función de error

Sigmoid shape special function

En matemáticas, la función de error (también llamada función de error de Gauss ), a menudo denotada por erf , es una función definida como: ^[1] $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$$

Algunos autores definen sin el factor de . ^[2] Esta integral no elemental es una función sigmoidea que ocurre a menudo en probabilidad , estadística y ecuaciones diferenciales parciales . En muchas de estas aplicaciones, el argumento de la función es un número real. Si el argumento de la función es real, entonces el valor de la función también es real. ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle 2/{\sqrt {\pi }}}$

En estadística, para valores no negativos de x , la función de error tiene la siguiente interpretación: para una variable aleatoria Y que se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar ⁠1/√ 2⁠ , erf x es la probabilidad de que Y esté en el rango [− x , x ] .

Dos funciones estrechamente relacionadas son la función de error complementaria ( erfc ) definida como y la función de error imaginario ( erfi ) definida como donde i es la unidad imaginaria . $${\displaystyle \operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,}$$

Nombre

El nombre "función de error" y su abreviatura erf fueron propuestos por JWL Glaisher en 1871 debido a su conexión con "la teoría de la probabilidad y, en particular, la teoría de los errores ". ^[3] Glaisher también analizó el complemento de la función de error en una publicación separada del mismo año. ^[4] Para la "ley de la facilidad" de los errores cuya densidad está dada por (la distribución normal ), Glaisher calcula la probabilidad de un error entre p y q como: $${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{1/2}e^{-cx^{2}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$$

Gráfica de la función de error Erf(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Aplicaciones

Cuando los resultados de una serie de mediciones se describen mediante una distribución normal con desviación estándar σ y valor esperado 0, entonces erf ( ⁠a/s √ 2⁠ ) ​​es la probabilidad de que el error de una sola medición se encuentre entre − a y + a , para a positiva. Esto es útil, por ejemplo, para determinar la tasa de error de bits de un sistema de comunicación digital.

Las funciones de error y error complementario ocurren, por ejemplo, en soluciones de la ecuación de calor cuando las condiciones de contorno están dadas por la función escalonada de Heaviside .

La función de error y sus aproximaciones se pueden utilizar para estimar resultados que se cumplen con alta o baja probabilidad. Dada una variable aleatoria X ~ Norm[ μ , σ ] (una distribución normal con media μ y desviación estándar σ ) y una constante L > μ , se puede mostrar mediante integración por sustitución: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$

donde A y B son ciertas constantes numéricas. Si L está suficientemente lejos de la media, específicamente μ − L ≥ σ √ ln k , entonces:

$${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$$

entonces la probabilidad llega a 0 cuando k → ∞ .

La probabilidad de que _X esté en el intervalo [ La , Lb _] se puede derivar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}}$$

Propiedades

Parcelas en el plano complejo.

La propiedad erf (− z ) = −erf z significa que la función de error es una función impar . Esto resulta directamente del hecho de que el integrando e ^{− t 2} es una función par (la primitiva de una función par que es cero en el origen es una función impar y viceversa).

Dado que la función de error es una función completa que lleva números reales a números reales, para cualquier número complejo z : donde z es el conjugado complejo de z . $${\displaystyle \operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}}$$

El integrando f = exp(− z ² ) y f = erf z se muestran en el plano z complejo en las figuras de la derecha con coloración de dominio .

La función de error en +∞ es exactamente 1 (ver integral gaussiana ). En el eje real, erf z tiende a la unidad en z → +∞ y −1 en z → −∞ . En el eje imaginario, tiende a ± i ∞ .

serie de taylor

La función de error es una función completa ; no tiene singularidades (excepto en el infinito) y su expansión de Taylor siempre converge, pero es famoso "[...] por su mala convergencia si x > 1 ". ^[5]

La integral definitoria no puede evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales (ver teorema de Liouville ), pero al expandir el integrando e − ^{z 2 en} su serie de Maclaurin e integrar término por término, se obtiene la serie de Maclaurin de la función de error como: que se cumple para cada número complejo z . Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS . $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

Para el cálculo iterativo de la serie anterior, la siguiente formulación alternativa puede resultar útil: porque ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}}$$−(2 k − 1) z ²/k (2 k + 1)⁠ expresa el multiplicador para convertir el késimo término en el ( k  + 1) ésimo término (considerando z como el primer término).

