Función de demanda marshalliana

Función microeconómica

En microeconomía , la función de demanda marshalliana de un consumidor (llamada así en honor a Alfred Marshall ) es la cantidad que demandan de un bien particular en función de su precio, su ingreso y los precios de otros bienes, una exposición más técnica de la función de demanda estándar . Es una solución al problema de maximización de la utilidad : cómo el consumidor puede maximizar su utilidad para unos ingresos y precios determinados. Un término sinónimo es función de demanda no compensada , porque cuando el precio aumenta el consumidor no es compensado con un ingreso nominal más alto por la caída de su ingreso real, a diferencia de la función de demanda hicksiana . Por tanto, el cambio en la cantidad demandada es una combinación de un efecto sustitución y un efecto riqueza . Aunque la demanda marshalliana se encuentra en el contexto de la teoría del equilibrio parcial, a veces se la llama demanda walrasiana como se usa en la teoría del equilibrio general (llamada así en honor a Léon Walras ).

Según el problema de maximización de la utilidad, existen productos con un vector de precios y un vector de cantidades seleccionables . El consumidor tiene ingresos y, por tanto, un conjunto presupuestario de paquetes asequibles. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},}$

¿Dónde está el producto escalar de los vectores precio y cantidad? El consumidor tiene una función de utilidad. ${\displaystyle p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .}$

La correspondencia de demanda marshalliana del consumidor se define como

${\displaystyle x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)}$

preferencia revelada

La teoría de Marshall sugiere que la búsqueda de utilidad es un factor de motivación para un consumidor que puede lograrse mediante el consumo de bienes o servicios. La cantidad de utilidad del consumidor depende del nivel de consumo de un determinado bien, que está sujeto a la tendencia fundamental de la naturaleza humana y se describe como la ley de la utilidad marginal decreciente .

Como el máximo de utilidad siempre existe, la correspondencia de demanda marshalliana debe ser no vacía en cada valor que corresponda con el conjunto de presupuesto estándar.

Unicidad

${\displaystyle x^{*}(p,I)}$Se llama correspondencia porque en general puede tener un valor fijo: puede haber varios paquetes diferentes que alcancen la misma utilidad máxima. En algunos casos, existe una cesta única que maximiza la utilidad para cada situación de precios e ingresos; entonces, es una función y se llama función de demanda marshalliana . ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$

Si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas y los precios de todos los bienes son estrictamente positivos, entonces existe una cesta única que maximiza la utilidad. ^{[1] : 156} Para probar esto, supongamos, por contradicción, que existen dos cestas diferentes, y , que maximizan la utilidad. Entonces y son igualmente preferidos. Por definición de convexidad estricta, el paquete mixto es estrictamente mejor que . Pero esto contradice la optimización de . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle 0.5x_{1}+0.5x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Continuidad

El teorema del máximo implica que si:

• La función de utilidad es continua con respecto a , ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$
• La correspondencia no está vacía, tiene valores compactos y es continua con respecto a , ${\displaystyle B(p,I)}$ ${\displaystyle p,I}$

entonces es una correspondencia semicontinua superior . Además, si es único, entonces es una función continua de y . ^{[1] : 156, 506} ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle x^{*}(p,I)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

Combinando con la subsección anterior, si el consumidor tiene preferencias estrictamente convexas, entonces la demanda marshalliana es única y continua. Por el contrario, si las preferencias no son convexas, entonces la demanda marshalliana puede ser no única y no continua.

Homogeneidad

La correspondencia de demanda marshalliana óptima de una función de utilidad continua es una función homogénea de grado cero. Esto significa que por cada constante ${\displaystyle a>0,}$

${\displaystyle x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).}$

Esto es intuitivamente claro. Supongamos que y se miden en dólares. Cuando , y son exactamente las mismas cantidades medidas en centavos. Cuando los precios y la riqueza aumentan en un factor a, el patrón de compra de un agente económico permanece constante. Obviamente, expresar en diferentes unidades de medida los precios y los ingresos no debería afectar la demanda. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a=100}$ ${\displaystyle ap}$ ${\displaystyle aI}$

Curva de demanda

La teoría de Marshall explota que la curva de demanda representa los valores marginales decrecientes del bien por parte de los individuos. La teoría insiste en que la decisión de compra del consumidor depende de la utilidad que puede obtener de un bien o servicio en comparación con el precio, ya que la utilidad adicional que obtiene el consumidor debe ser al menos tan grande como el precio. La siguiente sugerencia propone que el precio demandado sea igual al precio máximo que el consumidor pagaría por una unidad extra de bien o servicio. Por tanto, la utilidad se mantiene constante a lo largo de la curva de demanda. Cuando la utilidad marginal del ingreso es constante, o su valor es el mismo entre los individuos dentro de una curva de demanda de mercado, es posible generar beneficios netos de las unidades compradas o excedente del consumidor mediante la suma de los precios de demanda.

El punto de intersección de 'Precio' y 'Utilidad marginal = Demanda' muestra el nivel óptimo de consumo individual.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos, hay dos productos, 1 y 2.

1. La función de utilidad tiene la forma Cobb-Douglas :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

La optimización restringida conduce a la función de demanda marshalliana:

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. La función de utilidad es una función de utilidad CES :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

Entonces ${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

En ambos casos, las preferencias son estrictamente convexas, la demanda es única y la función de demanda es continua.

3. La función de utilidad tiene la forma lineal :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

La función de utilidad es sólo débilmente convexa y, de hecho, la demanda no es única: cuando , el consumidor puede dividir su ingreso en proporciones arbitrarias entre los tipos de producto 1 y 2 y obtener la misma utilidad. ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

4. La función de utilidad exhibe una tasa marginal de sustitución no decreciente:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}$

La función de utilidad no es convexa y, de hecho, la demanda no es continua: cuando , el consumidor demanda sólo el producto 1, y cuando , el consumidor demanda sólo el producto 2 (cuando la correspondencia de demanda contiene dos cestas distintas: comprar sólo el producto 1 o comprar sólo producto 2). ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

Ver también

• Función de demanda hicksiana
• Problema de maximización de la utilidad
• Ecuación de Slutsky
• Leyes de Hicks-Marshall de la demanda derivada

Referencias

1. Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (Tercera ed.). Nueva York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael y Green, Jerry (1995). Teoría Microeconómica . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-507340-1.
• Nicholson, Walter (1978). Teoría microeconómica (Segunda ed.). Hinsdale: Prensa Dryden. págs. 90–93. ISBN 0-03-020831-9.
• Silberberg, E. (2008). Demandas hicksianas y marshallianas . Londres: Palgrave Macmillan, Londres. ISBN 978-1-349-95121-5.
• Levin, Jonatán; Milgrom, Paul (octubre de 2004). "Teoría del consumidor" (PDF) . Consultado el 22 de abril de 2021 .
• Wong, Stanley (2006). Fundamentos de la teoría de la preferencia revelada de Paul Samuelson (PDF) (Ed. revisada). Rutledge. ISBN 0-203-34983-0. Consultado el 19 de abril de 2021 .