Función de distribución radial

Descripción de la densidad de partículas en mecánica estadística.

calculo de ${\displaystyle g(r)}$

Función de distribución radial para el fluido modelo Lennard-Jones en . ${\displaystyle \scriptstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844}$

En mecánica estadística , la función de distribución radial , (o función de correlación de pares ) en un sistema de partículas (átomos, moléculas, coloides, etc.), describe cómo varía la densidad en función de la distancia desde una partícula de referencia. ${\displaystyle g(r)}$

Si se considera que una partícula dada está en el origen O, y si es la densidad numérica promedio de partículas, entonces la densidad local promediada en el tiempo a una distancia de O es . Esta definición simplificada es válida para un sistema homogéneo e isotrópico . A continuación se considerará un caso más general. ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho g(r)}$

En términos más simples, es una medida de la probabilidad de encontrar una partícula a una distancia de una partícula de referencia determinada, en relación con la de un gas ideal. El algoritmo general implica determinar cuántas partículas hay dentro de una distancia y lejos de una partícula. Este tema general se muestra a la derecha, donde la partícula roja es nuestra partícula de referencia y las partículas azules son aquellas cuyos centros están dentro de la capa circular, punteada en naranja. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$

La función de distribución radial generalmente se determina calculando la distancia entre todos los pares de partículas y agrupandolas en un histograma. Luego, el histograma se normaliza con respecto a un gas ideal, donde los histogramas de partículas no están completamente correlacionados. Para tres dimensiones, esta normalización es la densidad numérica del sistema multiplicada por el volumen de la capa esférica, que simbólicamente puede expresarse como . ${\displaystyle (\rho )}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$

Dada una función de energía potencial , la función de distribución radial se puede calcular mediante métodos de simulación por computadora como el método de Monte Carlo , o mediante la ecuación de Ornstein-Zernike , utilizando relaciones de cierre aproximativas como la aproximación de Percus-Yevick o la teoría de cadenas hipernettadas . También se puede determinar experimentalmente, mediante técnicas de dispersión de radiación o mediante visualización directa de partículas suficientemente grandes (del tamaño de un micrómetro) mediante microscopía tradicional o confocal.

La función de distribución radial es de fundamental importancia ya que puede usarse, utilizando la teoría de la solución de Kirkwood-Buff , para vincular los detalles microscópicos con las propiedades macroscópicas. Además, mediante la reversión de la teoría de Kirkwood-Buff, es posible obtener detalles microscópicos de la función de distribución radial a partir de las propiedades macroscópicas. La función de distribución radial también se puede invertir para predecir la función de energía potencial utilizando la ecuación de Ornstein-Zernike o el refinamiento potencial de estructura optimizada. ^[1]

Definición

Considere un sistema de partículas en un volumen (para una densidad numérica promedio ) y a una temperatura (definamos también ; es la constante de Boltzmann). Las coordenadas de las partículas son , con . La energía potencial debida a la interacción entre partículas es y no consideramos el caso de un campo aplicado externamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$ ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$

Los promedios apropiados se toman en el conjunto canónico , con la integral configuracional, tomada sobre todas las combinaciones posibles de posiciones de partículas. La probabilidad de una configuración elemental, es decir, encontrar la partícula 1 en , la partícula 2 en , etc., está dada por ${\displaystyle (N,V,T)}$ ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}$

El número total de partículas es enorme, por lo que por sí solo no es muy útil. Sin embargo, también se puede obtener la probabilidad de una configuración reducida, donde las posiciones de solo las partículas son fijas, en , sin restricciones para las partículas restantes. Para ello hay que integrar ( 1 ) sobre las coordenadas restantes : ${\displaystyle P^{(N)}}$ ${\displaystyle n<N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,}$.

