Función Dehn

Función de la teoría de grupos

En la materia matemática de la teoría geométrica de grupos , una función de Dehn , llamada así por Max Dehn , es una función óptima asociada a una presentación de grupo finito que limita el área de una relación en ese grupo (que es una palabra libremente reducida en los generadores que representan el elemento identidad del grupo) en términos de la longitud de esa relación (ver págs. 79-80 en ^[1] ). El tipo de crecimiento de la función de Dehn es un invariante cuasi-isométrico de un grupo presentado finitamente . La función de Dehn de un grupo presentado finitamente también está estrechamente relacionada con la complejidad algorítmica no determinista del problema verbal en grupos. En particular, un grupo presentado finitamente tiene un problema verbal solucionable si y solo si la función de Dehn para una presentación finita de este grupo es recursiva (ver Teorema 2.1 en ^[1] ). La noción de una función de Dehn está motivada por problemas isoperimétricos en geometría, como la desigualdad isoperimétrica clásica para el plano euclidiano y, de manera más general, la noción de una función de área de llenado que estima el área de una superficie mínima en una variedad de Riemann en términos de la longitud de la curva límite de esa superficie.

Historia

La idea de una función isoperimétrica para un grupo finitamente presentado se remonta al trabajo de Max Dehn en la década de 1910. Dehn demostró que el problema verbal para la presentación estándar del grupo fundamental de una superficie orientada cerrada de género al menos dos es solucionable mediante lo que ahora se llama algoritmo de Dehn . Una consecuencia directa de este hecho es que para esta presentación la función de Dehn satisface Dehn( n ) ≤ n . Este resultado fue extendido en la década de 1960 por Martin Greendlinger a grupos finitamente presentados que satisfacen la condición de cancelación pequeña C'(1/6) . ^[2] La noción formal de una función isoperimétrica y una función de Dehn tal como se utiliza hoy apareció a fines de la década de 1980 y principios de la de 1990 junto con la introducción y el desarrollo de la teoría de grupos hiperbólicos verbales . En su monografía de 1987 "Grupos hiperbólicos" ^[3] Gromov demostró que un grupo finitamente presentado es hiperbólico en palabras si y solo si satisface una desigualdad isoperimétrica lineal, es decir, si y solo si la función de Dehn de este grupo es equivalente a la función f ( n ) = n . La prueba de Gromov se basó en gran parte en la analogía con las funciones de área de llenado para variedades compactas de Riemann , donde el área de una superficie mínima que limita una curva cerrada homotópica nula está limitada en términos de la longitud de esa curva.

El estudio de las funciones isoperimétricas y de Dehn se convirtió rápidamente en un tema principal independiente en la teoría geométrica de grupos , especialmente porque los tipos de crecimiento de estas funciones son invariantes cuasi-isométricas naturales de grupos finitamente presentados. Uno de los principales resultados en el tema fue obtenido por Sapir, Birget y Rips , quienes demostraron ^[4] que la mayoría de las funciones de complejidad temporal "razonables" de las máquinas de Turing pueden realizarse, hasta la equivalencia natural, como funciones de Dehn de grupos finitamente presentados.

Definición formal

Dejar

${\displaystyle G=\langle X|R\rangle \qquad (*)}$

sea ​​una presentación de grupo finito donde X es un alfabeto finito y donde R  ⊆  F ( X ) es un conjunto finito de palabras reducidas cíclicamente.

Área de una relación

Sea w  ∈  F ( X ) una relación en G , es decir, una palabra libremente reducida tal que w  = 1 en G . Nótese que esto es equivalente a decir que w pertenece a la clausura normal de R en F ( X ), es decir, existe una representación de w como

${\displaystyle w=u_{1}r_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{m}r_{m}u_{m}^{-1}{\text{ in }}F(X),}$   (♠)

donde m  ≥ 0 y donde r _i  ∈  R ^{± 1} para i  = 1, ...,  m .

Para w  ∈  F ( X ) que satisface w  = 1 en G , el área de w con respecto a (∗), denotada Área( w ), es la más pequeña m  ≥ 0 tal que existe una representación (♠) para w como el producto en F ( X ) de m conjugados de elementos de R ^{± 1} .

Una palabra libremente reducida w  ∈  F ( X ) satisface w  = 1 en G si y solo si el bucle etiquetado por w en el complejo de presentación para G correspondiente a (∗) es homotópico nulo . Este hecho se puede utilizar para demostrar que Área( w ) es el número más pequeño de 2 celdas en un diagrama de van Kampen sobre (∗) con ciclo límite etiquetado por w .