La función de error imaginario tiene una serie de Maclaurin muy similar, que es: que es válida para todo número complejo z . $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

Derivada e integral

La derivada de la función de error se desprende inmediatamente de su definición: De aquí la derivada de la función de error imaginaria también es inmediata: Una primitiva de la función de error, obtenible por integración por partes , es una primitiva de la función de error imaginaria, también obtenible por integración por partes, las derivadas de orden superior están dadas por donde H son los polinomios de Hermite de los físicos . ^[6] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$ $${\displaystyle z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$ $${\displaystyle z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$$

Serie Bürmann

Una expansión, ^[7] que converge más rápidamente para todos los valores reales de x que una expansión de Taylor, se obtiene utilizando el teorema de Hans Heinrich Bürmann : ^[8] donde sgn es la función de signo . Manteniendo solo los dos primeros coeficientes y eligiendo c ₁ = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} x&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$$31/200⁠ y c ₂ = − ⁠341/8000⁠ , la aproximación resultante muestra su mayor error relativo en x = ±1,3796 , donde es menor que 0,0036127: $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

Funciones inversas

Función de error inverso

Dado un número complejo z , no existe un número complejo único w que satisfaga erf w = z , por lo que una función inversa verdadera sería multivaluada. Sin embargo, para −1 < x < 1 , existe un número real único denominado erf ⁻¹ x que satisface $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}x\right)=x.}$$

La función de error inversa generalmente se define con el dominio (−1,1) y está restringida a este dominio en muchos sistemas de álgebra informática. Sin embargo, se puede extender al disco | z | < 1 del plano complejo, utilizando la serie de Maclaurin ^[9] donde c ₀ = 1 y $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

Entonces tenemos la expansión de la serie (los factores comunes se han cancelado de los numeradores y denominadores): (Después de la cancelación, las fracciones del numerador/denominador son entradas OEIS : A092676 / OEIS : A092677 en el OEIS ; sin cancelación, los términos del numerador se dan en la entrada OEIS : A002067 .) El valor de la función de error en  ±∞ es igual a  ±1 . $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$$

Para | z | < 1 , tenemos erf(erf ⁻¹ z ) = z .

La función de error complementario inverso se define como Para x real , existe un número real único erfi ⁻¹ x que satisface erfi(erfi ⁻¹ x ) = x . La función de error imaginario inverso se define como erfi ⁻¹ x . ^[10] $${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}z.}$$

Para cualquier x real , se puede utilizar el método de Newton para calcular erfi ⁻¹ x , y para −1 ≤ x ≤ 1 , converge la siguiente serie de Maclaurin: donde c _k se define como anteriormente. $${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$

Expansión asintótica

Una expansión asintótica útil de la función de error complementaria (y por lo tanto también de la función de error) para x real grande es donde (2 n − 1)!! es el factorial doble de (2 n − 1) , que es el producto de todos los números impares hasta (2 n − 1) . Esta serie diverge para todo x finito , y su significado como expansión asintótica es que para cualquier entero N ≥ 1 se tiene donde está el resto que se sigue fácilmente por inducción, escritura e integración por partes. $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x)}$$ $${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$$ $${\displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'}$$

El comportamiento asintótico del término restante, en notación Landau , es como x → ∞ . Esto se puede encontrar mediante Para valores suficientemente grandes de x , sólo se necesitan los primeros términos de esta expansión asintótica para obtener una buena aproximación de erfc x (mientras que para valores no demasiado grandes de x , la expansión de Taylor anterior en 0 proporciona una solución muy convergencia rápida). $${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}\right)}$$ $${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,\mathrm {d} t\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,\mathrm {d} t\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$$

Expansión de fracción continua

Una expansión fraccionaria continua de la función de error complementaria es: ^[11] $${\displaystyle \operatorname {erfc} z={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$$

Integral de la función de error con la función de densidad gaussiana

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\operatorname {erf} {\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}},\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$$que aparece relacionado con Ng y Geller, fórmula 13 en el apartado 4.3 ^[12] con un cambio de variables.

series factoriales

La serie factorial inversa: converge para Re( z ² ) > 0 . Aquí z ⁿ denota el factorial ascendente y s ( n , k ) denota un número de Stirling con signo del primer tipo . ^{[13] [14]} También existe una representación por una suma infinita que contiene el doble factorial : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{\bar {n}}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&{\overset {\text{def}}{{}={}}}{\frac {1}{\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\right)}}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$$

Aproximaciones numéricas

Aproximación con funciones elementales

• Abramowitz y Stegun ofrecen varias aproximaciones de diversa precisión (ecuaciones 7.1.25–28). Esto permite elegir la aproximación más rápida adecuada para una aplicación determinada. En orden creciente de precisión, son: (error máximo: $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$5 × 10-4 )^​

  donde a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$(error máximo:2,5 × 10-5 )^​

  donde p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = −0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$(error máximo:3 × 10-7 )^​

  donde a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$(error máximo:1,5 × 10-7 )^​

  donde p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = −0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = −1,453152027 , a ₅ = 1,061405429

  Todas estas aproximaciones son válidas para x ≥ 0 . Para usar estas aproximaciones para x negativo , use el hecho de que erf x es una función impar, por lo que erf x = −erf(− x ) .