Si las partículas no interactúan, en el sentido de que la energía potencial de cada partícula no depende de ninguna de las otras partículas, entonces la función de partición se factoriza y la probabilidad de una configuración elemental se descompone con argumentos independientes en un producto de probabilidades de una sola partícula, ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$

Observe cómo para partículas que no interactúan la probabilidad es simétrica en sus argumentos. Esto no es cierto en general, y el orden en el que las posiciones ocupan los espacios argumentales importa . Dado un conjunto de posiciones, la forma en que las partículas pueden ocupar esas posiciones es La probabilidad de que esas posiciones ESTÁN ocupadas se encuentra sumando todas las configuraciones en las que se encuentra una partícula en cada una de esas ubicaciones. Esto se puede hacer tomando cada permutación , , en el grupo simétrico de objetos, , para escribir . Para menos posiciones, integramos argumentos superfluos e incluimos un factor de corrección para evitar el recuento excesivo. ${\displaystyle P^{(n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}}$$

de densidad de n partículasindistinguibles ${\displaystyle \forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}}$ ${\displaystyle P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$

factor de permutación ${\displaystyle _{N}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Para , tenemos la densidad de una partícula. Para un cristal, es una función periódica con máximos agudos en los sitios de la red. Para un gas que no interactúa, es independiente de la posición e igual a la densidad numérica total, , del sistema. Para ver esto primero observemos que en el volumen ocupado por el gas, y 0 en el resto. La función de partición en este caso es ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U_{N}=\infty }$

${\displaystyle Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}}$

a partir del cual la definición da el resultado deseado

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(1)}(\mathbf {r} )&={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N}{V}}\\&=\rho \end{aligned}}}$

De hecho, para este caso especial cada densidad de n partículas es independiente de las coordenadas y se puede calcular explícitamente

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}}$$

^[2]de correlación de n puntos^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle N\gg n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$

$${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}}$$

Relaciones que involucran g (r)

El factor de estructura

La función de correlación de segundo orden es de especial importancia, ya que está directamente relacionada (mediante una transformada de Fourier ) con el factor de estructura del sistema y, por lo tanto, puede determinarse experimentalmente mediante difracción de rayos X o difracción de neutrones . ^[3] ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

Si el sistema está formado por partículas esféricamente simétricas, depende únicamente de la distancia relativa entre ellas, . Eliminaremos el subíndice y el superíndice: . Tomando la partícula 0 como fija en el origen de las coordenadas, es el número promedio de partículas (entre las restantes ) que se encuentran en el volumen alrededor de la posición . ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$ ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle \textstyle d^{3}r}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} }$

Podemos contar formalmente estas partículas y tomar el promedio mediante la expresión , con el promedio del conjunto, obteniéndose: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle }$

donde la segunda igualdad requiere la equivalencia de partículas . La fórmula anterior es útil para relacionar el factor de estructura estática , definido por , ya que tenemos: ${\displaystyle \textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1}$ ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle ,\end{aligned}}}$

y por lo tanto:

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$, demostrando la relación de Fourier a la que aludimos anteriormente.

Esta ecuación sólo es válida en el sentido de distribuciones , ya que no está normalizada:, por lo que diverge a medida que el volumen , dando lugar a un pico de Dirac en el origen para el factor de estructura. Dado que esta contribución es inaccesible experimentalmente, podemos restarla de la ecuación anterior y redefinir el factor de estructura como una función regular: ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$.

Finalmente, cambiamos el nombre y, si el sistema es un líquido, podemos invocar su isotropía: ${\displaystyle S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$

La ecuación de compresibilidad.

Evaluando ( 6 ) y usando la relación entre la compresibilidad isotérmica y el factor de estructura en el origen se obtiene la ecuación de compresibilidad : ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \textstyle \chi _{T}}$

El potencial de la fuerza media.

Se puede demostrar ^{[4] que la función de distribución radial está relacionada con el} potencial de fuerza media de dos partículas mediante: ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$

En el límite diluido, el potencial de la fuerza media es el par de potenciales exacto bajo el cual la configuración del punto de equilibrio tiene un valor determinado . ${\displaystyle g(r)}$

La ecuación de la energía.

Si las partículas interactúan a través de potenciales de pares idénticos: , la energía interna promedio por partícula es: ^{[5] : Sección 2.5} ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)}$

La ecuación de estado de presión.

Desarrollar la ecuación virial produce la ecuación de estado de presión:

Propiedades termodinámicas en 3D

La función de distribución radial es una medida importante porque a partir de ella se pueden calcular varias propiedades termodinámicas clave, como la energía potencial y la presión.

Para un sistema tridimensional donde las partículas interactúan mediante potenciales por pares, la energía potencial del sistema se puede calcular de la siguiente manera: ^[6]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr}$

Donde N es el número de partículas en el sistema, es la densidad numérica, es el potencial de par . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$

La presión del sistema también se puede calcular relacionando el segundo coeficiente virial con . La presión se puede calcular de la siguiente manera: ^[6] ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle P=\rho kT-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)}$.