Función isoperimétrica

Una función isoperimétrica para una presentación finita (∗) es una función monótona no decreciente

${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty )}$

de modo que siempre que w  ∈  F ( X ) sea una palabra libremente reducida que satisfaga w  = 1 en G , entonces

Área ( w ) ≤  f (| w |),

donde | w | es la longitud de la palabra w .

Función Dehn

Entonces la función Dehn de una presentación finita (∗) se define como

${\displaystyle {\rm {Dehn}}(n)=\max\{{\rm {Area}}(w):w=1{\text{ in }}G,|w|\leq n,w{\text{ freely reduced}}.\}}$

De manera equivalente, Dehn( n ) es la función isoperimétrica más pequeña para (∗), es decir, Dehn( n ) es una función isoperimétrica para (∗) y para cualquier otra función isoperimétrica f ( n ) tenemos

Dehn( n ) ≤  f ( n )

para cada n  ≥ 0.

Tipos de crecimiento de funciones

Como la función Dehn exacta generalmente depende de la presentación, normalmente se estudia su tipo de crecimiento asintótico a medida que n tiende a infinito, lo que solo depende del grupo.

Para dos funciones monótonas y no decrecientes

${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to [0,\infty )}$

Se dice que f está dominada por g si existe C  ≥1 tal que

${\displaystyle f(n)\leq Cg(Cn+C)+Cn+C}$

para cada entero n  ≥ 0. Digamos que f  ≈  g si f está dominada por g y g está dominada por f . Entonces ≈ es una relación de equivalencia y las funciones de Dehn y las funciones isoperimétricas se estudian habitualmente hasta esta relación de equivalencia. Así, para cualquier a,b > 1 tenemos a ⁿ  ≈  b ⁿ . De forma similar, si f ( n ) es un polinomio de grado d (donde d  ≥ 1 es un número real) con coeficientes no negativos, entonces f ( n ) ≈  n ^d . Además, 1 ≈  n .

Si una presentación de grupo finito admite una función isoperimétrica f ( n ) que es equivalente a una función lineal (respectivamente, cuadrática, cúbica, polinómica, exponencial, etc.) en n , se dice que la presentación satisface una desigualdad isoperimétrica lineal (respectivamente, cuadrática, cúbica, polinómica, exponencial, etc.) .

Propiedades básicas

• Si G y H son grupos finitamente presentados cuasi-isométricos y alguna presentación finita de G tiene una función isoperimétrica f ( n ), entonces para cualquier presentación finita de H existe una función isoperimétrica equivalente a f ( n ). En particular, este hecho se cumple para G  =  H , donde el mismo grupo está dado por dos presentaciones finitas diferentes.
• En consecuencia, para un grupo finitamente presentado , el tipo de crecimiento de su función Dehn, en el sentido de la definición anterior, no depende de la elección de una presentación finita para ese grupo. En términos más generales, si dos grupos finitamente presentados son cuasi isométricos , entonces sus funciones Dehn son equivalentes.
• Para un grupo finitamente presentado G dado por una presentación finita (∗) las siguientes condiciones son equivalentes:
  • G tiene una función Dehn recursiva con respecto a (∗).
  • Existe una función isoperimétrica recursiva f ( n ) para (∗).
  • El grupo G tiene un problema de palabras solucionable .

En particular, esto implica que la solubilidad del problema verbal es un invariante cuasi-isométrico para grupos presentados finitamente .

• Conociendo el área Area( w ) de una relación w permite acotar, en términos de | w |, no solo el número de conjugados de las relaciones definitorias en (♠) sino también las longitudes de los elementos conjugadores u _i ^{. En consecuencia, se sabe [1] [5]} que si un grupo finitamente presentado G dado por una presentación finita (∗) tiene función Dehn computable Dehn( n ), entonces el problema verbal para G es solucionable con complejidad temporal no determinista Dehn( n ) y complejidad temporal determinista Exp(Dehn( n )). Sin embargo, en general no hay un límite razonable en la función Dehn de un grupo finitamente presentado en términos de la complejidad temporal determinista del problema verbal y la brecha entre las dos funciones puede ser bastante grande.

Ejemplos

• Para cualquier presentación finita de un grupo finito G tenemos Dehn( n ) ≈  n . ^[6]
• Para la superficie orientada cerrada del género 2, la presentación estándar de su grupo fundamental

${\displaystyle G=\langle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]=1\rangle }$

satisface Dehn( n ) ≤  n y Dehn( n ) ≈  n .

