En matemáticas , la función de Dawson o integral de Dawson [1]
(llamada así por HG Dawson [2] ) es la transformada seno de Fourier-Laplace unilateral de la función gaussiana.
Definición
La función de Dawson se define como:
también se denota como o
o alternativamente
Está estrechamente relacionada con la función de error erf, ya que
donde erfi es la función de error imaginaria, erfi( x ) = − i erf( ix ).
De manera similar,
en términos de la función de error real, erf.
En términos de erfi o de la función de Faddeeva, la función de Dawson se puede extender a todo el plano complejo : [3]
lo que se simplifica a
:
Para valores cercanos a cero, F ( x ) ≈ x .
Para valores grandes, F ( x ) ≈ 1/(2 x ).
Más específicamente, cerca del origen tiene la expansión en serie
mientras que para valores grandes tiene la expansión asintótica.
satisface la ecuación diferencial
con la condición inicial En consecuencia, tiene extremos para
resultando en x = ±0.92413887... ( OEIS : A133841 ), F ( x ) = ±0.54104422... ( OEIS : A133842 ).
Los puntos de inflexión se deducen para
x = ±1,50197526... ( OEIS : A133843 ), F ( x ) = ±0,42768661... ( OEIS : A245262 ). (Aparte del punto de inflexión trivial en )
PV denota el valor principal de Cauchy y nos limitamos a los valores reales que se pueden relacionar con la función de Dawson de la siguiente manera. Dentro de una integral de valor principal, podemos tratarla como una función o distribución generalizada y utilizar la representación de Fourier.
Con utilizamos la representación exponencial de y completamos el cuadrado con respecto a para encontrar
Podemos desplazar la integral al eje real y obtenemos
lo siguiente:
Completamos el cuadrado con respecto a y obtenemos
Cambiamos las variables a
La integral se puede realizar como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado se obtiene
donde es la función de Dawson como se definió anteriormente.
La transformada de Hilbert de también está relacionada con la función de Dawson. Vemos esto con la técnica de derivación dentro del signo integral. Sea
Introducir
La derivada es
Así pues, encontramos
Primero se realizan las derivadas, luego el resultado evaluado en Un cambio de variable también da Como podemos escribir donde y son polinomios. Por ejemplo, Alternativamente, se puede calcular utilizando la relación de recurrencia (para )
^ Dawson, HG (1897). "Sobre el valor numérico de ∫ 0 h exp ( x 2 ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx}". Actas de la London Mathematical Society . s1-29 (1): 519–522. doi :10.1112/plms/s1-29.1.519.
^ Mofreh R. Zaghloul y Ahmed N. Ali, "Algoritmo 916: cálculo de las funciones de Faddeyeva y Voigt", ACM Trans. Math. Soft. 38 (2), 15 (2011). Versión preliminar disponible en arXiv:1106.0151.
libcerf, biblioteca numérica C para funciones de error complejas, proporciona una función voigt(x, sigma, gamma) con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos. Se basa en la función Faddeeva tal como se implementa en el paquete Faddeeva del MIT.