Tenga en cuenta que los resultados de la energía potencial y la presión no serán tan precisos como calcular directamente estas propiedades debido al promedio involucrado en el cálculo de . ${\displaystyle g(r)}$

Aproximaciones

Para sistemas diluidos (por ejemplo, gases), las correlaciones en las posiciones de las partículas que se tienen en cuenta se deben únicamente al potencial engendrado por la partícula de referencia, despreciando los efectos indirectos. En la primera aproximación, viene dada simplemente por la ley de distribución de Boltzmann: ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

Si fuera cero para todos , es decir, si las partículas no ejercieran ninguna influencia entre sí, entonces para todos y la densidad local media sería igual a la densidad media : la presencia de una partícula en O no influiría en la distribución de partículas alrededor él y el gas serían ideales. Para distancias tan significativas, la densidad local media diferirá de la densidad media , dependiendo del signo de (mayor para energía de interacción negativa y menor para energía de interacción positiva ). ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(r)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

A medida que aumenta la densidad del gas, el límite de baja densidad se vuelve cada vez menos preciso, ya que una partícula situada en experimenta no sólo la interacción con la partícula en O sino también con las otras vecinas, a su vez influenciadas por la partícula de referencia. Esta interacción mediada aumenta con la densidad, ya que hay más vecinos con quienes interactuar: tiene sentido físico escribir una expansión de densidad de , que se asemeja a la ecuación virial : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g(r)}$

Esta similitud no es accidental; de hecho, al sustituir ( 12 ) en las relaciones anteriores por los parámetros termodinámicos (Ecuaciones 7 , 9 y 10 ) se obtienen las correspondientes expansiones viriales. ^[7] La ​​función auxiliar se conoce como función de distribución de cavidades . ^{[5] : Tabla 4.1} Se ha demostrado que para fluidos clásicos a una densidad fija y una temperatura positiva fija, el potencial de par efectivo que genera un subequilibrio dado es único hasta una constante aditiva, si existe. ^[8] ${\displaystyle y(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

En los últimos años, se ha prestado cierta atención al desarrollo de funciones de correlación de pares para datos espacialmente discretos, como redes o redes. ^[9]

Experimental

Se puede determinar indirectamente (a través de su relación con el factor de estructura ) utilizando datos de dispersión de neutrones o de dispersión de rayos X. La técnica se puede utilizar en escalas de longitud muy corta (hasta el nivel atómico ^[10] ), pero implica un promedio significativo de espacio y tiempo (sobre el tamaño de la muestra y el tiempo de adquisición, respectivamente). De esta forma, se ha determinado la función de distribución radial para una amplia variedad de sistemas, que van desde metales líquidos ^[11] hasta coloides cargados. ^[12] Pasar de lo experimental a lo experimental no es sencillo y el análisis puede ser bastante complicado. ^[13] ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle g(r)}$

También es posible calcular directamente extrayendo las posiciones de las partículas de la microscopía tradicional o confocal. ^[14] Esta técnica se limita a partículas lo suficientemente grandes para la detección óptica (en el rango micrométrico), pero tiene la ventaja de tener resolución temporal de modo que, además de la información estática, también da acceso a parámetros dinámicos (por ejemplo, difusión) . constantes ^[15] ) y también resolución espacial (al nivel de la partícula individual), lo que le permite revelar la morfología y dinámica de estructuras locales en cristales coloidales, ^[16] vidrios, ^{[17] [18]} geles, ^{[19 ] [20]} e interacciones hidrodinámicas. ^[21] ${\displaystyle g(r)}$

La visualización directa de una función de correlación de pares completa (dependiente de la distancia y del ángulo) se logró mediante una microscopía de efecto túnel en el caso de gases moleculares 2D. ^[22]

Funciones de correlación de orden superior

Se ha observado que las funciones de distribución radial por sí solas son insuficientes para caracterizar la información estructural. Los procesos puntuales distintos pueden poseer funciones de distribución radial idénticas o prácticamente indistinguibles, lo que se conoce como problema de degeneración. ^{[23] [24]} En tales casos, se necesitan funciones de correlación de orden superior para describir mejor la estructura.