• Para cada entero k  ≥ 2 el grupo abeliano libre tiene Dehn( n ) ≈  n ² . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$
• El grupo Baumslag-Solitar

${\displaystyle B(1,2)=\langle a,b|b^{-1}ab=a^{2}\rangle }$

tiene Dehn( n ) ≈ 2 ⁿ (ver ^[7] ).

• El grupo discreto tridimensional de Heisenberg

${\displaystyle H_{3}=\langle a,b,t|[a,t]=[b,t]=1,[a,b]=t^{2}\rangle }$

satisface una desigualdad isoperimétrica cúbica pero no cuadrática. ^[8]

• Grupos de Heisenberg de dimensiones superiores

${\displaystyle H_{2k+1}=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k},t|[a_{i},b_{i}]=t,[a_{i},t]=[b_{i},t]=1,i=1,\dots ,k,[a_{i},b_{j}]=1,i\neq j\rangle }$,

donde k  ≥ 2, satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^[9]

• Si G es un "grupo de Novikov-Boone", es decir, un grupo finitamente presentado con un problema verbal irresoluble , entonces la función de Dehn de G crece más rápido que cualquier función recursiva .
• Para el grupo de Thompson F la función de Dehn es cuadrática, es decir, equivalente a n ² (ver ^[10] ).
• El llamado grupo Baumslag-Gersten

${\displaystyle G=\langle a,t|(t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

tiene una función Dehn que crece más rápido que cualquier torre iterada fija de exponenciales. Específicamente, para este grupo

Dehn( n ) ≈ exp(exp(exp(...(exp(1))...)))

donde el número de exponenciales es igual a la parte integral de log ₂ ( n ) (ver ^{[1] [11]} ).

Resultados conocidos

• Un grupo finitamente presentado es un grupo hiperbólico si y sólo si su función de Dehn es equivalente a n , es decir, si y sólo si cada presentación finita de este grupo satisface una desigualdad isoperimétrica lineal. ^[3]
• Brecha isoperimétrica : si un grupo presentado finitamente satisface una desigualdad isoperimétrica subcuadrática, entonces es hiperbólico en términos de palabras. ^{[3] [12] [13]} Por lo tanto, no hay grupos presentados finitamente con funciones de Dehn equivalentes a n ^d con d  ∈ (1,2).
• Los grupos automáticos y, más generalmente, los grupos combinables satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^[8]
• Un grupo nilpotente finitamente generado tiene una función Dehn equivalente a n ^d donde d  ≥ 1 y todos los enteros positivos d se realizan de esta manera. Además, cada grupo nilpotente finitamente generado G admite una desigualdad isoperimétrica polinómica de grado c  + 1, donde c es la clase de nilpotencia de G . ^[14]
• El conjunto de números reales d  ≥ 1, tales que existe un grupo finitamente presentado con función de Dehn equivalente a n ^d , es denso en el intervalo . ^[15] ${\displaystyle [2,\infty )}$
• Si todos los conos asintóticos de un grupo finitamente presentado están simplemente conexos , entonces el grupo satisface una desigualdad isoperimétrica polinomial. ^[16]
• Si un grupo finitamente presentado satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática, entonces todos los conos asintóticos de este grupo están simplemente conectados. ^[17]
• Si ( M , g ) es una variedad riemanniana cerrada y G  =  π ₁ ( M ) entonces la función de Dehn de G es equivalente a la función de área de llenado de la variedad. ^[18]
• Si G es un grupo que actúa de manera propiamente discontinua y cocompacta por isometrías en un espacio CAT(0) , entonces G satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática. ^[19] En particular, esto se aplica al caso donde G es el grupo fundamental de una variedad riemanniana cerrada de curvatura seccional no positiva (no necesariamente constante).
• La función Dehn de SL( m , Z ) es como máximo exponencial para cualquier m  ≥ 3. ^[20] Para SL(3, Z ) este límite es preciso y se sabe en ese caso que la función Dehn no admite un límite superior subexponencial. ^[8] Las funciones Dehn para SL( m , Z ), donde m  > 4 son cuadráticas. ^[21] Thurston ha conjeturado que la función Dehn de SL(4, Z ) es cuadrática. Leuzinger y Young han demostrado esta conjetura y, de forma más general, la de Gromov de que las redes en grupos de Lie de rango superior tienen una función Dehn cuadrática. ^[22]
• Los grupos de clases de mapeo de superficies de tipo finito son automáticos y satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^[23]
• Las funciones de Dehn para los grupos Aut( F _k ) y Out( F _k ) son exponenciales para cada k ≥ 3. Hatcher y Vogtmann encontraron desigualdades isoperimétricas exponenciales para Aut( F _k ) y Out( F _k ) cuando k ≥ 3. ^[24] Estos límites son precisos y los grupos Aut( F _k ) y Out( F _k ) no satisfacen desigualdades isoperimétricas subexponenciales, como lo muestran  Bridson y Vogtmann para k = 3, ^[25] y Handel y Mosher para k ≥ 4. ^[26]
• Para cada automorfismo φ de un grupo libre finitamente generado F _k, el grupo toro de aplicación de φ satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática. ^[27] ${\displaystyle F_{k}\rtimes _{\phi }\mathbb {Z} }$
• La mayoría de las funciones computables "razonables" que son ≥ n ⁴ , pueden realizarse, hasta la equivalencia, como funciones de Dehn de grupos finitamente presentados. En particular, si f ( n ) ≥  n ⁴ es una función superaditiva cuya representación binaria es computable en el tiempo por una máquina de Turing , entonces f ( n ) es equivalente a la función de Dehn de un grupo finitamente presentado. ${\displaystyle O\left({\sqrt[{4}]{f(n)}}\right)}$
• Aunque no se puede limitar razonablemente la función Dehn de un grupo en términos de la complejidad de su problema verbal, Birget, Olʹshanskii, Rips y Sapir obtuvieron el siguiente resultado, ^[28] proporcionando una generalización de largo alcance del teorema de incrustación de Higman : El problema verbal de un grupo finitamente generado es decidible en tiempo polinomial no determinista si y solo si este grupo puede incrustarse en un grupo finitamente presentado con una función isoperimétrica polinomial. Además, cada grupo con el problema verbal resoluble en tiempo T( n ) puede incrustarse en un grupo con función isoperimétrica equivalente a n ² T( n ² ) ⁴ .

