stringtranslate.com

Espacio funcional

En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y/o codominio tendrán una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la adición puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio funcional podría heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre de espacio funcional .

En álgebra lineal

Sea F un cuerpo y sea X un conjunto cualquiera. A las funciones XF se les puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen puntualmente, es decir, para cualquier f , g  : XF , cualquier x en X y cualquier c en F , definen Cuando el dominio X tiene estructura adicional, se podría considerar en cambio el subconjunto (o subespacio ) de todas esas funciones que respetan esa estructura. Por ejemplo, si V y también X mismo son espacios vectoriales sobre F , el conjunto de aplicaciones lineales XV forman un espacio vectorial sobre F con operaciones puntuales (a menudo denotadas Hom ( X , V )). Uno de esos espacios es el espacio dual de X : el conjunto de funcionales lineales XF con adición y multiplicación escalar definidas puntualmente.

La dimensión cardinal de un espacio funcional sin estructura adicional se puede encontrar mediante el teorema de Erdős-Kaplansky .

Ejemplos

Los espacios funcionales aparecen en diversas áreas de las matemáticas:

Análisis funcional

El análisis funcional se organiza en torno a técnicas adecuadas para poner los espacios funcionales como espacios vectoriales topológicos al alcance de las ideas que se aplicarían a los espacios normados de dimensión finita. Aquí utilizamos la línea real como dominio de ejemplo, pero los espacios que se indican a continuación existen en subconjuntos abiertos adecuados.

Norma

Si y es un elemento del espacio funcional de todas las funciones continuas que están definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma definida en es el valor absoluto máximo de y ( x ) para axb , [2]

se llama norma uniforme o norma suprema ('supnorm').

Bibliografía

Véase también

Referencias

  1. ^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso. Springer Science & Business Media. pág. 4. ISBN 9780387974958.
  2. ^ Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (edición reimpresa sin abreviar). Mineola, Nueva York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.