Las funciones de distribución de orden superior fueron menos estudiadas, ya que generalmente son menos importantes para la termodinámica del sistema; al mismo tiempo, no son accesibles mediante técnicas de dispersión convencionales. Sin embargo, pueden medirse mediante dispersión coherente de rayos X y son interesantes porque pueden revelar simetrías locales en sistemas desordenados. ^[25] ${\displaystyle \textstyle g^{(k)}}$ ${\displaystyle \textstyle k>2}$

Ver también

• Ecuación de Ornstein-Zernike
• Factor de estructura

Referencias

1. Mangos, B.; Potoff, J.; Hoepfner, M. (5 de diciembre de 2022). "Campos de fuerza transferibles a partir de datos de dispersión experimentales con refinamiento de estructuras asistido por aprendizaje automático". J. Física. Química. Lett . 13 (49): 11512–11520. doi :10.1021/acs.jpclett.2c03163. PMID  36469859. S2CID  254274307.
2. Tricomi, F.; Erdélyi, A. (1 de marzo de 1951). "La expansión asintótica de una proporción de funciones gamma". Revista Pacífico de Matemáticas . 1 (1): 133–142. doi : 10.2140/pjm.1951.1.133 .
3. Dinnebier, RE; Billinge, SJL (10 de marzo de 2008). Difracción de polvo: teoría y práctica (1ª ed.). Real Sociedad de Química. págs. 470–473. doi :10.1039/9781847558237. ISBN 978-1-78262-599-5.
4. Chandler, D. (1987). "7.3". Introducción a la mecánica estadística moderna . Prensa de la Universidad de Oxford.
5. Hansen, JP y McDonald, IR (2005). Teoría de los líquidos simples (3ª ed.). Prensa académica.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Frenkel, Daan; Smit, Berend (2002). Comprensión de la simulación molecular desde algoritmos hasta aplicaciones (2ª ed.). San Diego: Prensa académica. ISBN 978-0122673511.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Barker, J.; Henderson, D. (1976). "¿Qué es "líquido"? Comprensión de los estados de la materia". Reseñas de Física Moderna . 48 (4): 587. Código bibliográfico : 1976RvMP...48..587B. doi :10.1103/RevModPhys.48.587.
8. Henderson, RL (9 de septiembre de 1974). "Un teorema de unicidad para funciones de correlación de pares de fluidos". Letras de Física A. 49 (3): 197–198. Código bibliográfico : 1974PhLA...49..197H. doi :10.1016/0375-9601(74)90847-0. ISSN  0375-9601.
9. Gavagnin, Enrico (4 de junio de 2018). "Funciones de correlación de pares para identificar la correlación espacial en dominios discretos". Revisión física E. 97 (1): 062104. arXiv : 1804.03452 . Código Bib : 2018PhRvE..97f2104G. doi : 10.1103/PhysRevE.97.062104. PMID  30011502. S2CID  50780864.
10. Yarnell, J.; Katz, M.; Wenzel, R.; Koenig, S. (1973). "Factor de estructura y función de distribución radial para argón líquido a 85 K". Revisión física A. 7 (6): 2130. Código bibliográfico : 1973PhRvA...7.2130Y. doi :10.1103/PhysRevA.7.2130.
11. Gingrich, NS; Heaton, L. (1961). "Estructura de los metales alcalinos en estado líquido". La Revista de Física Química . 34 (3): 873. Código bibliográfico : 1961JChPh..34..873G. doi : 10.1063/1.1731688.
12. Sirota, E.; Ou-Yang, H.; Sinha, S.; Chaikin, P.; Hacha, J.; Fujii, Y. (1989). "Diagrama de fases completo de un sistema coloidal cargado: un estudio de dispersión de rayos X sincrotrón". Cartas de revisión física . 62 (13): 1524-1527. Código bibliográfico : 1989PhRvL..62.1524S. doi : 10.1103/PhysRevLett.62.1524. PMID  10039696.
13. Pedersen, JS (1997). "Análisis de datos de dispersión de ángulo pequeño de coloides y soluciones poliméricas: modelado y ajuste de mínimos cuadrados". Avances en ciencia de interfases y coloides . 70 : 171-201. doi :10.1016/S0001-8686(97)00312-6.
