cuales un cuasi-equilibrio de precios es también un equilibrio de precios.
Definamos un cuasiequilibrio de precios con transferencias como una asignación , un vector de precios p y un vector de niveles de riqueza w (logrados mediante transferencias de suma global) con (donde es la dotación agregada de bienes y es la producción de la empresa j ) tales que:
La única diferencia entre esta definición y la definición estándar de un equilibrio de precios con transferencias está en la afirmación ( ii ). La desigualdad es débil aquí ( ), lo que la convierte en un cuasiequilibrio de precios. Más adelante reforzaremos esto para hacer un equilibrio de precios. [38] Definamos como el conjunto de todos los paquetes de consumo estrictamente preferidos por el consumidor i , y sea V la suma de todos los . es convexo debido a la convexidad de la relación de preferencia . V es convexo porque cada es convexo. De manera similar , la unión de todos los conjuntos de producción más la dotación agregada, es convexa porque cada es convexo. También sabemos que la intersección de V y debe estar vacía, porque si no lo fuera implicaría que existe un paquete que es estrictamente preferido por todos y también es asequible. Esto está descartado por la Pareto-optimalidad de .
Estos dos conjuntos convexos que no se intersecan nos permiten aplicar el teorema del hiperplano separador . Este teorema establece que existe un vector de precios y un número r tales que para cada y para cada . En otras palabras, existe un vector de precios que define un hiperplano que separa perfectamente los dos conjuntos convexos.
A continuación, argumentamos que si para todo i entonces . Esto se debe a la no saciedad local: debe haber un conjunto arbitrariamente cercano a que sea estrictamente preferido a y, por lo tanto, parte de , por lo que . Tomar el límite como no cambia la desigualdad débil, por lo que también. En otras palabras, está en la clausura de V .
Usando esta relación vemos que por sí misma . También sabemos que , por lo tanto también. Combinando estos, encontramos que . Podemos usar esta ecuación para demostrar que se ajusta a la definición de un cuasiequilibrio de precios con transferencias.
Porque y sabemos que para cualquier empresa j:
lo que implica . De manera similar sabemos:
lo que implica . Estas dos afirmaciones, junto con la viabilidad de la asignación en el óptimo de Pareto, satisfacen las tres condiciones para un cuasiequilibrio de precios con transferencias respaldadas por niveles de riqueza para todos los i .
Ahora nos ocuparemos de las condiciones en las que un cuasibequilibrio de precios es también un equilibrio de precios, es decir, condiciones en las que la afirmación "si entonces " implica "si entonces ". Para que esto sea cierto, ahora debemos suponer que el conjunto de consumo es convexo y la relación de preferencia es continua . Entonces, si existe un vector de consumo tal que y , un cuasibequilibrio de precios es un equilibrio de precios.
Para ver por qué, supongamos lo contrario y , y existe. Entonces, por la convexidad de tenemos un paquete con . Por la continuidad de para cerca de 1 tenemos . Esto es una contradicción, porque este paquete es preferido a y cuesta menos que .
Por lo tanto, para que los cuasiequilibrios de precios sean equilibrios de precios es suficiente que el conjunto de consumo sea convexo, la relación de preferencias sea continua y que exista siempre una cesta de consumo "más barata" . Una forma de asegurar la existencia de dicha cesta es exigir que los niveles de riqueza sean estrictamente positivos para todos los consumidores i . [38]