• Los límites exponenciales y una aproximación exponencial pura para la función de error complementaria vienen dados por ^[15] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} x&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&\quad x&>0.\end{aligned}}}$$
• Lo anterior se ha generalizado a sumas de N exponenciales ^[16] con precisión creciente en términos de N, de modo que erfc x puede aproximarse o acotarse con precisión por 2 Q̃ ( √ 2 x ) , donde , en particular, existe una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos {( a _n , b _n )} $${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$^norte
  _{norte = 1}que producen una aproximación minimax o un límite para la función Q estrechamente relacionada : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) , o Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) para x ≥ 0 . Los coeficientes {( a _n , b _n )}^norte
  _{norte = 1}porque muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y los límites hasta N = 25 se han lanzado al acceso abierto como un conjunto de datos completo. ^[17]
• Karagiannidis & Lioumpas (2007) ^[18] dan una estrecha aproximación de la función de error complementaria para x ∈ [0,∞) quienes demostraron que para la elección apropiada de los parámetros { A , B } determinaban { A , B } = {1.98,1.135} , lo que dio una buena aproximación para todo x ≥ 0 . También hay disponibles coeficientes alternativos para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformar la expresión en un límite estricto. ^[19] $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$
• Un límite inferior de un solo término es ^[20] donde el parámetro β se puede elegir para minimizar el error en el intervalo de aproximación deseado. $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$
• Sergei Winitzki ofrece otra aproximación utilizando sus "aproximaciones globales de Padé": ^{[21] [22] : 2–3} donde Esto está diseñado para ser muy preciso en una vecindad de 0 y una vecindad del infinito, y el error relativo es menor. que 0,00035 para todos los x reales . El uso del valor alternativo a ≈ 0,147 reduce el error relativo máximo a aproximadamente 0,00013. ^[23] $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$

  Esta aproximación se puede invertir para obtener una aproximación de la función de error inversa: $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

• Una aproximación con un error máximo de1,2 × 10 ⁻⁷ para cualquier argumento real es: ^[24] con y $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle t={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}.}$$
• Una aproximación de con un error relativo máximo menor que en valor absoluto es: ^[25] para y para ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle 2^{-53}}$ ${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$
• Se podría realizar una aproximación simple para argumentos de valor real mediante funciones hiperbólicas : que mantienen la diferencia absoluta . $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$ ${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$

tabla de valores

Funciones relacionadas

Función de error complementaria

La función de error complementaria , denotada como erfc , se define como

Gráfica de la función de error complementaria Erfc(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&=1-\operatorname {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{aligned}}}$$que también define erfcx , la función de error complementaria escalada ^[26] (que puede usarse en lugar de erfc para evitar el desbordamiento aritmético ^{[26] [27]} ). Otra forma de erfc x para x ≥ 0 se conoce como fórmula de Craig, en honor a su descubridor: ^[28] Esta expresión es válida sólo para valores positivos de x , pero puede usarse junto con erfc x = 2 − erfc(− x ) para obtener erfc( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito. Una extensión de esta expresión para la erfc de la suma de dos variables no negativas es la siguiente: ^[29] $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$

Función de error imaginario

La función de error imaginario , denotada como erfi , se define como

Gráfico de la función de error imaginario Erfi(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} x&=-i\operatorname {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$donde D ( x ) es la función de Dawson (que puede usarse en lugar de erfi para evitar el desbordamiento aritmético ^[26] ).

A pesar del nombre "función de error imaginario", erfi x es real cuando x es real.