Generalizaciones

• Existen varias nociones complementarias estrechamente relacionadas con la noción de una función isoperimétrica. Así, una función isodiamétrica ^[29] limita el diámetro más pequeño (con respecto a la métrica simplicial donde cada arista tiene longitud uno) de un diagrama de van Kampen para una relación particular w en términos de la longitud de w . Una función de longitud de llenado la longitud de llenado más pequeña de un diagrama de van Kampen para una relación particular w en términos de la longitud de w . Aquí, la longitud de llenado de un diagrama es el mínimo, sobre todas las homotopías nulas combinatorias del diagrama, de la longitud máxima de los bucles intermedios que limitan los diagramas intermedios a lo largo de dichas homotopías nulas. ^{[30] La función de longitud de llenado está estrechamente relacionada con la} complejidad espacial no determinista del problema verbal para grupos presentados finitamente. Existen varias desigualdades generales que conectan la función de Dehn, la función isodiamétrica óptima y la función de longitud de llenado óptima, pero aún no se entiende la relación precisa entre ellas.
• También hay generalizaciones de dimensiones superiores de funciones isoperimétricas y de Dehn. ^[31] Para k  ≥ 1, la función isoperimétrica k -dimensional de un grupo limita el volumen combinatorio mínimo de  los rellenos de bolas ( k + 1)-dimensionales de las k -esferas mapeadas en un espacio k -conexo en el que el grupo actúa apropiadamente y de manera cocompacta; el límite se da como una función del volumen combinatorio de la k -esfera. La noción estándar de una función isoperimétrica corresponde al caso k  = 1. Comparada con el caso clásico, sólo se sabe poco acerca de estas funciones de relleno de dimensiones superiores. Un resultado principal es que las redes en grupos de Lie semisimples de rango superior no están distorsionadas en dimensiones por debajo del rango, es decir, satisfacen las mismas funciones de relleno que su espacio simétrico asociado. ^[22]
• En su monografía Invariantes asintóticos de grupos infinitos ^[32], Gromov propuso una versión probabilística o promediada de la función de Dehn y sugirió que, para muchos grupos, las funciones de Dehn promediadas deberían tener asintóticas estrictamente más lentas que las funciones de Dehn estándar. Otros investigadores dieron tratamientos más precisos de la noción de función de Dehn promediada o función de Dehn media y demostraron que, de hecho, las funciones de Dehn promediadas son subasimptóticas a las funciones de Dehn estándar en varios casos (como los grupos nilpotentes y abelianos). ^{[33] [34] [35]}