14. Crocker, JC; Grier, DG (1996). "Métodos de videomicroscopía digital para estudios coloidales". Revista de ciencia de interfaces y coloides . 179 (1): 298–310. Código Bib : 1996JCIS..179..298C. doi :10.1006/jcis.1996.0217.
15. Nakroshis, P.; Amoroso, M.; Legere, J.; Smith, C. (2003). "Medición de la constante de Boltzmann mediante videomicroscopía del movimiento browniano". Revista Estadounidense de Física . 71 (6): 568. Código bibliográfico : 2003AmJPh..71..568N. doi :10.1119/1.1542619.
16. Gasser, U.; Semanas, urgencias; Schofield, A.; Pusey, PN; Weitz, DA (2001). "Imágenes en el espacio real de nucleación y crecimiento en cristalización coloidal". Ciencia . 292 (5515): 258–262. Código Bib : 2001 Ciencia... 292.. 258G. doi : 10.1126/ciencia.1058457. PMID  11303095. S2CID  6590089.
17. MI Ojovan, DV Louzguine-Luzgin. Revelando cambios estructurales en la transición vítrea mediante funciones de distribución radial. J. Física. Química. B, 124 (15), 3186-3194 (2020) https://doi.org/10.1021/acs.jpcb.0c00214
18. Semanas, urgencias; Crocker, JC; Levitt, AC; Schofield, A.; Weitz, DA (2000). "Imágenes directas tridimensionales de la relajación estructural cerca de la transición vítrea coloidal". Ciencia . 287 (5453): 627–631. Código bibliográfico : 2000Sci...287..627W. doi : 10.1126/ciencia.287.5453.627. PMID  10649991.
19. Cipelletti, L.; Manley, S.; Pelota, RC; Weitz, DA (2000). "Características universales del envejecimiento en la reestructuración de geles coloidales fractales". Cartas de revisión física . 84 (10): 2275–2278. Código bibliográfico : 2000PhRvL..84.2275C. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2275. PMID  11017262.
20. Varadan, P.; Salomón, MJ (2003). "Visualización directa de estructuras heterogéneas de largo alcance en geles coloidales densos". Langmuir . 19 (3): 509. doi : 10.1021/la026303j.
21. Gao, C.; Kulkarni, SD; Morris, JF; Gilchrist, JF (2010). "Investigación directa de la estructura de suspensión anisotrópica en flujo impulsado por presión". Revisión física E. 81 (4): 041403. Código bibliográfico : 2010PhRvE..81d1403G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.041403. PMID  20481723.
22. Matvija, Pedro; Rozbořil, Filip; Sobotík, Pavel; Ošťádal, Ivan; Kocán, Pavel (2017). "Función de correlación de pares de un gas molecular 2D visualizado directamente mediante microscopía de efecto túnel". La Revista de Letras de Química Física . 8 (17): 4268–4272. doi : 10.1021/acs.jpclett.7b01965. PMID  28830146.
23. Stillinger, Frank H.; Torquato, Salvatore (28 de mayo de 2019). "Degeneración estructural en distribuciones de distancia de pares". La Revista de Física Química . 150 (20): 204125. Código Bib :2019JChPh.150t4125S. doi : 10.1063/1.5096894 . ISSN  0021-9606. PMID  31153177. S2CID  173995240.
24. Wang, Haina; Stillinger, Frank H.; Torquato, Salvatore (23 de septiembre de 2020). "Sensibilidad de las estadísticas de pares sobre potenciales de pares en sistemas de muchos cuerpos". La Revista de Física Química . 153 (12): 124106. Código bibliográfico : 2020JChPh.153l4106W. doi : 10.1063/5.0021475 . ISSN  0021-9606. PMID  33003740. S2CID  222169131.
25. Wöchner, P.; Gutt, C.; Autenrieth, T.; Demmer, T.; Bugaev, V.; Ortiz, AD; Duri, A.; Zontone, F.; Grubel, G.; Dosch, H. (2009). "El análisis de correlación cruzada de rayos X descubre simetrías locales ocultas en la materia desordenada". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 106 (28): 11511–4. Código Bib : 2009PNAS..10611511W. doi : 10.1073/pnas.0905337106 . PMC 2703671 . PMID  20716512. 

• Widom, B. (2002). Mecánica estadística: una introducción concisa para químicos. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• McQuarrie, DA (1976). Mecánica estadística. Editores Harper Collins.