Cuando la función de error se evalúa para argumentos complejos arbitrarios z , la función de error compleja resultante generalmente se analiza en forma escalada como la función de Faddeeva : $${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$$

Función de distribución acumulativa

La función de error es esencialmente idéntica a la función de distribución acumulativa normal estándar , denotada Φ , también llamada norma( x ) por algunos lenguajes de software ^{[ cita requerida ]} , ya que solo difieren en la escala y la traducción. En efecto,

la función de distribución acumulativa normal trazada en el plano complejo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$o reorganizado para erf y erfc : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

En consecuencia, la función de error también está estrechamente relacionada con la función Q , que es la probabilidad de la cola de la distribución normal estándar. La función Q se puede expresar en términos de la función de error como $${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

La inversa de Φ se conoce como función cuantil normal o función probit y puede expresarse en términos de la función de error inversa como $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$$

La CDF normal estándar se usa con más frecuencia en probabilidad y estadística, y la función de error se usa con más frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función de error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler , y también puede expresarse como una función hipergeométrica confluente (función de Kummer): $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$$

Tiene una expresión simple en términos de la integral de Fresnel . ^{[ Se necesita más explicación ]}

En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta , sgn x es la función de signo . $${\displaystyle \operatorname {erf} x=\operatorname {sgn} x\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\pi }}}\gamma {\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}.}$$

Funciones de error generalizadas

Gráfica de funciones de error generalizadas E _n ( x ) :

• curva gris: E ₁ ( x ) = ⁠1 - mi ^{- x}/√π​⁠
• curva roja: E ₂ ( x ) = erf ( x )
• curva verde: E ₃ ( x )
• curva azul: E ₄ ( x )
• curva de oro: E ₅ ( x ) .

Algunos autores analizan las funciones más generales: ^{[ cita necesaria ]} Los casos notables son: $${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}$$

• E ₀ ( x ) es una línea recta que pasa por el origen: E ₀ ( x ) = ⁠X/mi √ π⁠
• E ₂ ( x ) es la función de error, erf x .

Después de la división por n ! , todos los E _n para n impares se ven similares (pero no idénticos) entre sí. De manera similar, los E _n para n pares se ven similares (pero no idénticos) entre sí después de una simple división por n . . Todas las funciones de error generalizadas para n > 0 se ven similares en el lado x positivo del gráfico.

Estas funciones generalizadas se pueden expresar de manera equivalente para x > 0 usando la función gamma y la función gamma incompleta : $${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right),\qquad x>0.}$$

Por tanto, podemos definir la función de error en términos de la función gamma incompleta: $${\displaystyle \operatorname {erf} x=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).}$$

Integrales iteradas de la función de error complementaria.

Las integrales iteradas de la función de error complementaria están definidas por ^[30] $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{n}\!\operatorname {erfc} z&=\int _{z}^{\infty }i^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]i^{0}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {erfc} z\\i^{1}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} z\\i^{2}\!\operatorname {erfc} z&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}}$$

La fórmula de recurrencia general es $${\displaystyle 2n\cdot i^{n}\!\operatorname {erfc} z=i^{n-2}\!\operatorname {erfc} z-2z\cdot i^{n-1}\!\operatorname {erfc} z}$$

Tienen la serie de potencias de la que se siguen las propiedades de simetría y $${\displaystyle i^{n}\!\operatorname {erfc} z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$$ $${\displaystyle i^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$$ $${\displaystyle i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$$

Implementaciones

Como función real de un argumento real

• En los sistemas operativos compatibles con POSIX , el encabezado math.hdeclarará y la biblioteca matemática libmproporcionará las funciones erfy erfc( doble precisión ) , así como sus contrapartes de precisión simple y precisión extendidaerff , erfly erfcf,. ^[31]erfcl
• La biblioteca científica GNU proporciona funciones de error escaladas erf, erfc, log(erf)y . ^[32]

Como función compleja de un argumento complejo

• libcerf, biblioteca numérica de C para funciones de error complejas, proporciona las funciones complejas cerf, y las funciones reales , con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos, basada en la función Faddeeva implementada en el paquete Faddeeva del MIT cerfc.cerfcxerfierfcx
• La función para argumentos complejos se puede calcular numéricamente de la siguiente manera: $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(a+bi\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{b^{2}}\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\cos \left(2bx\right)\,dx+i\left(\operatorname {erfi} \left(b\right)-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{b^{2}}\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\sin \left(2bx\right)\,dx\right)}$$

Ver también

Funciones relacionadas

• Integral gaussiana , sobre toda la recta real
• Función gaussiana , derivada
• Función Dawson , función de error imaginario renormalizada
• Integral de Goodwin-Staton

En probabilidad

• Distribución normal
• Función de distribución acumulativa normal , una forma escalada y desplazada de función de error
• Probit , la función inversa o cuantil de la CDF normal
• Función Q , la probabilidad de cola de la distribución normal.
• Puntuación estándar

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Una tabla de integrales de las funciones de error.