• Una versión relativa de la noción de función isoperimétrica juega un papel central en el enfoque de Osin para los grupos relativamente hiperbólicos . ^[36]
• Grigorchuk e Ivanov exploraron varias generalizaciones naturales de la función de Dehn para presentaciones grupales sobre un número finito de generadores pero con infinitas relaciones definitorias. ^[37]

Véase también

• Diagrama de van Kampen
• Grupo hiperbólico de palabras
• Grupo automático
• Teoría de la pequeña cancelación
• Teoría de grupos geométricos

Notas

1. SM Gersten, Funciones isoperimétricas e isodiamétricas de presentaciones finitas. Teoría de grupos geométricos, vol. 1 (Sussex, 1991), págs. 79-96, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 181, Cambridge University Press , Cambridge, 1993.
2. Martin Greendlinger, Algoritmo de Dehn para el problema verbal. Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13 (1960), págs. 67–83.
3. M. Gromov, Grupos hiperbólicos en: "Ensayos sobre teoría de grupos" (GM Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, págs. 75-263. ISBN  0-387-96618-8 . MR 0919829
4. M. Sapir, J.-C. Birget, E. Rips. Funciones isoperimétricas e isodiamétricas de grupos . Annals of Mathematics (2), vol. 156 (2002), n.º 2, págs. 345–466.
5. Juan M. Alonso, Inégalités isopérimétriques et quasi-isométries. Cuentas Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I, vol. 311 (1990), núm. 12, págs. 761–764.
6. Martin R. Bridson. La geometría del problema verbal. Invitaciones a la geometría y la topología, págs. 29-91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press , Oxford, 2002. ISBN 0-19-850772-0 . 
7. SM Gersten, Funciones de Dehn y normas l ₁ de presentaciones finitas . Algoritmos y clasificación en teoría de grupos combinatorios (Berkeley, CA, 1989), págs. 195-224, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Nueva York, 1992. ISBN 0-387-97685-X . 
8. DBA Epstein , JW Cannon , D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Procesamiento de textos en grupos . Jones and Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992. ISBN 0-86720-244-0 MR 1161694 
9. D. Allcock, Una desigualdad isoperimétrica para los grupos de Heisenberg. Análisis geométrico y funcional , vol. 8 (1998), núm. 2, págs. 219–233.
10. VS Guba, La función Dehn del grupo F de Richard Thompson es cuadrática. Inventiones Mathematicae , vol. 163 (2006), núm. 2, págs. 313–342.
11. AN Platonov, Una función isoparamétrica del grupo Baumslag-Gersten . (en ruso.) Vestnik Moskov. Univ. Ser. Yo Mat. Mej. 2004, núm. 3, págs. 12-17; traducción en: Boletín de Matemáticas de la Universidad de Moscú, vol. 59 (2004), núm. 3, págs. 12-17 (2005).
12. A. Yu. Olʹshanskii. Hiperbolicidad de grupos con desigualdad isoperimétrica subcuadrática. International Journal of Algebra and Computation, vol. 1 (1991), n.º 3, págs. 281–289. MR 1148230 doi :10.1142/S0218196791000183
13. BH Bowditch . Una breve demostración de que una desigualdad isoperimétrica subcuadrática implica una desigualdad lineal. Michigan Mathematical Journal, vol. 42 (1995), n.º 1, págs. 103-107. MR 1322192 doi :10.1307/mmj/1029005156
14. SM Gersten, DF Holt, TR Riley, Desigualdades isoperimétricas para grupos nilpotentes. Análisis geométrico y funcional , vol. 13 (2003), núm. 4, págs. 795–814. MR 2006557 doi :10.1007/s00039-003-0430-y
15. N. Brady y MR Bridson, Sólo hay un hueco en el espectro isoperimétrico. Análisis geométrico y funcional , vol. 10 (2000), núm. 5, págs. 1053–1070.
16. M. Gromov, Invariantes asintóticos de grupos infinitos , en: "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, págs. 1–295.
17. P. Papasoglu. Sobre el cono asintótico de grupos que satisfacen una desigualdad isoperimétrica cuadrática. Archivado el 23 de mayo de 2011 en la Wayback Machine Journal of Differential Geometry , vol. 44 (1996), núm. 4, pp. 789–806.
18. J. Burillo y J. Taback . Equivalencia de funciones Dehn geométricas y combinatorias. New York Journal of Mathematics, vol. 8 (2002), págs. 169-179.
19. MR Bridson y A. Haefliger , Espacios métricos de curvatura no positiva. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. ISBN 3-540-64324-9 ; Observación 1.7, pág. 444. 
20. Leuzinger, Enrico (mayo de 2004). "Sobre retracciones poliédricas y compactificaciones de espacios localmente simétricos". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 20 (3): 293–318. doi :10.1016/j.difgeo.2004.03.001.
21. Robert Young, La función Dehn de SL(n;Z). Annals of Mathematics (2), vol. 177 (2013) n.º 3, págs. 969–1027.
22. E. Leuzinger y R. Young, Funciones de llenado de grupos aritméticos. Annals of Mathematics , vol. 193 (2021), págs. 733–792.
23. Lee Mosher, Mapping class groups are automatic. Anales de Matemáticas (2), vol. 142 (1995), núm. 2, págs. 303–384.
24. Allen Hatcher y Karen Vogtmann , Desigualdades isoperimétricas para grupos de automorfismos de grupos libres. Pacific Journal of Mathematics , vol. 173 (1996), núm. 2, 425–441.
25. Martin R. Bridson y Karen Vogtmann, Sobre la geometría del grupo de automorfismos de un grupo libre. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 27 (1995), núm. 6, págs. 544–552.
26. Michael Handel y Lee Mosher, Retracción y distorsión de Lipschitz para subgrupos de Out(Fn). Geometry & Topology , vol. 17 (2013), n.º 3, págs. 1535–1579. MR 3073930 doi :10.2140/gt.2013.17.1535
27. Martin R. Bridson y Daniel Groves. La desigualdad isoperimétrica cuadrática para la aplicación de toros de automorfismos de grupos libres. Memorias de la American Mathematical Society , vol. 203 (2010), n.º 955.
28. J.-C. Birget, A. Yu. Ol'shanskii, E. Rips, M. Sapir. Funciones isoperimétricas de grupos y complejidad computacional del problema verbal. Annals of Mathematics (2), vol. 156 (2002), n.º 2, págs. 467–518.
29. SM Gersten, El teorema exponencial doble para funciones isodiamétricas e isoperimétricas . Revista internacional de álgebra y computación, vol. 1 (1991), núm. 3, págs. 321–327.
30. SM Gersten y T. Riley, Relleno de longitud en grupos finitamente presentables. Dedicado a John Stallings con motivo de su 65.º cumpleaños. Geometriae Dedicata , vol. 92 (2002), págs. 41-58.
31. JM Alonso, X. Wang y SJ Pride, Funciones isoperimétricas (o Dehn) de grupos de dimensiones superiores. Journal of Group Theory , vol. 2 (1999), núm. 1, págs. 81–112.
32. M. Gromov, Invariantes asintóticos de grupos infinitos , en: "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press , Cambridge, 1993, págs. 1–295.
33. O. Bogopolskii y E. Ventura. Las funciones Dehn medias de los grupos abelianos. Journal of Group Theory , vol. 11 (2008), núm. 4, págs. 569–586.
34. Robert Young. Funciones de Dehn promediadas para grupos nilpotentes. Topology , vol. 47 (2008), núm. 5, págs. 351–367.
35. EG Kukina y VA Roman'kov. Crecimiento subcuadrático de la función Dehn promediada para grupos abelianos libres. Siberian Mathematical Journal, vol. 44 (2003), núm. 4, 1573–9260.
36. Densi Osin. Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas y problemas algorítmicos. Memorias de la American Mathematical Society, vol. 179 (2006), núm. 843. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-3821-1 . 
37. RI Grigorchuk y SV Ivanov, Sobre las funciones de Dehn de las representaciones infinitas de grupos, Análisis geométrico y funcional , vol. 18 (2009), núm. 6, págs. 1841–1874

Lectura adicional

• Noel Brady, Tim Riley y Hamish Short. La geometría del problema verbal para grupos finitamente generados. Cursos avanzados de matemáticas CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, Basilea, 2007. ISBN 3-7643-7949-9 . 
• Martin R. Bridson. La geometría del problema verbal. Invitaciones a la geometría y la topología, págs. 29-91, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press , Oxford, 2002. ISBN 0-19-850772-0 . 

Enlaces externos

• La desigualdad isoperimétrica para SL(n,Z). Taller de septiembre de 2008 en el Instituto Americano de Matemáticas .
• PDF del artículo de Bridson La geometría del problema de la palabra.